شينگ-تونگ ياو

(تم التحويل من Shing-Tung Yau)
شينگ-تونگ ياو
Shing-Tung Yau at Harvard.jpg
وُلِدَأبريل 4 1949 (1949-04-04) (العمر 73 سنة)
الجنسيةالولايات المتحدة (منذ 1990)
المدرسة الأمالجامعة الصينية في هونگ كونگ (B.A. 1969)
جامعة كاليفورنيا، بركلي (Ph.D. 1971)
اللقب
الزوجيو-يون كو
الأنجال2
Awardsجائزة جون كارتي (1981)
جائزة ڤبلن (1981)
وسام فيلدز (1982)
جائزة كرافورد (1994)
وسام العلوم الوطني (1997)
جائزة وولف (2010)
السيرة العلمية
المجالاتالرياضيات
الهيئاتجامعة هارڤرد
جامعة ستانفورد
جامعة ستوني بروك
معهد الدراسات المتقدمة
المشرف على الدكتوراهشي’ينگ-شن تشرن
طلاب الدكتوراهرتشارد شون (ستانفورد، 1977)
روبرت بارتنك (پرنستون، 1983)
مارك سترن (پرنستون، 1984)
هواي-دونگ ساو (پرنستون، 1986)
گانگ تي‌آن (هارڤرد، 1988)
Jun Li (ستانفورد، 1989)
لي‌ژن جي (الشمالية الشرقية، 1991)
Kefeng Liu (هارڤرد، 1993)
مو-تاو وانگ (هارڤرد، 1998)
تشوو-تشو مليسا ليو (هارڤرد، 2002)

شينگ-تونگ ياو (Shing-Tung Yau ؛ /j/؛ بالصينية: 丘成桐پن‌ين: Qiū Chéngtóng; من مواليد 4 أبريل 1949) عالم رياضيات صيني أمريكي وأستاذ الرياضيات في وليام كاسبار گراوشتين في جامعة هارڤرد.[1]

ولد ياو في شان‌تو، الصين، وانتقل إلى هونگ كونگ في سن مبكرة، وإلى الولايات المتحدة في عام 1969. حصل على وسام فيلدز في عام 1982، تقديراً لمساهماته في المعادلة التفاضلية الجزئية وحدسية كلابي ونظرية الطاقة الإيجابية ومعادلة مونج-أمپير.[2] يعتبر ياو أحد المساهمين الرئيسيين في تطوير الطوبولوجيا التفاضلية والتحليل الهندسي.

يمكن رؤية تأثير عمل ياو في المجالات الرياضية والفيزيائية للهندسة التفاضلية، المعادلات التفاضلية الجزئية، الهندسة المحدبة، الهندسة الجبرية، الهندسة التعدادية، التناظر المرآتي والنسبية العامة ونظرية الأوتار، بينما تطرق عمله أيضاً إلى الرياضيات التطبيقية والهندسة والتحليل العددي.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

سيرته

وُلد ياو في شان‌تو، گوانگ‌دونگ، الصين عام 1949. مسقط رأس أسلاف الأستاذ ياو هي مقاطعة جاولنگ، محافظة گوانگ‌دونگ. ولدت والدته، يوك لام ليونگ، في مـِيْ‌ژو؛ كان والده تشن ينگ تشو باحثاً صينياً في الفلسفة والتاريخ والأدب والاقتصاد. [YN19] كان الخامس من بين ثمانية أطفال، من أصل هاكا.[3]

أثناء استيلاء الشيوعيين على البر الرئيسي للصين، عندما كان عمره بضعة أشهر فقط، انتقلت عائلته إلى هونگ كونگ؛ لم يكن قادراً على زيارة الصين مرة أخرى حتى عام 1979، بدعوة من هوا ليوجنگ، عندما دخل البر الرئيسي للصين في عصر الإصلاح والانفتاح. [YN19]. وقد عانوا من مشاكل مالية بسبب فقدان كل ممتلكاتهم، وتوفي والده وأخته الثانية عندما كان في الثالثة عشرة من عمره. بدأ ياو في قراءة كتب والده وتقديرها، وأصبح أكثر تكريساً للعمل المدرسي. بعد تخرجه من مدرسة پوي تشنگ المتوسطة، درس الرياضيات في الجامعة الصينية في هونگ كونگ من عام 1966 إلى عام 1969، دون الحصول على شهادة بسبب تخرجه مبكراً. ترك كتبه المدرسية مع شقيقه الأصغر ستيفن شينگ-تونگ ياو، الذي قرر بعد ذلك التخصص في الرياضيات أيضاً.

غادر ياو للحصول على الدكتوراه في الرياضيات في جامعة كاليفورنيا، بركلي في خريف عام 1969. وخلال العطلة الشتوية، قرأ الأعداد الأولية من مجلة الهندسة التفاضلية، واستلهم بشدة من أوراق جون ميلنور البحثية حول نظرية الزمر الهندسية.[4][YN19] بعد ذلك، صاغ تعميماً مبرهنة پريسمان، وطور أفكاره أكثر مع بلين لوسون خلال الفصل الدراسي التالي.[5]باستخدام هذا العمل، حصل على درجة الدكتوراه في عام 1971، بإشراف شيينگ-شين تشرن.[6]

أمضى عاماً كعضو في معهد الدراسات المتقدمة في پرنستون قبل أن ينضم إلى جامعة ستوني بروك في عام 1972 كأستاذ مساعد. في عام 1974، أصبح أستاذاً مشاركاً في جامعة ستانفورد.[7]من 1984 إلى 1987 عمل في جامعة كاليفورنيا، سان دييگو.[8]منذ عام 1987، كان في جامعة هارڤرد.[9]

في عام 1978، أصبح ياو "عديم الجنسية" بعد أن ألغت القنصلية البريطانية إقامته في هونگ كونگ بسبب وضع الإقامة الدائمة في الولايات المتحدة.[10][11] فيما يتعلق بوضعه عندما حصل على وسام فيلدز في عام 1982، قال ياو "أنا فخور بالقول إنه عندما مُنحت وسام فيلدز في الرياضيات، لم يكن لدي جواز سفر لأي دولة وينبغي بالتأكيد اعتباره صينياً".[12] ظل ياو "عديم الجنسية" حتى عام 1990، عندما حصل على الجنسية الأمريكية.[10][13]ثم قرر ياو الانتقال إلى الصين في عام 2022.[14]

بمقابلة مع الصحفي العلمي ستيڤ ناديس، كتب ياو تقرير غير تقني عن متعدد شعب كلابي-ياو ونظرية الأوتار، [YN10] تاريخ قسم الرياضيات بجامعة هارڤرد، [YN13] وسيرة ذاتية خاصة بياو. [YN19]


الأنشطة الأكاديمية

قدم ياو مساهمات كبيرة في تطوير الطوبولوجيا التفاضلية والتحليل الهندسي. كما قال وليم ثورستون عام 1981:[15]

نادراً ما أتيحت لنا الفرصة لمشاهدة عمل مؤثر من قبل أحد علماء الرياضيات، في فترة قصيرة من السنوات، على اتجاه مجالات البحث بأكملها. في مجال الهندسة، تُعطى مساهمات شينگ-تونگ ياو واحدة من أبرز الأمثلة على مثل هذا الحدوث خلال العقد الماضي.

تشمل نتائجه الأكثر شهرة على حل (مع شو-يوين تشنگ) مسألة القيمة الحدية من أجل معادلة مونجي-أمپير، ونظرية الكتلة الموجبة في التحليل الرياضي للنسبية العامة (تم تحقيقها مع رتشارد شوين)، حل تخمين كلابي، نظرية طوبولوجيا السطوح الدنيا (مع وليام (تم العثور عليها مع شو-يون تشنگ و پيتر لي). تمت كتابة العديد من نتائج ياو (بالإضافة إلى نتائج الآخرين) في كتب مدرسية شارك في تأليفها شوين [SY94][SY97]

بالإضافة إلى أبحاثه، فإن ياو هو مؤسس ومدير العديد من معاهد الرياضيات، ومعظمها في الصين. علق جون كوتس بأنه "لم يشبه أي عالم رياضيات آخر في عصرنا" من نجاح ياو في جمع التبرعات للأنشطة الرياضية في الصين وهونگ كونگ.[5]خلال عام إجازة في جامعة تسينگ‌هوا في تايوان، طلب تشارلز كاو ياو أن يبدأ معهداً للرياضيات في الجامعة الصينية في هونگ كونگ. بعد بضع سنوات من جهود جمع التبرعات، أنشأ ياو المعهد متعدد التخصصات للعلوم الرياضية في عام 1993، مع مؤلفه المشارك المتكرر شيو-يوين تشنگ كمدير مشارك. في عام 1995، ساعد ياو لو يونگ‌شيانگ في جمع الأموال من روني تشان وجيرالد تشان Morningside Group لمركز مورنينگسايد الجديد الرياضيات في الأكاديمية الصينية للعلوم. شارك ياو أيضاً في مركز العلوم الرياضية في جامعة ژى‌جيانگ،[16] في جامعة تسينگ‌هوا ،[17]في جامعة تايوان الوطنية،[18] وفي سان‌يا.[19]في الآونة الأخيرة، في عام 2014، جمع ياو الأموال لإنشاء مركز العلوم والتطبيقات الرياضية (الذي يديره)، ومركز المباني والمدن الخضراء ، ومركز الأبحاث المناعية، وكلها في جامعة هارڤرد.[20]

على غرار مؤتمر سابق للفيزياء نظمه تسونگ-داو لي وتشن نينگ يانگ، اقترح ياو المؤتمر الدولي لعلماء الرياضيات الصينيين، والذي يُعقد الآن كل ثلاث سنوات. عقد المؤتمر الأول في مركز مورنينگسايد في الفترة من 12 إلى 18 ديسمبر 1998. وشارك في تنظيم المؤتمر السنوي "مجلة الهندسة التفاضلية" و"التطورات الحالية في الرياضيات". ياو هو رئيس تحرير جريدة الهندسة التفاضلية،[21] المجلة الآسيوية للرياضيات،[22] والتطورات في الفيزياء النظرية والرياضية.[23] اعتباراً من عام 2021، أشرف على أكثر من سبعين طالب دكتوراه.[6]

في هونگ كونگ، وبدعم من روني تشان، أنشأ ياو جائزة هانگ لنگ لطلاب المدارس الثانوية. كما نظم وشارك في اجتماعات لطلاب المدارس الثانوية والكليات، مثل حلقات النقاش لماذا الرياضيات؟ اسأل الأساتذة! في هانگ‌ژو، يوليو 2004، وأعجوبة الرياضيات في هونگ كونگ، ديسمبر 2004. كما شارك ياو في إطلاق سلسلة من الكتب حول الرياضيات الشعبية ، "الرياضيات والناس الرياضيون".

في عامي 2002 و2003، نشر گريگوري پرلمان المطبوعات المسبقة إلى أرخيڤ مدعياً إثبات حدسية ثورستون الهندسية، وكحالة خاصة، حدسية پوانكاريه. على الرغم من احتواء عمله على العديد من الأفكار والنتائج الجديدة، إلا أن براهينه تفتقر إلى التفاصيل حول عدد من الحجج الفنية. على مدى السنوات القليلة التالية، كرس العديد من علماء الرياضيات وقتهم لملء التفاصيل وتقديم عروض عمل پرلمان للمجتمع الرياضي.[24]أثارت مقالة أغسطس 2006 المشهورة في ذا نيويوركر بقلم سيلڤيا نصار وديڤد گروبر بعض الخلافات المهنية المتعلقة بياو باهتمام الرأي العام.[12][13]

  • زعم ألكسندر گڤنتال أن بونگ ليان، كفنگ ليو، وياو أخذوا الفضل منه بطريقة غير مشروعة لحل تخمين مشهور في مجال التناظر المرآتي. على الرغم من أنه لا جدال في أن مقال ليان-ليو-ياو ظهر بعد گڤنتال، إلا أنهم يزعمون أن عمله يحتوي على ثغرات تم سدها فقط في العمل التالي في منشوراتهم الخاصة؛ يدعي گڤنتال أن عمله الأصلي كان كاملاً. يقتبس نصار وگروبر من عالم رياضيات مجهول الاتفاق مع گڤنتال.[25]
  • في الثمانينيات، اتهم زميل ياو يم-تونگ سيو طالب ياو بدرجة الدكتوراه گانگ تيان بسرقة بعض أعماله. في ذلك الوقت، دافع ياو عن تيان ضد اتهامات سيو. [YN19] في العقد الأول من القرن الحادي والعشرين، بدأ ياو في تضخيم مزاعم سيو، قائلاً إنه وجد منصب تيان المزدوج في جامعة پرنستون وجامعة بكين أن يكون غير أخلاقي للغاية بسبب راتبه المرتفع من جامعة بكين مقارنة بالأساتذة والطلاب الآخرين الذين قدموا مساهمات أكثر نشاطاً في الجامعة.[26][YN19]غطت مجلة ساينس الظواهر الأوسع لمثل هذه المواقف في الصين، مع تيان وياو كشخصيتين مركزيتين.[27]
  • يقول نصار وگروبر إنه، بعد أن زعم أنهما لم يقوموا بأي عمل ملحوظ منذ منتصف الثمانينيات، حاول ياو استعادة مكانته من خلال الادعاء بأن شي-پنگ ژو وطالب ياو السابق هواي-دونگ ساو قد حلا تخمينات ثرستون وپوانكاريه، استناداً جزئياً فقط إلى بعض أفكار پرلمان. نقل نصار وگروبر عن ياو اتفاقه مع المدير بالإنابة لأحد مراكز الرياضيات في ياو، الذي خصص في مؤتمر صحفي لـ ساو وژو ثلاثين بالمائة من الفضل لحل التخمينات، مع حصول پرلمان على خمسة وعشرين فقط (بينما ذهب الباقي إلى رتشارد هاملتون). بعد بضعة أشهر، قام مقطع من NPR كل الأشياء في الاعتبار بمراجعة تسجيل صوتي للمؤتمر الصحفي ولم يجد مثل هذا التصريح الذي أدلى به ياو أو المدير بالنيابة.[28]

ادعى ياو أن مقال نصار وگروبر كان تشهير ويحتوي على العديد من الأكاذيب، وأنهم لم يعطوه الفرصة لتمثيل جانبه في النزاعات. لقد فكر في رفع دعوى قضائية ضد المجلة، مدعياً ضرراً مهنياً، لكنه قال إنه قرر أنه لم يكن واضحاً بما فيه الكفاية ما سيحققه مثل هذا الإجراء. [YN19] كما أنشأ موقعاً للعلاقات العامة، مع رسائل ترد على مقالة في مجلة ذا نيويوركر من العديد من علماء الرياضيات، بما في ذلك هو واثنين آخرين مقتبسين في المقال.[29]

في سيرته الذاتية، قال ياو إن تصريحاته في عام 2006 مثل تصريحات ساو وتشو أعطت "أول وصف كامل ومفصل لإثبات حدسية پوانكاريه" كان ينبغي صياغتها بعناية أكبر. على الرغم من أنه يعتقد أن عمل ساو وژو هو أول وصف تفصيلي لعمل پرلمان، إلا أنه يقول إنه كان يجب أن يوضح أنهم "لم يتفوقوا على عمل پرلمان بأي شكل من الأشكال."[YN19] كما حافظ أيضاً على وجهة النظر القائلة بأنه (اعتباراً من عام 2019) يجب أن تكون الأجزاء النهائية من دليل پرلمان مفهومة بشكل أفضل من قبل المجتمع الرياضي، مع الاحتمال المقابل بأنه لا تزال هناك بعض الأخطاء غير الملحوظة.

مسهماته التقنية في الرياضيات

قدم ياو عدداً من المساهمات البحثية الرئيسية، تركزت على الطوبولوجيا التفاضلية وظهورها في مجالات أخرى من الرياضيات والعلوم. بالإضافة إلى بحثه، قام ياو بتجميع مجموعات مؤثرة من المسائل المفتوحة في الهندسة التفاضلية، بما في ذلك التخمينات القديمة المعروفة مع المقترحات والمشكلات الجديدة. كما تم تحديث اثنتين من قوائم مسائل ياو الأكثر انتشاراً من الثمانينيات بملاحظات حول التقدم اعتباراً من عام 2014.[30]ومن المعروف بشكل خاص تخمين حول وجود الحد الأصغري من السطوح الفائقة وعلى الهندسة الطيفية للسطوح الفائقة الدنيا.

حدسية كلابي

في عام 1978، من خلال دراسة معادلة مونجي-أمپير العقدية، حل ياو حدسية كلابي، الذي طرحه يوجينيو كلابي في عام 1954. [Y78a] كحالة خاصة، أظهر هذا أن مقياس كلر-إينشتاين موجود في أي طية كلر مغلقة من درجة تشرن الأولى غير إيجابية. تكيفت طريقة ياو مع الأعمال السابقة لكلابي، يورگن موسر، وأليكسي پوگوريلوڤ، التي تم تطويرها من أجل المعادلات التفاضلية الجزئية شبه خطية ناقصة ومعادلة مونجي-أمپير الحقيقية، لوضع معادلة مونجي-أمپير العقدية.[31][32][33][34]

إن فهم حدسية كلابي في بيئة غير مضغوطة أقل تحديداً. وسع كل من گانگ تيان وياو تحليل ياو لمعادلة مونج-أمپير المعقدة إلى الإعداد غير المدمج، حيث استلزم استخدام توابع القطع والتقديرات المتكاملة المقابلة افتراضاً مشروطاً لهندسة مضبوطة معينة بالقرب من اللانهاية.[TY91] هذا يقلل من المسألة إلى سؤال وجود مقاييس كلر ذات الخصائص المقاربة؛ لقد حصلوا على مثل هذه المقاييس لبعض أصناف معقدة شبه إسقاطية ملساء. كما قاموا فيما بعد بتوسيع عملهم للسماح لتفردات الطية الدورانية.[TY91] مع براين گرين، ألفريد شاپير وكومرون ڤافا، قدم ياو مقاربة لمقياس كلر على مجموعة من النقاط المنتظمة لخرائط مجسمة متشابهة محددة، مع انحناء ريتشي تقريباً صفر. [G+90] كانوا قادرين على تطبيق نظرية الوجود تيان−ياو لبناء مقياس كلر وهو بالضبط مسطح ريتشي. أصبحت مقاربة گرين−شاپير− ڤافا−ياو وتعميمه الطبيعي، المعروف الآن باسم مقياس شبه مسطح، مهمة في العديد من تحليلات المشكلات في هندسة كلر.[39][40]


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

الانحناء العددي والنسبية العامة

يمكن وصف نظرية الطاقة الموجبة، التي حصل عليها ياو بالتعاون مع طالب الدكتوراه السابق رتشارد شوِن، من الناحية الفيزيائية:

في مبرهنة أينشتاين عن النسبية العامة، تكون طاقة الجاذبية لنظام فيزيائي معزول غير سالبة.

ومع ذلك، فهي نظرية دقيقة للطوبولوجيا التفاضلية والتحليل الهندسي، حيث يتم نمذجة الأنظمة الفيزيائية بواسطة متشعبات ريمان مع عدم سلبية الانحناء العددي معمم معين. على هذا النحو، نشأ نهج شوين وياو في دراستهما طية ريمانية للانحناء القياسي الإيجابي، وهو أمر مهم بحد ذاته. تتمثل نقطة البداية في تحليل شوِن وياو في تحديدهما لطريقة بسيطة ولكنها جديدة لإدخال معادلات گاوص-كودازي في صيغة التباين الثانية لمنطقة المستقرة الحد الأصغري من السطح الفائق لمشعب ريماني ثلاثي الأبعاد. تقوم مبرهنة گاوس-بونيه بعد ذلك بتقييد الهيكل المحتمل لمثل هذا السطح عندما يكون للمشعب المحيط انحناء عددي إيجابي.[SY79a][41][42]

استغل شوين وياو هذه الملاحظة من خلال إيجاد إنشاءات جديدة لأسطح منخفضة مستقرة ذات خصائص مضبوطة مختلفة. [SY79a] تم تطوير بعض نتائج وجودهم في وقت واحد مع نتائج مماثلة لجوناثان ساكس وكارن أولن‌بك، باستخدام مختلف التقنيات. نتيجتهم الأساسية هي وجود الحد الأدنى من الانغماس مع السلوك الطوبولوجي المحدد. كنتيجة لحسابهم باستخدام نظرية گاوس-بونيه، فقد تمكنوا من استنتاج أن بعض المشعبات ثلاثية الأبعاد المميزة طوبولوجياً لا يمكن أن تحتوي على أي مقياس ريماني للانحناء العددي غير السلبي.[43][44]

قام شوين وياو بعد ذلك بتكييف عملهما مع وضع ريماني معين مجموعات البيانات الأولية المسطحة المقاربة في نظرية النسبية العامة. لقد أثبتوا أن سلبية الكتلة ستسمح للمرء باستدعاء مسألة پلاتو لبناء أسطح قليلة ثابتة مكتملة جيوديسياً. يوفر التناظرية غير المضغوطة لحسابهم باستخدام نظرية گاوس-بونيه تناقضاً منطقياً لسلبية الكتلة. على هذا النحو، كانوا قادرين على إثبات نظرية الكتلة الموجبة في الحالة الخاصة لمجموعات بيانات الريمان الأولية الخاصة بهم.[SY79c][45]

وسع شوين وياو هذا إلى الصيغة الكاملة اللورنتسية لنظرية الكتلة الإيجابية من خلال دراسة المعادلة التفاضلية الجزئية التي اقترحها بونگ سو جانگ. لقد أثبتوا أن حلول معادلة جانگ توجد بعيداً عن الأفق الظاهري للثقوب السوداء، حيث يمكن للحلول أن تتباعد إلى ما لا نهاية. [SY81] من خلال ربط هندسة مجموعة بيانات لورنتس الأولية بهندسة الرسم البياني لمثل هذا الحل لمعادلة جانگ، وتفسير الأخير على أنه مجموعة بيانات ريمان أولية، أثبت شوين وياو نظرية الطاقة الموجبة الكاملة.[45]علاوة على ذلك، من خلال الهندسة العكسية لتحليلهم لمعادلة جانگ، تمكنوا من إثبات أن أي تركيز كافٍ للطاقة في النسبية العامة يجب أن يكون مصحوباً بأفق واضح.[SY83]

نظراً لاستخدام نظرية گاوس-بونيه، اقتصرت هذه النتائج في الأصل على حالة مشعبات ريمانية ثلاثية الأبعاد ومشعبات لورنتسية رباعية الأبعاد. وقد أنشأ شوين وياو استقراءً على البعد من خلال إنشاء مقاييس ريمانية للانحناء القياسي الإيجابي على الحد الأصغري من الأسطح السطحية من مشعبات ريمانية التي لها انحناء عددي إيجابي. [SY79b] مثل هذه الأسطح الفائقة التي تم إنشاؤها بواسطة وسائل نظرية القياس الهندسي من قبل فردرك ألمگرن وهربرت فيدرر، ليست سلسة بشكل عام في الأبعاد الكبيرة، لذلك فإن هذه الأساليب تنطبق فقط بشكل مباشر على مشعبات ريمان ذات الأبعاد الأقل من ثمانية. بدون أي قيود للأبعاد، أثبت شوِن وياو نظرية الكتلة الإيجابية في فئة الطيات المسطحة المطابقة محلياً.[SY88][31]في عام 2017، نشر شوِن وياو نسخة أولية تدعي حل هذه الصعوبات، وبالتالي إثبات الاستقراء دون قيود الأبعاد والتحقق من نظرية الكتلة الموجبة الريمانية في البعد العشوائي.

أجرى گرهارد هويسكن وياو دراسة إضافية للمنطقة المقاربة لمشعبات الريمان ذات الكتلة الموجبة الصارمة. بدأ هويسكن في وقت سابق دراسة الحفاظ على الحجم يعني تدفق الانحناء للأسطح الفائقة في الفضاء الإقليدي.[46] قام هويسكن وياو بتكييف عمله مع بيئة ريمان، مما يثبت وجود نظرية التقارب والوجود لفترة طويلة من أجل التدفق. وكنتيجة طبيعية، فقد أسسوا ميزة هندسية جديدة لمشعبات الكتلة الموجبة، وهي أن مناطقهم المقاربة تتخللها أسطح ذات انحناء متوسط ثابت.[HY96]

مبدأ أوموري−ياو الأقصى

تقليدياً، يتم تطبيق تقنية المبدأ الأقصى مباشرة فقط على فضاء مضغوط، حيث يتم ضمان وجود الحدود القصوى. في عام 1967، وجد هايديكي أوموري مبدأ الحد الأقصى الجديد الذي ينطبق على طية ريمانية غير المضغوطة التي يحد انحناءها المقطعي أدناه. من البسيط وجود حد أقصى تقريبي؛ أثبت أوموري أيضاً وجود حد أقصى تقريبي حيث يتم التحكم في قيم التدرج والمشتقات الثانية بشكل مناسب. وقد قام ياو بتمديد نتيجة أوموري جزئياً لتتطلب حداً أدنى فقط على انحناء ريتشي؛ تُعرف النتيجة بمبدأ أوموري-ياو الأقصى.[Y75b]هذا العموم مفيد نظراً لظهور انحناء ريتشي في صيغة بوشنر، حيث يُستخدم الحد الأدنى أيضاً في المعالجات الجبرية. بالإضافة إلى تقديم دليل بسيط للغاية على المبدأ نفسه، تمكن شيو-يوين تشنگ وياو من إثبات أن افتراض انحناء ريتشي في مبدأ أوموري-ياو الأقصى يمكن استبداله بافتراض وجود توابع متقطعة بهندسة معينة يمكن التحكم فيها.[CY75][31][47][48][49]

كان ياو قادراً على تطبيق مبدأ أوموري−ياو بشكل مباشر لتعميم مأخوذة شوارتز-پك من التحليل العقدي. لارس ألفورس، من بين أمور أخرى، كان قد عمم سابقاً المأخوذة على وضع سطح ريمان. بفضل أساليبه، كان ياو قادراً على النظر في إعداد التعيين من طية كلر (بحد أدنى على انحناء ريتشي) إلى طية هرميتيان مع انحناء مقطعي مجسم الشكل يحده أعلاه رقم سالب.[Y78b][35][49]

استخدم تشنگ وياو على نطاق واسع البديل الخاص بهم لمبدأ أوموري−ياو للعثور على مقاييس كلر−إينشتاين على طيات كلر غير المضغوطة، تحت مقاربة التي طورها تشارلز فيفرمان. لم تكن التقديرات المتضمنة في طريقة الاستمرارية صعبة كما في عمل ياو السابق على تخمين كلابي، نظراً لحقيقة أن تشنگ وياو اعتبروا فقط مقاييس كلر-أينشتاين ذات الانحناء القياسي السلبي. السؤال الأكثر دقة، حيث أصبح عمل فيفرمان السابق مهماً، يتعلق بالاكتمال الجيوديسي. على وجه الخصوص، تمكن تشنگ وياو من العثور على مقاييس كلر-إينشتاين الكاملة للانحناء القياسي السلبي على أي مجموعة فرعية من الفضاء الإقليدي العقدي. [CY80] يمكن اعتبارها نظائر هندسية عقدية لنموذج كرة الفضاء الزائدي لپوانكاريه.[35][50]

متباينات هارناك التفاضلية

Yau's original application of the Omori−Yau maximum principle was to establish gradient estimates for a number of second-order elliptic partial differential equations.[Y75b] Given a function on a complete and smooth Riemannian manifold which satisfies various conditions relating the Laplacian to the function and gradient values, Yau applied the maximum principle to various complicated composite expressions to control the size of the gradient. Although the algebraic manipulations involved are complex, the conceptual form of Yau's proof is strikingly simple.[51][47]

Yau's novel gradient estimates have come to be called "differential Harnack inequalities" since they can be integrated along arbitrary paths in to recover inequalities which are of the form of the classical Harnack inequalities, directly comparing the values of a solution to a differential equation at two different input points. By making use of Calabi's study of the distance function on a Riemannian manifold, Yau and Shiu-Yuen Cheng gave a powerful localization of Yau's gradient estimates, using the same methods to simplify the proof of the Omori−Yau maximum principle.[CY75] Such estimates are widely quoted in the particular case of harmonic functions on a Riemannian manifold, although Yau and Cheng−Yau's original results cover more general scenarios.[51][47]

In 1986, Yau and Peter Li made use of the same methods to study parabolic partial differential equations on Riemannian manifolds.[LY86][47] Richard Hamilton generalized their results in certain geometric settings to matrix inequalities. Analogues of the Li−Yau and Hamilton−Li−Yau inequalities are of great importance in the theory of Ricci flow, where Hamilton proved a matrix differential Harnack inequality for the curvature operator of certain Ricci flows, and Grigori Perelman proved a differential Harnack inequality for the solutions of a backwards heat equation coupled with a Ricci flow.[52][51]

Cheng and Yau were able to use their differential Harnack estimates to show that, under certain geometric conditions, closed submanifolds of complete Riemannian or pseudo-Riemannian spaces are themselves complete. For instance, they showed that if M is a spacelike hypersurface of Minkowski space which is topologically closed and has constant mean curvature, then the induced Riemannian metric on M is complete.[CY76a] Analogously, they showed that if M is an affine hypersphere of affine space which is topologically closed, then the induced affine metric on M is complete.[CY86] Such results are achieved by deriving a differential Harnack inequality for the (squared) distance function to a given point and integrating along intrinsically defined paths.


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Donaldson−Uhlenbeck−Yau theorem

In 1985, Simon Donaldson showed that, over a nonsingular projective variety of complex dimension two, a holomorphic vector bundle admits a hermitian Yang–Mills connection if and only if the bundle is stable. A result of Yau and Karen Uhlenbeck generalized Donaldson's result to allow a compact Kähler manifold of any dimension.[UY86] The Uhlenbeck–Yau method relied upon elliptic partial differential equations while Donaldson's used parabolic partial differential equations, roughly in parallel to Eells and Sampson's epochal work on harmonic maps. The results of Donaldson and Uhlenbeck–Yau have since been extended by other authors. Uhlenbeck and Yau's article is important in giving a clear reason that stability of the holomorphic vector bundle can be related to the analytic methods used in constructing a hermitian Yang–Mills connection. The essential mechanism is that if an approximating sequence of hermitian connections fails to converge to the required Yang–Mills connection, then they can be rescaled to converge to a subsheaf which can be verified to be destabilizing by Chern–Weil theory.[33][53]

Like the Calabi–Yau theorem, the Donaldson–Uhlenbeck–Yau theorem is of interest in theoretical physics.[37] In the interest of an appropriately general formulation of supersymmetry, Andrew Strominger included the hermitian Yang–Mills condition as part of his Strominger system, a proposal for the extension of the Calabi−Yau condition to non-Kähler manifolds.[36] Ji-Xiang Fu and Yau introduced an ansatz for the solution of Strominger's system on certain three-dimensional complex manifolds, reducing the problem to a complex Monge−Ampère equation, which they solved.[FY08]

Yau's solution of the Calabi conjecture had given a reasonably complete answer to the question of how Kähler metrics on compact complex manifolds of nonpositive first Chern class can be deformed into Kähler–Einstein metrics.[Y78a] Akito Futaki showed that the existence of holomorphic vector fields can act as an obstruction to the direct extension of these results to the case when the complex manifold has positive first Chern class.[35] A proposal of Calabi's suggested that Kähler–Einstein metrics exist on any compact Kähler manifolds with positive first Chern class which admit no holomorphic vector fields.[Y82b] During the 1980s, Yau and others came to understand that this criterion could not be sufficient. Inspired by the Donaldson−Uhlenbeck−Yau theorem, Yau proposed that the existence of Kähler–Einstein metrics must be linked to stability of the complex manifold in the sense of geometric invariant theory, with the idea of studying holomorphic vector fields along projective embeddings, rather than holomorphic vector fields on the manifold itself.[Y93] Subsequent research of Gang Tian and Simon Donaldson refined this conjecture, which became known as the Yau–Tian–Donaldson conjecture relating Kähler–Einstein metrics and K-stability. In 2019, Xiuxiong Chen, Donaldson, and Song Sun were awarded the Oswald Veblen prize for resolution of the conjecture.[54]

Geometric variational problems

In 1982, Li and Yau resolved the Willmore conjecture in the non-embedded case.[LY82] More precisely, they established that, given any smooth immersion of a closed surface in the 3-sphere which fails to be an embedding, the Willmore energy is bounded below by 8π. This is complemented by a 2012 result of Fernando Marques and André Neves, which says that in the alternative case of a smooth embedding of the 2-dimensional torus S1 × S1, the Willmore energy is bounded below by 2π2.[55] Together, these results comprise the full Willmore conjecture, as originally formulated by Thomas Willmore in 1965. Although their assumptions and conclusions are quite similar, the methods of Li−Yau and Marques−Neves are distinct. Nonetheless, they both rely on structurally similar minimax schemes. Marques and Neves made novel use of the Almgren–Pitts min-max theory of the area functional from geometric measure theory; Li and Yau's approach depended on their new "conformal invariant", which is a min-max quantity based on the Dirichlet energy. The main work of their article is devoted to relating their conformal invariant to other geometric quantities.

William Meeks and Yau produced some foundational results on minimal surfaces in three-dimensional manifolds, revisiting points left open by older work of Jesse Douglas and Charles Morrey.[MY82][41] Following these foundations, Meeks, Leon Simon, and Yau gave a number of fundamental results on surfaces in three-dimensional Riemannian manifolds which minimize area within their homology class.[MSY82] They were able to give a number of striking applications. For example, they showed that if M is an orientable 3-manifold such that every smooth embedding of a 2-sphere can be extended to a smooth embedding of the unit ball, then the same is true of any covering space of M. Interestingly, Meeks-Simon-Yau's paper and Hamilton's foundational paper on Ricci flow, published in the same year, have a result in common, obtained by very distinct methods: any simply-connected compact 3-dimensional Riemannian manifold with positive Ricci curvature is diffeomorphic to the 3-sphere.

Geometric rigidity theorems

In the geometry of submanifolds, both the extrinsic and intrinsic geometries are significant. These are reflected by the intrinsic Riemannian metric and the second fundamental form. Many geometers have considered the phenomena which arise from restricting these data to some form of constancy. This includes as special cases the problems of minimal surfaces, constant mean curvature, and submanifolds whose metric has constant scalar curvature.

  • The archetypical example of such questions is Bernstein's problem, as completely settled in famous work of James Simons, Enrico Bombieri, Ennio De Giorgi, and Enrico Giusti in the 1960s. Their work asserts that a minimal hypersurface which is a graph over Euclidean space must be a plane in low dimensions, with counterexamples in high dimensions.[56] The key point of the proof of planarity is the non-existence of conical and non-planar stable minimal hypersurfaces of Euclidean spaces of low dimension; this was given a simple proof by Richard Schoen, Leon Simon, and Yau.[SSY75] Their technique of combining the Simons inequality with the formula for second variation of area has subsequently been used many times in the literature.[41][57]
  • Given the "threshold" dimension phenomena in the standard Bernstein problem, it is a somewhat surprising fact, due to Shiu-Yuen Cheng and Yau, that there is no dimensional restriction in the Lorentzian analogue: any spacelike hypersurface of multidimensional Minkowski space which is a graph over Euclidean space and has zero mean curvature must be a plane.[CY76a] Their proof makes use of the maximum principle techniques which they had previously used to prove differential Harnack estimates.[CY75] Later they made use of similar techniques to give a new proof of the classification of complete parabolic or elliptic affine hyperspheres in affine geometry.[CY86]
  • In one of his earliest papers, Yau considered the extension of the constant mean curvature condition to higher codimension, where the condition can be interpreted either as the mean curvature being parallel as a section of the normal bundle, or as the constancy of the length of the mean curvature. Under the former interpretation, he fully characterized the case of two-dimensional surfaces in Riemannian space forms, and found partial results under the (weaker) second interpretation.[Y74] Some of his results were independently found by Bang-Yen Chen.[58]
  • Extending Philip Hartman and Louis Nirenberg's earlier work on intrinsically flat hypersurfaces of Euclidean space, Cheng and Yau considered hypersurfaces of space forms which have constant scalar curvature.[59] The key tool in their analysis was an extension of Hermann Weyl's differential identity used in the solution of the Weyl isometric embedding problem.[CY77b]

Outside of the setting of submanifold rigidity problems, Yau was able to adapt Jürgen Moser's method of proving Caccioppoli inequalities, thereby proving new rigidity results for functions on complete Riemannian manifolds. A particularly famous result of his says that a subharmonic function cannot be both positive and Lp integrable unless it is constant.[Y76][47][60] Similarly, on a complete Kähler manifold, a holomorphic function cannot be Lp integrable unless it is constant.[Y76]

Minkowski problem and Monge–Ampère equation

The Minkowski problem of classical differential geometry can be viewed as the problem of prescribing Gaussian curvature. In the 1950s, Louis Nirenberg and Aleksei Pogorelov resolved the problem for two-dimensional surfaces, making use of recent progress on the Monge–Ampère equation for two-dimensional domains. By the 1970s, higher-dimensional understanding of the Monge–Ampère equation was still lacking. In 1976, Shiu-Yuen Cheng and Yau resolved the Minkowski problem in general dimensions via the method of continuity, making use of fully geometric estimates instead of the theory of the Monge–Ampère equation.[CY76b][61]

As a consequence of their resolution of the Minkowski problem, Cheng and Yau were able to make progress on the understanding of the Monge–Ampère equation.[CY77a] The key observation is that the Legendre transform of a solution of the Monge–Ampère equation has its graph's Gaussian curvature prescribed by a simple formula depending on the "right-hand side" of the Monge–Ampère equation. As a consequence, they were able to prove the general solvability of the Dirichlet problem for the Monge–Ampère equation, which at the time had been a major open question except for two-dimensional domains.[61]

Cheng and Yau's papers followed some ideas presented in 1971 by Pogorelov, although his publicly available works (at the time of Cheng and Yau's work) had lacked some significant detail.[62] Pogorelov also published a more detailed version of his original ideas, and the resolutions of the problems are commonly attributed to both Cheng–Yau and Pogorelov.[63][61] The approaches of Cheng−Yau and Pogorelov are no longer commonly seen in the literature on the Monge–Ampère equation, as other authors, notably Luis Caffarelli, Nirenberg, and Joel Spruck, have developed direct techniques which yield more powerful results, and which do not require the auxiliary use of the Minkowski problem.[63]

Affine spheres are naturally described by solutions of certain Monge–Ampère equations, so that their full understanding is significantly more complicated than that of Euclidean spheres, the latter not being based on partial differential equations. In the parabolic case, affine spheres were completely classified as paraboloids by successive work of Konrad Jörgens, Eugenio Calabi, and Pogorelov. The elliptic affine spheres were identified as ellipsoids by Calabi. The hyperbolic affine spheres exhibit more complicated phenomena. Cheng and Yau proved that they are asymptotic to convex cones, and conversely that every (uniformly) convex cone corresponds in such a way to some hyperbolic affine sphere.[CY86] They were also able to provide new proofs of the previous classifications of Calabi and Jörgens–Calabi–Pogorelov.[61][64]

Mirror symmetry

A Calabi–Yau manifold is a compact Kähler manifold which is Ricci-flat; as a special case of Yau's verification of the Calabi conjecture, such manifolds are known to exist.[Y78a] Mirror symmetry, which is a proposal developed by theoretical physicists dating from the late 1980s, postulates that Calabi−Yau manifolds of complex dimension three can be grouped into pairs which share certain characteristics, such as Euler and Hodge numbers. Based on this conjectural picture, the physicists Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green, and Linda Parkes proposed a formula of enumerative geometry which encodes the number of rational curves of any fixed degree in a general quintic hypersurface of four-dimensional complex projective space. Bong Lian, Kefeng Liu, and Yau gave a rigorous proof that this formula holds.[LLY97] A year earlier, Alexander Givental had published a proof of the mirror formulas; according to Lian, Liu, and Yau, the details of his proof were only successfully filled in following their own publication.[25] The proofs of Givental and Lian–Liu–Yau have some overlap but are distinct approaches to the problem, and each have since been given textbook expositions.[65][66]

The works of Givental and of Lian−Liu−Yau confirm a prediction made by the more fundamental mirror symmetry conjecture of how three-dimensional Calabi−Yau manifolds can be paired off. However, their works do not logically depend on the conjecture itself, and so have no immediate bearing on its validity. With Andrew Strominger and Eric Zaslow, Yau proposed a geometric picture of how mirror symmetry might be systematically understood and proved to be true.[SYZ96] Their idea is that a Calabi−Yau manifold with complex dimension three should be foliated by special Lagrangian tori, which are certain types of three-dimensional minimal submanifolds of the six-dimensional Riemannian manifold underlying the Calabi−Yau structure. Mirror manifolds would then be characterized, in terms of this conjectural structure, by having dual foliations. The Strominger−Yau−Zaslow (SYZ) proposal has been modified and developed in various ways since 1996. The conceptual picture that it provides has had a significant influence in the study of mirror symmetry, and research on its various aspects is currently an active field. It can be contrasted with the alternative homological mirror symmetry proposal by Maxim Kontsevich. The viewpoint of the SYZ conjecture is on geometric phenomena in Calabi–Yau spaces, while Kontsevich's conjecture abstracts the problem to deal with purely algebraic structures and category theory.[32][39][65][66]

Comparison geometry

In one of Yau's earliest papers, written with Blaine Lawson, a number of fundamental results were found on the topology of closed Riemannian manifolds with nonpositive curvature.[LY72] Their flat torus theorem characterizes the existence of a flat and totally geodesic immersed torus in terms of the algebra of the fundamental group. The splitting theorem says that the splitting of the fundamental group as a maximally noncommutative direct product implies the isometric splitting of the manifold itself. Similar results were obtained at the same time by Detlef Gromoll and Joseph Wolf.[67][68] Their results have been extended to the broader context of isometric group actions on metric spaces of nonpositive curvature.[69]

Jeff Cheeger and Yau studied the heat kernel on a Riemannian manifold. They established the special case of Riemannian metrics for which geodesic spheres have constant mean curvature, which they proved to be characterized by radial symmetry of the heat kernel.[CY81] Specializing to rotationally symmetric metrics, they used the exponential map to transplant the heat kernel to a geodesic ball on a general Riemannian manifold. Under the assumption that the symmetric "model" space under-estimates the Ricci curvature of the manifold itself, they carried out a direct calculation showing that the resulting function is a subsolution of the heat equation. As a consequence, they obtained a lower estimate of the heat kernel on a general Riemannian manifold in terms of lower bounds on its Ricci curvature.[70][71] In the special case of nonnegative Ricci curvature, Peter Li and Yau were able to use their gradient estimates to amplify and improve the Cheeger−Yau estimate.[LY86][47]

A well-known result of Yau's, obtained independently by Calabi, shows that any noncompact Riemannian manifold of nonnegative Ricci curvature must have volume growth of at least a linear rate.[Y76][47] A second proof, using the Bishop–Gromov inequality instead of function theory, was later found by Cheeger, Mikhael Gromov, and Michael Taylor.

Spectral geometry

Given a smooth compact Riemannian manifold, with or without boundary, spectral geometry studies the eigenvalues of the Laplace–Beltrami operator, which in the case that the manifold has a boundary is coupled with a choice of boundary condition, usually Dirichlet or Neumann conditions. Paul Yang and Yau showed that in the case of a closed two-dimensional manifold, the first eigenvalue is bounded above by an explicit formula depending only on the genus and volume of the manifold.[YY80][41] Earlier, Yau had modified Jeff Cheeger's analysis of the Cheeger constant so as to be able to estimate the first eigenvalue from below in terms of geometric data.[Y75a][72]

In the 1910s, Hermann Weyl showed that, in the case of Dirichlet boundary conditions on a smooth and bounded open subset of the plane, the eigenvalues have an asymptotic behavior which is dictated entirely by the area contained in the region. His result is known as Weyl's law. In 1960, George Pólya conjectured that the Weyl law actually gives control of each individual eigenvalue, and not only of their asymptotic distribution. Li and Yau proved a weakened version of Pólya's conjecture, obtaining control of the averages of the eigenvalues by the expression in the Weyl law.[LY83][73]

In 1980, Li and Yau identified a number of new inequalities for Laplace–Beltrami eigenvalues, all based on the maximum principle and the differential Harnack estimates as pioneered five years earlier by Yau and Cheng−Yau.[LY80] Their result on lower bounds based on geometric data is particularly well-known,[74][51][47] and was the first of its kind to not require any conditional assumptions.[75] Around the same time, a similar inequality was obtained by isoperimetric methods by Mikhael Gromov, although his result is weaker than Li and Yau's.[70] In collaboration with Isadore Singer, Bun Wong, and Shing-Toung Yau, Yau used the Li–Yau methodology to establish a gradient estimate for the quotient of the first two eigenfunctions.[S+85] Analogously to Yau's integration of gradient estimates to find Harnack inequalities, they were able to integrate their gradient estimate to obtain control of the fundamental gap, which is the difference between the first two eigenvalues. The work of Singer–Wong–Yau–Yau initiated a series of works by various authors in which new estimates on the fundamental gap were found and improved.[76]

In 1982, Yau identified fourteen problems of interest in spectral geometry, including the above Pólya conjecture.[Y82b] A particular conjecture of Yau's, on the control of the size of level sets of eigenfunctions by the value of the corresponding eigenvalue, was resolved by Alexander Logunov and Eugenia Malinnikova, who were awarded the 2017 Clay Research Award in part for their work.[77]

Discrete and computational geometry

Xianfeng Gu and Yau considered the numerical computation of conformal maps between two-dimensional manifolds (presented as discretized meshes), and in particular the computation of uniformizing maps as predicted by the uniformization theorem. In the case of genus-zero surfaces, a map is conformal if and only if it is harmonic, and so Gu and Yau are able to compute conformal maps by direct minimization of a discretized Dirichlet energy.[GY02] In the case of higher genus, the uniformizing maps are computed from their gradients, as determined from the Hodge theory of closed and harmonic 1-forms.[GY02] The main work is thus to identify numerically effective discretizations of the classical theory. Their approach is sufficiently flexible to deal with general surfaces with boundary.[GY03][78] With Tony Chan, Paul Thompson, and Yalin Wang, Gu and Yau applied their work to the problem of matching two brain surfaces, which is an important issue in medical imaging. In the most-relevant genus-zero case, conformal maps are only well-defined up to the action of the Möbius group. By further optimizing a Dirichlet-type energy which measures the mismatch of brain landmarks such as the central sulcus, they obtained mappings which are well-defined by such neurological features.[G+04]

In the field of graph theory, Fan Chung and Yau extensively developed analogues of notions and results from Riemannian geometry. These results on differential Harnack inequalities, Sobolev inequalities, and heat kernel analysis, found partly in collaboration with Ronald Graham and Alexander Grigor'yan, were later written into textbook form as the last few chapters of her well-known book "Spectral Graph Theory".[79] Later, they introduced a Green's function as defined for graphs, amounting to a pseudo-inverse of the graph Laplacian.[CY00] Their work is naturally applicable to the study of hitting times for random walks and related topics.[80][81]

In the interest of finding general graph-theoretic contexts for their results, Chung and Yau introduced a notion of Ricci-flatness of a graph.[79] A more flexible notion of Ricci curvature, dealing with Markov chains on metric spaces, was later introduced by Yann Ollivier. Yong Lin, Linyuan Lu, and Yau developed some of the basic theory of Ollivier's definition in the special context of graph theory, considering for instance the Ricci curvature of Erdös–Rényi random graphs.[LLY11] Lin and Yau also considered the curvature–dimension inequalities introduced earlier by Dominique Bakry and Michel Émery, relating it and Ollivier's curvature to Chung–Yau's notion of Ricci-flatness.[LY10] They were further able to prove general lower bounds on Bakry–Émery and Ollivier's curvatures in the case of locally finite graphs.[82]

Honors and awards

Yau has received honorary professorships from many Chinese universities, including Hunan Normal University, Peking University, Nankai University, and Tsinghua University. He has honorary degrees from many international universities, including Harvard University, Chinese University of Hong Kong, and University of Waterloo. He is a foreign member of the National Academies of Sciences of China, India, and Russia.

His awards include:

Major publications

Research articles. Yau is the author of over five hundred articles. The following, among the most cited, are surveyed above:

LY72. Lawson, H. Blaine, Jr.; Yau, Shing Tung (1972). "Compact manifolds of nonpositive curvature". Journal of Differential Geometry. 7 (1–2): 211–228. doi:10.4310/jdg/1214430828. MR 0334083. Zbl 0266.53035.
Y74. Yau, Shing Tung (1974). "Submanifolds with constant mean curvature. I". American Journal of Mathematics. 96 (2): 346–366. doi:10.2307/2373638. JSTOR 2373638. MR 0370443. Zbl 0304.53041.
CY75. Cheng, S. Y.; Yau, S. T. (1975). "Differential equations on Riemannian manifolds and their geometric applications". Communications on Pure and Applied Mathematics. 28 (3): 333–354. doi:10.1002/cpa.3160280303. MR 0385749. Zbl 0312.53031.
Y75b. Yau, Shing Tung (1975). "Harmonic functions on complete Riemannian manifolds". Communications on Pure and Applied Mathematics. 28 (2): 201–228. doi:10.1002/cpa.3160280203. MR 0431040. Zbl 0291.31002.
CY76a. Cheng, Shiu Yuen; Yau, Shing Tung (1976). "Maximal space-like hypersurfaces in the Lorentz–Minkowski spaces". Annals of Mathematics. Second Series. 104 (3): 407–419. doi:10.2307/1970963. JSTOR 1970963. MR 0431061. Zbl 0352.53021.
CY76b. Cheng, Shiu Yuen; Yau, Shing Tung (1976). "On the regularity of the solution of the n-dimensional Minkowski problem". Communications on Pure and Applied Mathematics. 29 (5): 495–516. doi:10.1002/cpa.3160290504. MR 0423267. Zbl 0363.53030.
SY76. Schoen, Richard; Yau, Shing Tung (1976). "Harmonic maps and the topology of stable hypersurfaces and manifolds with non-negative Ricci curvature". Commentarii Mathematici Helvetici. 51 (3): 333–341. doi:10.1007/BF02568161. MR 0438388. S2CID 120845708. Zbl 0361.53040.
CY77a. Cheng, Shiu Yuen; Yau, Shing Tung (1977). "On the regularity of the Monge–Ampère equation det(∂2u/∂xi∂xj) = F(x,u)". Communications on Pure and Applied Mathematics. 30 (1): 41–68. doi:10.1002/cpa.3160300104. MR 0437805. Zbl 0347.35019.
Y78a. Yau, Shing Tung (1978). "On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge–Ampère equation. I". Communications on Pure and Applied Mathematics. 31 (3): 339–411. doi:10.1002/cpa.3160310304. MR 0480350. Zbl 0369.53059.
Y78b. Yau, Shing Tung (1978). "A general Schwarz lemma for Kähler manifolds". American Journal of Mathematics. 100 (1): 197–203. doi:10.2307/2373880. JSTOR 2373880. MR 0486659. Zbl 0424.53040.
SY79a. Schoen, R.; Yau, Shing Tung (1979). "Existence of incompressible minimal surfaces and the topology of three-dimensional manifolds with nonnegative scalar curvature". Annals of Mathematics. Second Series. 110 (1): 127–142. doi:10.2307/1971247. JSTOR 1971247. MR 0541332. Zbl 0431.53051.
SY79b. Schoen, R.; Yau, S. T. (1979). "On the structure of manifolds with positive scalar curvature". Manuscripta Mathematica. 28 (1–3): 159–183. doi:10.1007/BF01647970. MR 0535700. S2CID 121008386. Zbl 0423.53032.
CY80. Cheng, Shiu Yuen; Yau, Shing Tung (1980). "On the existence of a complete Kähler metric on noncompact complex manifolds and the regularity of Fefferman's equation". Communications on Pure and Applied Mathematics. 33 (4): 507–544. doi:10.1002/cpa.3160330404. MR 0575736. Zbl 0506.53031.
LY80. (1980) "Estimates of eigenvalues of a compact Riemannian manifold" in University of Hawaii, Honolulu (March 27–30, 1979). 36: 205–239, Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/pspum/036. 
YY80. Yang, Paul C.; Yau, Shing Tung (1980). "Eigenvalues of the Laplacian of compact Riemann surfaces and minimal submanifolds". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Serie IV. 7 (1): 55–63. MR 0577325. Zbl 0446.58017.
CY81. Cheeger, Jeff; Yau, Shing-Tung (1981). "A lower bound for the heat kernel". Communications on Pure and Applied Mathematics. 34 (4): 465–480. doi:10.1002/cpa.3160340404. MR 0615626. Zbl 0481.35003.
CLY81. Cheng, Siu Yuen; Li, Peter; Yau, Shing-Tung (1981). "On the upper estimate of the heat kernel of a complete Riemannian manifold". American Journal of Mathematics. 103 (5): 1021–1063. doi:10.2307/2374257. JSTOR 2374257. MR 0630777. Zbl 0484.53035.
MSY82. Meeks, William, III; Simon, Leon; Yau, Shing Tung (1982). "Embedded minimal surfaces, exotic spheres, and manifolds with positive Ricci curvature". Annals of Mathematics. Second Series. 116 (3): 621–659. doi:10.2307/2007026. JSTOR 2007026. MR 0678484. Zbl 0521.53007.
S+85. Singer, I. M.; Wong, Bun; Yau, Shing-Tung; Yau, Stephen S.-T. (1985). "An estimate of the gap of the first two eigenvalues in the Schrödinger operator". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Serie IV. 12 (2): 319–333. MR 0829055. Zbl 0603.35070.
CY86. Cheng, Shiu Yuen; Yau, Shing-Tung (1986). "Complete affine hypersurfaces. I. The completeness of affine metrics". Communications on Pure and Applied Mathematics. 39 (6): 839–866. doi:10.1002/cpa.3160390606. MR 0859275. Zbl 0623.53002.
UY86. Uhlenbeck, K.; Yau, S.-T. (1986). "On the existence of Hermitian–Yang–Mills connections in stable vector bundles". Communications on Pure and Applied Mathematics. 39 (S): 257–293. doi:10.1002/cpa.3160390714. MR 0861491. Zbl 0615.58045. قالب:Erratum
G+90. Greene, Brian R.; Shapere, Alfred; Vafa, Cumrun; Yau, Shing-Tung (1990). "Stringy cosmic strings and noncompact Calabi–Yau manifolds". Nuclear Physics B. 337 (1): 1–36. Bibcode:1990NuPhB.337....1G. doi:10.1016/0550-3213(90)90248-C. MR 1059826. Zbl 0744.53045.
HY96. Huisken, Gerhard; Yau, Shing-Tung (1996). "Definition of center of mass for isolated physical systems and unique foliations by stable spheres with constant mean curvature". Inventiones Mathematicae. 124 (1–3): 281–311. Bibcode:1996InMat.124..281H. doi:10.1007/s002220050054. hdl:11858/00-001M-0000-0013-5B63-3. MR 1369419. S2CID 122669931. Zbl 0858.53071.
SYZ96. Strominger, Andrew; Yau, Shing-Tung; Zaslow, Eric (1996). "Mirror symmetry is T-duality". Nuclear Physics B. 479 (1–2): 243–259. arXiv:hep-th/9606040. Bibcode:1996NuPhB.479..243S. doi:10.1016/0550-3213(96)00434-8. MR 1429831. S2CID 14586676. Zbl 0896.14024.
GY02. Gu, Xianfeng; Yau, Shing-Tung (2002). "Computing conformal structures of surfaces". Communications in Information and Systems. 2 (2): 121–145. arXiv:cs/0212043. Bibcode:2002cs.......12043G. doi:10.4310/CIS.2002.v2.n2.a2. MR 1958012. Zbl 1092.14514.
GY03. (2003) "Global conformal surface parameterization".: 127–137, Goslar, Germany: Eurographics Association. doi:10.2312/SGP/SGP03/127-137. 
G+04. Gu, Xianfeng; Wang, Yalin; Chan, Tony F.; Thompson, Paul M.; Yau, Shing-Tung (2004). "Genus zero surface conformal mapping and its application to brain surface mapping". IEEE Transactions on Medical Imaging. 28 (8): 949–958. doi:10.1109/TMI.2004.831226. PMID 15338729.
LY10. Lin, Yong; Yau, Shing-Tung (2010). "Ricci curvature and eigenvalue estimate on locally finite graphs". Mathematical Research Letters. 17 (2): 343–356. doi:10.4310/MRL.2010.v17.n2.a13. MR 2644381. Zbl 1232.31003.
LLY11. Lin, Yong; Lu, Linyuan; Yau, Shing-Tung (2011). "Ricci curvature of graphs". Tohoku Mathematical Journal. Second Series. 63 (4): 605–627. doi:10.2748/tmj/1325886283. MR 2872958. Zbl 1237.05204.

Survey articles.

Y82a. Yau, Shing Tung (1982). "Survey on partial differential equations in differential geometry". In Yau, Shing-Tung (ed.). Seminar on Differential Geometry. Annals of Mathematics Studies. 102. Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. 3–71. doi:10.1515/9781400881918-002. ISBN 9781400881918. MR 0645729. Zbl 0478.53001. More than one of |encyclopedia= and |encyclopedia= specified (help)
Y82b. Yau, Shing Tung (1982). "Problem section". In Yau, Shing-Tung (ed.). Seminar on Differential Geometry. Annals of Mathematics Studies. 102. Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. 669–706. doi:10.1515/9781400881918-035. ISBN 9781400881918. MR 0645762. Zbl 0479.53001. More than one of |encyclopedia= and |encyclopedia= specified (help)
Y93. (1993) "Open problems in geometry" in American Mathematical Society Summer Institute on Differential Geometry (University of California, Los Angeles, July 9–27, 1990). 54: 1–28, Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/pspum/054.1. 
Y06. (2006) "Perspectives on geometric analysis". 10: 275–379, Somerville, MA: International Press. doi:10.4310/SDG.2005.v10.n1.a8. 
Y14a. Ji, Lizhen; Li, Peter; Liu, Kefeng; Schoen, Richard, eds. (2014a). Selected expository works of Shing-Tung Yau with commentary. Vol. I. Advanced Lectures in Mathematics. 28. Somerville, MA: International Press. ISBN 978-1-57146-293-0. MR 3307244. Zbl 1401.01045.
Y14b. Ji, Lizhen; Li, Peter; Liu, Kefeng; Schoen, Richard, eds. (2014b). Selected expository works of Shing-Tung Yau with commentary. Vol. II. Advanced Lectures in Mathematics. 29. Somerville, MA: International Press. ISBN 978-1-57146-294-7. MR 3307245. Zbl 1401.01046.

Textbooks and technical monographs.

SY94. Schoen, R.; Yau, S.-T. (1994). Lectures on differential geometry. Conference Proceedings and Lecture Notes in Geometry and Topology. 1. Lecture notes prepared by Wei Yue Ding, Kung Ching Chang, Jia Qing Zhong and Yi Chao Xu. Translated from the Chinese by Ding and S. Y. Cheng. Preface translated from the Chinese by Kaising Tso. Cambridge, MA: International Press. ISBN 1-57146-012-8. MR 1333601. Zbl 0830.53001.
SY97. Schoen, R.; Yau, S. T. (1997). Lectures on harmonic maps. Conference Proceedings and Lecture Notes in Geometry and Topology. 2. Cambridge, MA: International Press. ISBN 1-57146-002-0. MR 1474501. Zbl 0886.53004.
SY98. Salaff, Stephen; Yau, Shing-Tung (1998). Ordinary differential equations (Second ed.). Cambridge, MA: International Press. ISBN 1-57146-065-9. MR 1691427. Zbl 1089.34500.
GY08. Gu, Xianfeng David; Yau, Shing-Tung (2008). Computational conformal geometry. Advanced Lectures in Mathematics. 3. Somerville, MA: International Press. ISBN 978-1-57146-171-1. MR 2439718.

Popular books.

YN10. Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). The shape of inner space. String theory and the geometry of the universe's hidden dimensions. New York: Basic Books. ISBN 978-0-465-02023-2. MR 2722198. Zbl 1235.00025.
NY13. Nadis, Steve; Yau, Shing-Tung (2013). A history in sum. 150 years of mathematics at Harvard (1825–1975). Cambridge, MA: Harvard University Press. ISBN 978-0-674-72500-3. MR 3100544. Zbl 1290.01005.
YN19. Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2019). The shape of a life. One mathematician's search for the universe's hidden geometry. New Haven, CT: Yale University Press. ISBN 978-0-300-23590-6. MR 3930611. Zbl 1435.32001.

References

  1. ^ "Questions and answers with Shing-Tung Yau", Physics Today, 11 April 2016.
  2. ^ Albers, Donald J.; Alexanderson, G. L.; Reid, Constance. International Mathematical Congresses. An Illustrated History 1893-1986. Rev. ed. including ICM 1986. Springer-Verlag, New York, 1986
  3. ^ "丘成桐院士关注家乡蕉岭仓海诗廊文化建设项目". Eastday (in الصينية). 2018-06-06. Retrieved 2019-08-17.
  4. ^ Shinobu Hosono. Interview with Shing-Tug Yau.
  5. ^ أ ب Page at Center of Mathematical Sciences at Zhejiang University
  6. ^ أ ب Shing-Tung Yau. Mathematics Genealogy.
  7. ^ "Shing-Tung Yau (Biography)".
  8. ^ "University of California, San Diego: External Relations: News & Information: News Releases : Science".
  9. ^ "Department of Mathematics faculty, Harvard University".
  10. ^ أ ب "Stephen Hawking invited me to discuss [the proof] with him at Cambridge University in late August 1978. I gladly accepted.... Travel was difficult, however, because the British Consulate had recently taken my Hong Kong resident card, maintaining that I could not keep it now that I had a U.S. green card. In the process, I had become stateless. I was no longer a citizen of any country.... until I became a U.S. citizen in 1990."[YN19]:125
  11. ^ According to the Chinese nationality law, he was a Chinese national by descent and birth and remained so until his naturalization.
  12. ^ أ ب Nasar, Sylvia; Gruber, David (August 26, 2006). "Manifold Destiny: A legendary problem and the battle over who solved it". New Yorker. Retrieved February 26, 2020.
  13. ^ أ ب Overbye, Dennis (October 17, 2006). "Scientist at Work: Shing-Tung Yau The Emperor of Math". The New York Times. Retrieved September 14, 2013. He became a United States citizen in 1990.
  14. ^ "Maths genius leaves Harvard to help make China a powerhouse on subject". South China Morning Post (in الإنجليزية). 2022-04-21. Retrieved 2022-04-22.
  15. ^ "Shing-Tung Yau, mathematician at UCSD awarded the Fields Medal." In "News Releases," Series Two of the University Communications Public Relations Materials. RSS 6020. Special Collections & Archives, UC San Diego
  16. ^ Centre Director. Center of Mathematical Sciences, Zhejiang University.
  17. ^ About. Yau Mathematical Sciences Center at Tsinghua University.
  18. ^ Directory. Institute of Applied Mathematical Sciences at National Taiwan University.
  19. ^ Tsinghua Sanya International Mathematics Forum.
  20. ^ "About – CMSA".
  21. ^ Editorial Board of Journal of Differential Geometry.
  22. ^ Editorial Board of Asian Journal of Mathematics.
  23. ^ Editorial Board of Advances in Theoretical and Mathematical Physics.
  24. ^ "Russian Reports He Has Solved a Celebrated Math Problem." New York Times (April 15, 2003). Sara Robinson.
  25. ^ أ ب For both sides of the dispute, see: and Footnote 17 in
    • (1998) "Elliptic Gromov–Witten invariants and the generalized mirror conjecture" in 41st Taniguchi Symposium held in Kobe (June 30–July 4, 1997) and at Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University, Kyoto (July 7–11, 1997).: 107–155, River Edge, NJ: World Scientific. 
  26. ^ Famous scientist slams academic corruption in China Archived 2008-09-17 at the Wayback Machine., China View (Xinhua), 17 August 2006. Retrieved on 2008-08-05.
  27. ^ Xin, Hao (2006). "Frustrations Mount Over China's High-Priced Hunt for Trophy Professors". Science. 313 (5794): 1721–1723. doi:10.1126/science.313.5794.1721. PMID 16990526. S2CID 35979069.
  28. ^ Solving an Old Math Problem Nets Award, Trouble. National Public Radio (2006).
  29. ^ Yau's website, with information on his legal action and letter to The New Yorker
  30. ^ See the reprints of [Y82b] and [Y93] in Volume I of [Y14].
  31. ^ أ ب ت ث ج Aubin, Thierry (1998). Some nonlinear problems in Riemannian geometry. Springer Monographs in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-13006-3. ISBN 3-540-60752-8. MR 1636569. Zbl 0896.53003.
  32. ^ أ ب ت Joyce, Dominic D. (2007). Riemannian holonomy groups and calibrated geometry. Oxford Graduate Texts in Mathematics. 12. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921559-1. MR 2292510. Zbl 1200.53003.
  33. ^ أ ب Siu, Yum Tong (1987). Lectures on Hermitian–Einstein metrics for stable bundles and Kähler–Einstein metrics. DMV Seminar. 8. Basel: Birkhäuser Verlag. doi:10.1007/978-3-0348-7486-1. ISBN 3-7643-1931-3. MR 0904673. Zbl 0631.53004.
  34. ^ Tian, Gang (2000). Canonical metrics in Kähler geometry. Lectures in Mathematics ETH Zürich. Notes taken by Meike Akveld. Basel: Birkhäuser Verlag. doi:10.1007/978-3-0348-8389-4. ISBN 3-7643-6194-8. MR 1787650. Zbl 0978.53002.
  35. ^ أ ب ت ث ج Besse, Arthur L. (1987). Einstein manifolds. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3). 10. Reprinted in 2008. Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-74311-8. ISBN 3-540-15279-2. MR 0867684. Zbl 0613.53001.
  36. ^ أ ب Becker, Katrin; Becker, Melanie; Schwarz, John H. (2007). String theory and M-theory. A modern introduction. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511816086. ISBN 978-0-521-86069-7. MR 2285203. Zbl 1123.81001.
  37. ^ أ ب Green, Michael B.; Schwarz, John H.; Witten, Edward (2012). Superstring theory. Vol. 2. Loop amplitudes, anomalies and phenomenology (25th anniversary edition of 1987 original ed.). Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139248570. ISBN 978-1-107-02913-2. MR 3155202. Zbl 1245.53003.
  38. ^ Hübsch, Tristan (1992). Calabi–Yau manifolds. A bestiary for physicists. River Edge, NJ: World Scientific. Bibcode:1992cymb.book.....H. doi:10.1142/1410. ISBN 981-02-0662-3. MR 1177829. Zbl 0771.53002.
  39. ^ أ ب Aspinwall, Paul S.; Bridgeland, Tom; Craw, Alastair; Douglas, Michael R.; Gross, Mark; Kapustin, Anton; Moore, Gregory W.; Segal, Graeme; Szendrői, Balázs; Wilson, P. M. H. (2009). Dirichlet branes and mirror symmetry. Clay Mathematics Monographs. 4. Cambridge, MA: Clay Mathematics Institute. ISBN 978-0-8218-3848-8. MR 2567952. Zbl 1188.14026.
  40. ^ Gross, Mark; Wilson, P. M. H. (2000). "Large complex structure limits of K3 surfaces". Journal of Differential Geometry. 55 (3): 475–546. arXiv:math/0008018. Bibcode:2000math......8018G. doi:10.4310/jdg/1090341262. MR 1863732. Zbl 1027.32021.
  41. ^ أ ب ت ث Colding, Tobias Holck; Minicozzi, William P., II (2011). A course in minimal surfaces. Graduate Studies in Mathematics. 121. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/gsm/121. ISBN 978-0-8218-5323-8. MR 2780140. Zbl 1242.53007.
  42. ^ Gromov, Mikhael; Lawson, H. Blaine, Jr. (1983). "Positive scalar curvature and the Dirac operator on complete Riemannian manifolds". Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques. 58: 83–196. doi:10.1007/BF02953774. MR 0720933. S2CID 123212001. Zbl 0538.53047.
  43. ^ Jost, Jürgen (1991). Two-dimensional geometric variational problems. Chichester: John Wiley & Sons, Ltd. ISBN 0-471-92839-9. MR 1100926. Zbl 0729.49001. قالب:Erratum
  44. ^ Lin, Fanghua; Wang, Changyou (2008). The analysis of harmonic maps and their heat flows. Hackensack, NJ: World Scientific. doi:10.1142/9789812779533. ISBN 978-981-277-952-6. MR 2431658. Zbl 1203.58004.
  45. ^ أ ب Choquet-Bruhat, Yvonne (2009). General relativity and the Einstein equations. Oxford Mathematical Monographs. Oxford: Oxford University Press. doi:10.1093/acprof:oso/9780199230723.001.0001. ISBN 978-0-19-923072-3. MR 2473363. Zbl 1157.83002.
  46. ^ Huisken, Gerhard (1987). "The volume preserving mean curvature flow". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1987 (382): 35–48. doi:10.1515/crll.1987.382.35. MR 0921165. S2CID 118368038. Zbl 0621.53007.
  47. ^ أ ب ت ث ج ح خ د Li, Peter (2012). Geometric analysis. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 134. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139105798. ISBN 978-1-107-02064-1. MR 2962229. Zbl 1246.53002.
  48. ^ Pigola, Stefano; Rigoli, Marco; Setti, Alberto G. (2005). "Maximum principles on Riemannian manifolds and applications". Memoirs of the American Mathematical Society. 174 (822). doi:10.1090/memo/0822. ISBN 978-0-8218-3639-2. MR 2116555. Zbl 1075.58017.
  49. ^ أ ب Pigola, Stefano; Rigoli, Marco; Setti, Alberto G. (2008). Vanishing and finiteness results in geometric analysis. A generalization of the Bochner technique. Progress in Mathematics. 266. Basel: Birkhäuser Verlag. doi:10.1007/978-3-7643-8642-9. ISBN 978-3-7643-8641-2. MR 2401291. Zbl 1150.53001.
  50. ^ Graham, C. Robin; Lee, John M. (1991). "Einstein metrics with prescribed conformal infinity on the ball". Advances in Mathematics. 87 (2): 186–225. doi:10.1016/0001-8708(91)90071-E. MR 1112625. Zbl 0765.53034.
  51. ^ أ ب ت ث Chow, Bennett; Lu, Peng; Ni, Lei (2006). Hamilton's Ricci flow. Graduate Studies in Mathematics. 77. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/gsm/077. ISBN 9780821842317. MR 2274812. Zbl 1118.53001.
  52. ^ Chow, Bennett; Chu, Sun-Chin; Glickenstein, David; Guenther, Christine; Isenberg, James; Ivey, Tom; Knopf, Dan; Lu, Peng; Luo, Feng; Ni, Lei (2010). The Ricci flow: techniques and applications. Part III. Geometric-analytic aspects. Mathematical Surveys and Monographs. 163. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/surv/163. ISBN 978-0-8218-4661-2. MR 2604955. Zbl 1216.53057.
  53. ^ Lübke, Martin; Teleman, Andrei (1995). The Kobayashi–Hitchin correspondence. River Edge, NJ: World Scientific. doi:10.1142/2660. ISBN 981-02-2168-1. MR 1370660. Zbl 0849.32020.
  54. ^ "2019 Oswald Veblen Prize in Geometry". Notices of the American Mathematical Society. 66 (4): 610–612. April 2019.
  55. ^ Marques, Fernando C.; Neves, André. Min-max theory and the Willmore conjecture. Ann. of Math. (2) 179 (2014), no. 2, 683–782.
  56. ^ Giusti, Enrico (1984). Minimal surfaces and functions of bounded variation. Monographs in Mathematics. 80. Basel: Birkhäuser Verlag. doi:10.1007/978-1-4684-9486-0. ISBN 0-8176-3153-4. MR 0775682. Zbl 0545.49018.
  57. ^ Colding, Tobias Holck; Minicozzi, William P., II. (2012). "Generic mean curvature flow I: generic singularities". Annals of Mathematics. Second Series. 175 (2): 755–833. doi:10.4007/annals.2012.175.2.7. MR 2993752. Zbl 1239.53084.
  58. ^ Chen, Bang-yen (2019). Geometry of submanifolds (Corrected reprint of 1973 original ed.). Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-83278-4. MR 0353212. Zbl 1458.53001.
  59. ^ Hartman, Philip; Nirenberg, Louis. On spherical image maps whose Jacobians do not change sign. Amer. J. Math. 81 (1959), 901–920.
  60. ^ Chavel, Isaac (2001). Isoperimetric inequalities. Differential geometric and analytic perspectives. Cambridge Tracts in Mathematics. 145. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-80267-9. MR 1849187. Zbl 0988.51019.
  61. ^ أ ب ت ث Trudinger, Neil S.; Wang, Xu-Jia (2008). "The Monge–Ampère equation and its geometric applications". In Ji, Lizhen; Li, Peter; Schoen, Richard; Simon, Leon (eds.). Handbook of geometric analysis. No. 1. Advanced Lectures in Mathematics. 7. Somerville, MA: International Press. pp. 467–524. ISBN 978-1-57146-130-8. MR 2483373. S2CID 37616041. Zbl 1156.35033. More than one of |encyclopedia= and |encyclopedia= specified (help)
  62. ^ Caffarelli, L.; Nirenberg, L.; Spruck, J. (1984). "The Dirichlet problem for nonlinear second-order elliptic equations. I. Monge–Ampère equation". Communications on Pure and Applied Mathematics. 37 (3): 369–402. doi:10.1002/cpa.3160370306. MR 0739925. Zbl 0598.35047. قالب:Erratum
  63. ^ أ ب Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001). Elliptic partial differential equations of second order. Classics in Mathematics (Revised second edition of the 1977 original ed.). Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-61798-0. ISBN 3-540-41160-7. MR 1814364. Zbl 1042.35002.
  64. ^ Li, An-Min; Simon, Udo; Zhao, Guosong; Hu, Zejun (2015). Global affine differential geometry of hypersurfaces. De Gruyter Expositions in Mathematics. 11 (Second revised and extended edition of 1993 original ed.). Berlin: De Gruyter. doi:10.1515/9783110268898. ISBN 978-3-11-026667-2. MR 3382197. Zbl 1330.53002.
  65. ^ أ ب Cox, David A.; Katz, Sheldon (1999). Mirror symmetry and algebraic geometry. Mathematical Surveys and Monographs. 68. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/surv/068. ISBN 0-8218-1059-6. MR 1677117. Zbl 0951.14026.
  66. ^ أ ب Hori, Kentaro; Katz, Sheldon; Klemm, Albrecht; Pandharipande, Rahul; Thomas, Richard; Vafa, Cumrun; Vakil, Ravi; Zaslow, Eric (2003). Mirror symmetry. Clay Mathematics Monographs. 1. Cambridge, MA: Clay Mathematics Institute. ISBN 0-8218-2955-6. MR 2003030. Zbl 1044.14018.
  67. ^ Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (2008). Comparison theorems in Riemannian geometry (Revised reprint of 1975 original ed.). Providence, RI: AMS Chelsea Publishing. doi:10.1090/chel/365. ISBN 978-0-8218-4417-5. MR 2394158. Zbl 1142.53003.
  68. ^ Klingenberg, Wilhelm P. A. (1995). Riemannian geometry. De Gruyter Studies in Mathematics. 1 (Second edition of 1982 original ed.). Berlin: Walter de Gruyter & Co. doi:10.1515/9783110905120. ISBN 3-11-014593-6. MR 1330918. Zbl 0911.53022.
  69. ^ Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999). Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 319. Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-12494-9. ISBN 3-540-64324-9. MR 1744486. Zbl 0988.53001.
  70. ^ أ ب Chavel, Isaac (1984). Eigenvalues in Riemannian geometry. Pure and Applied Mathematics. 115. Orlando, FL: Academic Press. doi:10.1016/s0079-8169(08)x6051-9. ISBN 0-12-170640-0. MR 0768584. Zbl 0551.53001.
  71. ^ Chow, Bennett; Chu, Sun-Chin; Glickenstein, David; Guenther, Christine; Isenberg, James; Ivey, Tom; Knopf, Dan; Lu, Peng; Luo, Feng; Ni, Lei (2008). The Ricci flow: techniques and applications. Part II. Analytic aspects. Mathematical Surveys and Monographs. 144. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/surv/144. ISBN 9780821844298. MR 2365237. Zbl 1157.53035.
  72. ^ Chavel, Isaac (2006). Riemannian geometry. A modern introduction. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 98 (Second edition of 1993 original ed.). Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511616822. ISBN 978-0-521-61954-7. MR 2229062. Zbl 1099.53001.
  73. ^ Lieb, Elliott H.; Loss, Michael (2001). Analysis. Graduate Studies in Mathematics. 14 (Second edition of 1997 original ed.). Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/gsm/014. hdl:2027.42/149371. ISBN 0-8218-2783-9. MR 1817225. Zbl 0966.26002.
  74. ^ Jost, Jürgen (2017). Riemannian geometry and geometric analysis. Universitext (Seventh edition of 1995 original ed.). Springer, Cham. doi:10.1007/978-3-319-61860-9. ISBN 978-3-319-61859-3. MR 3726907. Zbl 1380.53001.
  75. ^ Chen, Mu-Fa (2005). Eigenvalues, inequalities, and ergodic theory. Probability and its Applications. London: Springer-Verlag. doi:10.1007/b138904. ISBN 1-85233-868-7. MR 2105651. Zbl 1079.60005.
  76. ^ Wang, Feng-Yu (2005). Functional inequalities, Markov semigroups and spectral theory. Beijing/New York: Science Press. doi:10.1016/B978-0-08-044942-5.50022-7. ISBN 978-0-08-044942-5.
  77. ^ "Mathematics People: Clay Research Awards Presented" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 64 (6): 595–604. June 2017.
  78. ^ (2005) "Surface parameterization: a tutorial and survey" in Papers from the workshop (MINGLE 2003) held in Cambridge, September 9–11, 2003.: 157–186, Berlin: Springer. doi:10.1007/3-540-26808-1_9. 
  79. ^ أ ب Chung, Fan R. K. (1997). Spectral graph theory. CBMS Regional Conference Series in Mathematics. 92. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/cbms/092. ISBN 0-8218-0315-8. MR 1421568. Zbl 0867.05046.
  80. ^ Qiu, Huaijun; Hancock, Edwin R. (2007). "Clustering and embedding using commute times". IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 29 (11): 1873–1890. doi:10.1109/TPAMI.2007.1103. PMID 17848771. S2CID 1043277.
  81. ^ (2003) "Kernels and regularization on graphs" in 16th annual conference on learning theory and 7th kernel workshop, Washington, DC, USA, August 24-27, 2003. 2777: 144–158. doi:10.1007/978-3-540-45167-9_12. 
  82. ^ Jost, Jürgen; Liu, Shiping (2014). "Ollivier's Ricci curvature, local clustering and curvature–dimension inequalities on graphs". Discrete & Computational Geometry. 51 (2): 300–322. doi:10.1007/s00454-013-9558-1. MR 3164168. Zbl 1294.05061.
  83. ^ "John J. Carty Award for the Advancement of Science". United States National Academy of Sciences. Archived from the original on 2010-12-29. Retrieved Jan 1, 2009.
  84. ^ "...for his development of non-linear techniques in differential geometry leading to the solution of several outstanding problems."
  85. ^ Malkah Fleisher, Winners of Prestigious Wolf Prize Announced
  86. ^ Marcel Grossmann, 15th Marcel Grossmann Meeting

External links