طوبولوجيا

شريط موبيوس, هو شيء له سطح واحد و حدٌ واحد; تلك الأشكال هي أحد مواضيع الدراسة في الطوبوغرافيا.

الطوبولوجيا (بالإنگليزية: Topology; باليونانية topos, "مكان," و logos, "دراسة") هي فرع من الرياضيات يـُعـَد امتداداً للهندسة الرياضية. وتبدأ الطوبولوجيا بالأخذ في الاعتبار طبيعة الفراغ, وتبحث كلاً من بنيته الدقيقة وبنيته الشاملة. وتبني الطوبولوجيا فوق نظرية الفئات, بتعاملها مع كل من فئات النقاط وعائلات الفئات.

وتـُستخدم كلمة طوبولوجيا topology لكل من مجال الدراسة وعائلة الفئات ذات الخصائص المعينة المشروحة أدناه والمستخدمة لتعريف فراغ طوبولوجي. ومن أهم المفاهيم في دراسة الطوبولوجيا الدوال أو الخرائط التي هي تشاكلات homeomorphism. وبصفة غير رسمية, يمكن التفكير في تلك الدوال كما لو كانت دوال بإمكانها مط الفراغ بدون تمزيقه أو لصق الأجزاء المميزة ببعضها البعض.

وعندما تم تأسيس المجال الدراسي لهذا العلم, في نهاية القرن التاسع عشر, كانت تـُسمى geometria situs (لاتينية هندسة المكان) وanalysis situs (لاتينية تحليل المكان). ومنذ نحو 1925 إلى 1975 فقد كانت مجال تقدم هام في الرياضيات.

الطوبولوجيا هي فرع كبير من الرياضيات يتضمن العديد من الحقول الفرعية. القسم الأكثر أساسية في الطوبولوجيا هو طوبولوجيا النقطة-الفئة point-set topology, التي تبحث مفاهيم مثل compactness, connectedness, و قابلية العد Countability; الطوبولوجيا الجبرية, التي تبحث مفاهيم مثل homotopy وتماثل homology; و الطوبولوجيا الهندسية, التي تدرس manifolds وما يـُتـَضـَمـَّن فيها, بما فيها نظرية العقدة knot theory.

انظر أيضاً: مسرد الطوبولوجيا لتعريفات بعض المصطلحات المستخدمة في الطوبولوجيا و الفراغ الطوبولوجي للمزيد من المعالجة التقنية للموضوع.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

تعريف

اعترف العلماء بالطُّبولوجْيَا فرعاً مستقلاً من العلوم الرياضية في العقد الثاني من القرن العشرين، لكن نموها الواسع بدأ في العقد الرابع منه. وهي من أهم الفروع الرياضية الجديدة نسبياًَ، وقد أحدثت آثاراً بعيدة المدى في معظم هذه الموضوعات. ومع أن استحداثها كان استجابة لحاجات التحليل الرياضي، فلايمكن عدّها فرعاً منه. ويمكن القول إنها نوع من الهندسة، لكنها ليست نمطاً متقدماً منها مثل الهندسة الإسقاطية أو التفاضلية، بل إن ثمة ما يسوّغ وصفَ الطبولوجيا بأنها الهندسة الأساسية fundamental geometry.

وتوجد بداياتٌ للطبولوجيا في الستينيات من القرن التاسع عشر في ثنايا بحوث ڤيرشتراس Weierstrass، التي كان يحلل فيها مفهومَ نهايةِ دالةٍ.

وبعد تطوير كانتور Cantor الجريء لنظرية المجموعات (1874ـ1895)، وُجِدَ الأساسُ المكينُ الذي بنى عليه هاوسدورف (1900ـ1910) Hausdorff الطبولوجيا العامة. بعد ذلك، استُحدثت فروع جديدة للطبولوجيا، تأتي في مقدمتها الطبولوجيا الجبرية، والطبولوجيا التفاضلية.

وتجدر الإشارة هنا إلى أن تطبيقات الطبولوجيا اقتحمت علوماً أخرى غير الرياضيات، لكن هذا الدخول يجري عبر الموضوعات الرياضية التي تستعملها تلك العلوم. وعلى سبيل المثال، فإن التغييرات، التي أحدثتها الطبولوجيا في الهندسة التفاضلية، أطلقت العنان للعاملين في نظرية النسبية ليُضْفُوا نكهة طبولوجية على تفكيرهم. ويمكن القول اليوم إن الطبولوجيا لم تصبح أحد الأركان الأساسية لعلم الرياضيات فحسب، بل غدت ضرورةً للكثير من العلوم الأخرى.

قد يصعب على الطبولوجِّي إعطاء تعريف مباشر وسهل ومحدد للطبولوجيا، ولعل ما يمكنه قوله هو أن الطبولوجيا فرع من علم الرياضيات يبحث في المسائل النوعية (الكيفية) qualitative للبنى الهندسية، وأن تطبيقاته تتعدى علم الهندسة إلى كثير من فروع الرياضيات المتقدمة وإلى بعض العلوم الأخرى. بيد أن مثل هذه الإجابة قد تبدو غامضة، وعندئذٍ يمكن للطبولوجيّ أن يُحضرَ ورقة ومقصاً ومادة لاصقة، ويشكلَ شريطاً يسمى شريط موبيوس Möbius band (سيذكر لاحقاً)، ويقصه على طول خطه المركزي ليصل إلى نتيجةٍ تدهش المتفرج بل يستطيع الطبولوجيّ نزع قميصه الداخلي دون أن يخلع معطفه. هاتان لعبتان معروفتان، لكن كلاًَّ منهما يستند إلى فكرةٍ رياضيةٍ بارعةٍ قد يتطلب شرحها عدة ساعات. بيد أن تقديم مثل هاتين اللعبتين لتعريف الطبولوجيا دون شرحٍ مناسبٍ ليس إلاّ تمثيلاً هزلياً لها.

تاريخ

جسور كونيگسبرگ السبعة هي مشكلة شهيرة حلها اويلر.

فرع الرياضيات المسمى الآن طوبولوجيا بدأ بدراسة بعض الأسئلة في الهندسة الرياضية. ليونهارد اويلر كتب بحثاً في 1736 عن جسور كونيگسبرگ السبعة يعتبر واحد من أول النتائج الطوبولوجية.

المصطلح "Topologie" طـُرِح بالألمانية في 1847 من قِبل يوهان بنديكت ليستنگ في Vorstudien zur Topologie, Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, pp. 67, 1848. إلا أن ليستنگ كان قد استعمل الكلمة على مدى عشر سنوات قبل ذلك في مراسلاته. "Topology", صيغتها الإنجليزية, قـُدِّمت في 1883 في الجريدة نيتشر Nature لتمييز "الهندسة النوعية عن الهندسة الاعتيادية التي تـُعالج فيها أساساً علاقات نوعية ". المصطلح طوبولوجي topologist بمعنى اختصاصي في الطوبولوجيا استـُخدم في سنة 1905 في مجلة Spectator.

الطوبولوجيا المعاصرة تعتمد بقوة على أفكار نظرية الفئات, التي طوّرها جورج كانتور في الجزء الأخير من القرن التاسع عشر. كانتور, بالإضافة إلى وضع الأفكار الأساسية لنظرية الفئات, درس فئات نقاط في فراغ اقليدي, كجزء من دراسته لمتسلسلة فورييه.

وقد نشر هنري پوانكاريه بحثاً بعنوان Analysis Situs في 1895, حيث قدم مفاهيم homotopy وhomology, واللذين يعتبران الآن جزء من الطوبولوجيا الجبرية.

موريس فريشيه, موحـِّـداً العمل في فراغات كانتور للدوال, ڤولترّا, أرزلا, هادامار, أسكولي وغيرهم, قدموا فضاء متري في 1906. والفضاء المتري يـُعتبر الآن حالة خاصة من الفراغ الطوبولوجي العام. وفي 1914, فليكس هاوسدورف صاغ المصطلح "فضاء طوبولوجي" وأعطى التعريف لما يسمى الآن فضاء هاوسدورف. في الاستخدام الحالي, فالفضاء الطوبولوجي هو تعميم طفيف لفضاءات هاوسدورف, التي طرحها في 1922 كازيميرز كوراتوڤسكي.

للمزيد من التطورات, انظر طوبولوجيا النقطة-الفئة و طوبولوجيا جبرية.

مفهوم الطبولوجيا

الشكل رقم (1)

تُعرّف الطبولوجيا أحياناً بأنها «هندسةٌ على سطوحٍ مطاطية». ومع أن هذا وصف ضبابي وغير مفهوم جيداً، فإنه مفيد لفهم كنه هذا الموضوع. فالطبولوجيا تبحث في خاصيات الأشكال الهندسية التي لا تـتغير عندما تطبّق عليها التحويلات (أي التوابع، أو الدوال) المستمرة. وتـتجلى السمة المميزة للتحويلات المستمرة في أن النقاط «القريبة إحداها من الأخرى»، continuous transformations (functions) قبل إخضاعها لهذه التحويلات، تظل كذلك بعد انتقالها إلى مواضعها الجديدة نتيجة تطبيق تلك التحويلات. في هذه التحويلات يُسمح بالمطّ والتقليص والثني، لكنْ دون قص الأجزاء المختلفة أو تمزيقها أولصقها معًا. وتسمى الخاصيات التي لاتـتغير بعد تطبيق التحويلات المستمرة عليها خاصياتٍ طبولوجيةً topological properties.، لكنْ أيُّ نوع من الخاصيات يمكن وصفها بأنها طبولوجية؟ من الواضح أنها ليست تلك التي تُدرس في الهندسة الإقليدية المألوفة. فالاستقامة، مثلاً، ليست خاصّة طبولوجية، لأن الخط المستقيم يمكن ثنيه ليصبح متعرجاً. وكون الشكل مثلثياً ليس خاصة طبولوجية أيضًا، لأنه يمكن إخضاع المثلث لمطٍّ وثنيٍ مستمرين ليتحول إلى دائرة (الشكل 1)، والكروية ليست خاصية طبولوجية، لأنه يمكن تحويل الكرة بعد إخضاعها للتحويلات السابقة إلى مكعب! وبهذا المعنى فإن أطوال القطع المستقيمة، ومقادير الزوايا والمساحات هي جميعًا مفاهيم يمكن تغييرها بالتحويلات المستمرة، ومن ثم فهي خاصيات غير طبولوجية.

وكمثال على الخاصية الطبولوجيه، وجود فتحة في طارة لاتكوّن جزءاً منها. فمهما كان نمط التحويلات المستمرة التي يخضع سطح الطارة لها، تظل الفتحة موجودة فيها. ومن هذه الخاصيات وجود حافة لسطح، فلايمكن لأي تحويل مستمر أن يغير وجود تلك الحافة.

وهكذا فإن تنوع الأشياء التي يدرسها الطبولوجيّ أقل من تنوع الأشياء التي تـتناولها الفروع الرياضية الأخرى، فلا فرق عنده بين الدائرة والمثلث، وبين الكرة ومتوازي المستطيلات، وبين القطعة المستقيمة وأي منحن ناتج منها بالمط والثني.

الشكل رقم (2)

التكافؤ الطبولوجي

تسمى الأشياء الأساسية التي تدرسها الطبولوجيا فضاءاتٍ طبولوجيةً topological spaces، وهي أشياء رياضية يمكن تصورها حدسياً بأنها أشكال هندسية. هذه الفضاءات هي مجموعات (تكون أحياناً مجموعات جزئية من فضاء إقليدي) مزوّدة ببنية ـ تسمى طبولوجْيَا ـ تسمح بصوغ مفهوم الاستمرار. فسطح الكرة، أو الطارةِ torus، أو الطارةِ المضاعفه (ذات الفتحتين) تقدم أمثلة على فضاءات طبولوجية (الشكل 2).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

مقدمة ابتدائية

انبعاج متواصل (homotopy) لقدح قهوة ليصبح دونت (torus) والعودة.

الفراغات الطوبولوجية تظهر طبيعياً في كل فرع من الرياضيات تقريباً. هذا الأمر جعل من الطوبولوجيا واحدة من أعظم الأفكار الموحـِّـدة في الرياضيات. الطوبولوجيا العامة, أو طوبولوجيا النقطة-الفئة, تـُعـَرِّف وتدرس خصائص الفراغات والخرائط مثل connectedness, compactness and continuity. الطوبولوجيا الجبرية تستعمل بـُنى من الجبر المجرد, وخاصة group لدراسة الفراغات الطوبولوجيةو the maps بينهم.

والمثير في النظرة الفاحصة للطوبولوجيا هو أن بعض مشاكل الهندسة الرياضية تعتمد ليس على الشكل المحدد للشيء موضع الدرس, بل على طريقة اجتماعهم معاً. فعلى سبيل المثال, المربع والدائرة لهم العديد من الخصائص المشتركة: فكلاهما شيء أحادي البعد (من وجهة نظر طوبولوجية) وكلاهما يفصل المستوى إلى جزئين, جزء بالدهخل وجزء بالخارج.

واحدة من أول الأبحاث في الطوبولوجيا كانت الاثبات الذي قام به ليونهارد اويلر, بأنه من المستحيل إيجاد مسار عبر مدينة كونيگسبرگ (الآن كاليننگراد) بحيث يعبر كل واحد من جسورها السبعة مرة واحدة فقط. هذه النتيجة لم تعتمد على أطوال الجسور, ولا على المسافة بين بعضهم البعض, ولكن اعتمدت فقط على خصائص connectivity: ما هي الجسور المتصلة بأي الجزر وضفاف الأنهار. هذه المشكلة, جسور كونيگسبرگ السبعة, هي الآن مشكلة شهيرة في المدخل إلى الرياضيات, وأدت إلى نشأة فرع من الرياضيات هو graph theory.

الشكل رقم (3)

يقال عن فضائين طبولوجيين إنهما متكافئان طبولوجيًَّا إذا أمكن الانتقال من أحدهما إلى الآخر بطريقة مستمرة، ثم العودة إلى الوضع الأصلي بطريقة مستمرة أيضاً. وغالباً ما يقال إن الطبولوجيّ لايفرق بين الكعكة وفنجان القهوة، اللذين يقدمان مثالاً على شيئين متكافئين طبولوجيّاً (الشكل 3).

الشكل رقم (4)
الشكل رقم (5)

ثمة مفهوم للتكافؤ.في كل من الهندسات التقليدية، ففي الهندسة الإقليدية يكون شكلان متكافئين إذا كانا طبوقين congruent، أي إذا وجدت حركة صلبة تطبق أحدهما على الآخر. وفي الهندسة الإسقاطية، يتكافأ شكلان إذا وجد تحويل إسقاطي projectivity ينقل أحدهما إلى الآخر. وتتضمن التحويلاتُ الإسقاطية تحويلاتِ الطبوقيةِ وتحويلات التشابه، وتحويلاتٍ إضافية أخرى تجعل أي مثلث يكافئ أي مثلث آخر، وتجعل أيَ دائرةٍ مكافئةً لأي قطع ناقص.

وبلغة نظرية المجموعات، يقال عن فضاءين طبولوجيين س، ع إنهما متكافئان طبولوجيًَّا إذا وجدت دالةfunction د: س ¬ ع تحقق الشروط الآتية:

أ) د متباينة وغامرة

ب) د مستمرة

ت) د الدالة العكسية

د-1 : ع ¬ س مستمرة أيضًا.

لننظر في المثال التالي: لنأخذ قطعتي معجون ولندمجهما معاً. إن هذا التحويل من قطعتين إلى قطعة واحدة مستمر، لأن النقاط التي كانت قريبة بعضها من بعض في القطعتين، تبقى كذلك (الشكل 4) بعد الاندماج. لكنْ عند إجراء التحويل العكسي تنقسم القطعة إلى قسمين (الشكل 5)، ومن ثم تصبح النقاطُ، التي كانت قريبة بعضها من بعض على طرفي الخط الفاصل، بعيدةً بعضها عن بعض، وهذا يعني أن التحويل العكسي ليس مستمراً. لذا فإن الفضاء الطبولوجي س المكوّن من القطعتين المنفصلتين غير مكافئ طبولوجيّا للفضاء ع المكوّن من قطعة متصلة واحدة.

ويوضح الشكل (6) سبعة فضاءات طبولوجية يمكن تقسيمها إلى مجموعتين، كل منها مكوّن من فضاءات متكافئة طبولوجياً. تحوي الأولى الأشكال (ب، جـ، هـ) والثانية الأشكال (أ، د، ذ).

فضاء طبولوجي غير مالوف

ليست جميع الفضاءات الطبولوجية ببساطة الكرة أو الطارة، إذ إن ثمة فضاءات أكثر تعقيداً وإثارة، منها شريط موبيوس، الذي ورد ذكره آنفاً. والذي يمكن عمله من شريط ورقي طويل بأن تُلصق حافتاه بعد تدوير إحداها180 ْ (الشكل7).

الشكل رقم (6)
الشكل رقم (7)

شريط موبيوس سطح وحيد الجانب one-sided، في حين أن الشريط الأسطواني ـ الذي ينجم من شريط ورقي بلصق حافتيه دون تدويرهما ـ ثنائي الجانب two-sided. الفرق بين هذين السطحين، هو أن حشرة ما موجودة على شريط موبيوس تستطيع بلوغ أي نقطة منه دون أن تتجاوز حدود الشريط، في حين أن حشرة موجودة على الشريط الأسطواني لايمكنها الانتقال من جانب إلى آخر منه دون تجاوز حدوده. ولما كان ثمة مبرهنة تبين أن عدد الجوانب خاصية طبولوجية، فإن شريط موبيوس والشريط الأسطواني ليسا متكافئين طبولوجياً.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

تعريف رياضي

افترض أن X هي فئة و دع T لتكون عائلة الفئات الجزئية لـ X. وبذلك T هي طوبولوجيا على X إذا

  1. كل من الفئة الخالية و X عناصر في T.
  2. أي اتحاد لأي عدد عشوائي من عناصر T هو عنصر في T.
  3. أي تقاطع لأي عدد محدد من العناصر في T هو عنصر في T.

إذا كانت T طوبولوجيا على X, إذن X مع T يـُسمـَيان فراغاً طوبولوجياً.

كل الفئات في T تـُسـَمى مفتوحة; لاحظ أنه عموماً ليست كل الفئات الجزئية لـ X تحتاج أن تكون في T. ففئة جزئية في X يقال عنها أنها مغلقة لو أن متممتها توجد في T (أي, أنها مفتوحة). والفئة الجزئية في X قد تكون مفتوحة أو مغلقة أو كلاهما أو لا مفتوحة ولا مغلقة.

الدالة أو map from one topological space to another is called continuous if the inverse image of any open set is open. If the function maps the real numbers to the real numbers (both space with the Standard Topology), then this definition of continuous is equivalent to the definition of continuous in calculus. If a continuous function is one-to-one and onto and if the inverse of the function is also continuous, then the function is called a homeomorphism and the domain of the function is said to be homeomorphic to the range. Another way of saying this is that the function has a natural extension to the topology. If two spaces are homeomorphic, they have identical topological properties, and are considered to be topologically the same. المكعب والكرة هما are homeomorphic, تماماً مثل قدح القهوة والدونت. إلا أن الدائرة ليست homeomorphic للدونت.

بعض المبرهنات في الطوبولوجيا العامة

الطوبولوجيا العامة لها أيضاً بعض الصلات المفاجئة لمناطق أخرى من الرياضيات. فعلى سبيل المثال:

بعض المفاهيم المفيدة من الطوبولوجيا الجبرية

انظر أيضاً قائمة مواضيع الطوبولوجيا الجبرية.


تعميمات

أحياناً, قد يحتاج المرء لاستعمال أدوات الطوبولوجيا ولكن "فئة النقاط" قد لا تكون موجودة. في الطوبولوجيا عديمة النقط يمكن للمرء أن يأخذ في الاعتبار بدلاً من ذلك lattice لفئات مفتوحة as the basic notion of the theory, while Grothendieck topologies are certain structures defined on arbitrary categories which allow the definition of sheaves on those categories, and with that the definition of quite general cohomology theories.

الطوبولوجيا في الأعمال الفنية والأدب

المصادر

  • James Munkres (1999). Topology (2nd edition ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.CS1 maint: extra text (link)
  • John L. Kelley (1975). General Topology. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
  • Clifford A. Pickover (2006). The Möbius Strip: Dr. August Möbius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology. Thunder's Mouth Press (Provides a popular introduction to topology and geometry). ISBN 1-56025-826-8.
  • Querenburg, Boto von, (2006), Mengentheoretische Topologie. Heidelberg: Springer-Lehrbuch. ISBN 3-540-67790-9 (بالألمانية)

انظر أيضاً

مراجع

  • خضر الأحمد، مبادئ الطبولوجيا العامة (منشورات جامعة دمشق، دمشق 2003).
  • هيلد برانت وَ ترومبا، ترجمة خضر الأحمد وَ عدنان الحموي، الرياضيات والشكل الأمثل (مؤسسة الكويت للتقدم العلمي،2000).
  • IAN STEWART,Concepts of Modern Mathematics (Penguin Books 1972).
  • W.G. CHINN and N.E. STEENROD, First Concepts of Topology (Random House 1966).

وصلات خارجية

هناك كتاب ، [[b:{{{1}}}|{{{1}}}]]، في معرفة الكتب.




اقرأ أيضا

فروع الرياضيات التي تهتم بدراسة البنية
جبر تجريدي | نظرية الأعداد | الهندسة الجبرية | نظرية الزمر | المونويدات | التحليل الرياضي | الطوبولوجيا | جبر خطي | نظرية المخططات | الجبر الشامل | نظرية التصنيف | نظرية الترتيب | نظرية القياس