# معادلات فريدمان

علم الكون
الكون · الانفجار العظيم
عمر الكون
خط زمني للانفجار العظيم
المصير النهائي للكون
ع  ن  ت

معادلات فريدمان Friedmann equations هي فئة من المعادلات في cosmology تحكم تمدد الفضاء في نماذج متجانسة وisotropic للكون داخل سياق النسبية العامة. أول من اشتقهم كان ألكسندر فريدمان عام 1922[1] من Einstein's field equations of gravitation for the Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker metric and a fluid with a given mass density ρ and pressure ${\displaystyle p}$. The equations for negative spatial curvature were given by Friedmann in 1924.[2]

## فهرست

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

## المعادلات

There are two independent Friedmann equations for modeling a homogeneous, isotropic universe. They are:

${\displaystyle H^{2}=\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}}$

which is derived from the 00 component of Einstein's field equations, and

${\displaystyle {\dot {H}}+H^{2}={\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}}$

Using the first equation, the second equation can be re-expressed as

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-3H\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right),}$

which eliminates ${\displaystyle \Lambda \!}$ and expresses the conservation of mass-energy.

These equations are sometimes simplified by redefining

${\displaystyle \rho \rightarrow \rho +{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}}$
${\displaystyle p\rightarrow p-{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}}$

to give:

${\displaystyle H^{2}=\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}}$
${\displaystyle {\dot {H}}+H^{2}={\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right).}$

And the simplified form of the second equation is invariant under this transformation.

## متغير الكثافة

An expression for the critical density is found by assuming Λ to be zero (as it is for all basic Friedmann universes) and setting the normalised spatial curvature, k, equal to zero. When the substitutions are applied to the first of the Friedmann equations we find:

${\displaystyle \rho _{c}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}.}$

The density parameter (useful for comparing different cosmological models) is then defined as:

${\displaystyle \Omega \equiv {\frac {\rho }{\rho _{c}}}={\frac {8\pi G\rho }{3H^{2}}}.}$

## حلول مفيدة

The Friedmann equations can be easily solved in presence of a perfect fluid with equation of state (ideal gas law)

${\displaystyle p=w\rho c^{2},\!}$

where ${\displaystyle p}$ is the pressure, ${\displaystyle \rho }$ is the mass density of the fluid in the comoving frame and ${\displaystyle w}$ is some constant. The solution for the scale factor is

${\displaystyle a(t)=a_{0}\,t^{\frac {2}{3(w+1)}}}$

where ${\displaystyle a_{0}}$ is some integration constant to be fixed by the choice of initial conditions.

هناك جدل ثان يقوم علي الدراسات حول كثافة الطاقة الكلية للكون. حيث كان معروفا نظريا ومشاهدا تيا منذ مدة,أن هذه الطاقة الكلية كثافتها تقترب من الكثافة الحرجة The critical density المطلوبة لجعل الكون مسطحا ومنبسطا . أو بعبارة أخري التقوس الكوني يصبح صفرا في الزمان والمكان كما جاء في النظرية النسبية العامة لإينشتين .و حبث كانت الطاقة تعادل الكتلة كما في النظرية النسبية الخاصة (E = mc2) .وهذا يمكن التعبير عنه بكثافة الكتلة الحرجة اللازمة لجعل الكون منبسطا . فالكتلة المضيئة من مادة الكون تعادل 2-5 % من الكتلة اللازمة لكثافة هذه الكتلة . لأن المادة المظلمة لاتشع ضوءا كافيا لرؤيته, مما يجعلها كتلة مخفية. لكن من خلال الملاحظات التي توصل اليها علماء الفلك عام 1990 ،حول المجرات وعناقيدها . قد جعلتهم يخمنون أن هذه المادة المظلمة لاتتعدي 25% من كثافة الكتلة الحرجة. ومن خلال الملاحظات للمستعر الأعظم تنبأ علماء الفلك بأن الطاقة المظلمة تشكل 70%من كثافة الطاقة الحرجة . وعندما تجمع كتلة المادة مع طاقتها ، تصبح الكثافة الكلية للطاقة تعادل تماما ما يحتاجه الكون ليكون منبسطا ومسطحا .

## المصادر

من مقالات الدكتور أحمد محمد عوف

## إعادة تحجيم معادلات فريدمان

Set a=ãa0, ρc=3H02/8πG, ρ=ρcΩ, ${\displaystyle t={\tilde {t}}/H_{0}}$, Ωc=-kc2/H02a02 where a0 and H0 are separately the scale factor and the Hubble parameter today. Then we can have

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {d{\tilde {a}}}{d{\tilde {t}}}}\right)^{2}+U_{\rm {eff}}({\tilde {a}})={\frac {1}{2}}\Omega _{c}}$

where Ueff(ã)=Ωã2/2. For any form of the effective potential Ueff(ã), there is an equation of state p=p(ρ) that will produce it.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

## المصادر

1. ^ Friedman, A (1922). "Über die Krümmung des Raumes". Z. Phys. 10: 377–386. doi:10.1007/BF01332580. (بالألمانية) (English translation in: Friedman, A (1999). "On the Curvature of Space". General Relativity and Gravitation. 31: 1991–2000. doi:10.1023/A:1026751225741.)
2. ^ Friedmann, A (1924). "Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes". Z. Phys. 21: 326–332. doi:10.1007/BF01328280. (بالألمانية) (English translation in: Friedmann, A (1999). "On the Possibility of a World with Constant Negative Curvature of Space". General Relativity and Gravitation. 31: 2001–2008. doi:10.1023/A:1026755309811.)