تحليل عددي

لوح طيني بابلي رقم يل 7289 (ح. 1800–1600 ق.م.) بترميز. تقريب الجذر التربيعي لـ 2 هو أربع أرقام في نظام العد الستيني، والتي تناظر حوالي ست أرقام في نظام العد العشري. 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1.41421296...[1]

التحليل العددي أو الرياضيات العددية أحد فروع الرياضيات الذي يهتم بدراسة الخوارزميات لحل بعض مشاكل الرياضيات المتصلة (تمييزا لها عن الرياضيات المتقطعة) باستخدام عمليات رياضية بسيطة مثل الجمع والضرب. تنشأ بعض المشاكل التي يحلها التحليل العددي في دراسة التحليل الرياضي أو من دراسة المتغيرات الحقيقية أو المتغيرة، أو الجبر الخطي العددي ضمن حقول الأعداد الحقيقية والعقدية (المركبة)، كما تحل بعض مسائل المعادلات التفاضلية، وبعض مسائل الفيزياء والهندسة.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

مقدمة عامة

العديد من المسائل في الرياضيات المتصلة (الاستمرارية) continuous mathematics لا تمتلك حل مغلق-الشكل closed-form solution (أي بمعنى آخر لا توجد طريقة أو قاعدة لإعطائنا الحل الدقيق أو الصحيح) . من أمثلة ذلك إيجاد تكامل التابع الأسي (x2) (انظر دالة الخطأ error function ) ، وحل معادلة كثير الحدود العامة من الدرجة الخامسة فما فوق (مبرهنة أبيل-روفيني). في هذه الحالات يتبقى لدينا خيارين : أولا محاولة إيجاد حل تقريبي باستخدام تحليل لا asymptotic analysis أو يمكن البحث عن حل عددي numerical solution. عملية إيجاد الحل العددي هي مجال بحث التحليل العددي.


الطرق المباشرة والتكرارية

الطرق المباشرة مقابل التكرارية

فلنعتبر مشكلة حل

3x3 + 4 = 28

للكم المجهول x.

الطريقة المباشرة
3x3 + 4 = 28.
Subtract 4 3x3 = 24.
Divide by 3 x3 =  8.
Take cube roots x =  2.

For the iterative method, apply the bisection method to f(x) = 3x3 − 24. The initial values are a = 0, b = 3, f(a) = −24, f(b) = 57.

الطريقة التكرارية
a b mid f(mid)
0 3 1.5 −13.875
1.5 3 2.25 10.17...
1.5 2.25 1.875 −4.22...
1.875 2.25 2.0625 2.32...

We conclude from this table that the solution is between 1.875 and 2.0625. The algorithm might return any number in that range with an error less than 0.2.

التقطيع والتكامل العددي

Schumacher (Ferrari) in practice at USGP 2005.jpg

في سباق لمدة ساعتين، قمنا بقياس سرعة السيارة في ثلاث لحظات وسجلناهم في الجدول التالي.

الزمن 0:20 1:00 1:40
كم/س 140 150 180

التقطيع discretization سوف يكون أن نقول أن سرعة السيارة كانت ثابتة من 0:00 حتى 0:40، ثم من 0:40 حتى 1:20 وأخيراً من 1:20 حتى 2:00. فعلى سبيل المثال، إجمالي المسافة المسافـَرة في أول 40 دقيقة هي تقريباً (2/3 h × 140 km/h) = 93.3 km. وهو ما يتيح لنا أن نقدِّر إجمالي المسافة المسافـَرة بأنها 93.3 km + 100 km + 120 km = 313.3 km، وهو مثال للتكامل العددي (انظر أدناه) باستخدام جمع ريمان، لأن الانتقال هو تكامل السرعة.

Ill-conditioned problem: Take the function f(x) = 1/(x − 1). Note that f(1.1) = 10 and f(1.001) = 1000: a change in x of less than 0.1 turns into a change in f(x) of nearly 1000. Evaluating f(x) near x = 1 is an ill-conditioned problem.

Well-conditioned problem: By contrast, evaluating the same function f(x) = 1/(x − 1) near x = 10 is a well-conditioned problem. For instance, f(10) = 1/9 ≈ 0.111 and f(11) = 0.1: a modest change in x leads to a modest change in f(x).

الطرق المباشرة تحسب الحل لمشكلة في عدد محدد من الخطوات. These methods would give the precise answer if they were performed in infinite precision arithmetic. Examples include Gaussian elimination, the QR factorization method for solving systems of linear equations, and the simplex method of linear programming. In practice, finite precision is used and the result is an approximation of the true solution (assuming stability).

In contrast to direct methods, iterative methods are not expected to terminate in a finite number of steps. Starting from an initial guess, iterative methods form successive approximations that converge to the exact solution only in the limit. A convergence test, often involving the residual, is specified in order to decide when a sufficiently accurate solution has (hopefully) been found. Even using infinite precision arithmetic these methods would not reach the solution within a finite number of steps (in general). Examples include Newton's method, the bisection method, and Jacobi iteration. In computational matrix algebra, iterative methods are generally needed for large problems.

Iterative methods are more common than direct methods in numerical analysis. Some methods are direct in principle but are usually used as though they were not, e.g. GMRES and the conjugate gradient method. For these methods the number of steps needed to obtain the exact solution is so large that an approximation is accepted in the same manner as for an iterative method.

يمكن لبعض المسائل في التحليل العددي أن تحل بشكل دقيق عن طريق خوارزمية ما ، حيث تسمى هذا النوع من الخوارزميات "طرق مباشرة" direct methods : مثالها الاستبعاد الگاوسي Gaussian elimination لحل جمل المعادلات الخطية و طريقة التبسيط (طريقة سيمپلكس) simplex method في البرمجة الخطية linear programming .

لكن بالمقابل ، هناك الكثير من المسائل لا تحل بخوارزميات مباشرة ، في هذه الحالة قد يكون من الممكن حلها باستخدام طريقة تكرارية iterative method . مثل هذه الطريقة تبدأ بتخمين و إيجاد التقريب الأنجح الذي يقترب بفعالية من الحل المطلوب. حتى عندما تتواجد أحيانا خوازميات مباشرة فقد تفضل الطرق التكرارية أحيانا لأنها أكثر فعالية (قد تتطلب زمنا أقل و قدرة حسابية أقل إضافة لتقريب جيد للحل) أو قد تكون أكثر استقرارا.

التحليل العددي أو الرياضيات العددية أحد فروع الرياضيات الذي يهتم بدراسة الخوارزميات لحل بعض مشاكل الرياضيات المتصلة (تمييزا لها عن الرياضيات المتقطعة ) باستخدام عمليات رياضية بسيطة مثل الجمع و الضرب . تنشأ بعض المشاكل التي يحلها التحليل العددي في دراسة التحليل الرياضي أو من دراسة المتغيرات الحقيقية أو المتغيرة، أو الجبر الخطي العددي ضمن حقول الأعداد الحقيقية و العقدية (المركبة) ، كما تحل بعض مسائل المعادلات التفاضلية، و بعض مسائل الفيزياء و الهندسة .


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

مقدمة عامة

العديد من المسائل في الرياضيات الاستمرارية continuous mathematics لا تمتلك حل مغلق-الشكل closed-form solution (أي بمعنى آخر لا توجد طريقة أو قاعدة لإعطائنا الحل الدقيق أو الصحيح) . من أمثلة ذلك إيجاد تكامل التابع الأسي (x2) (انظر دالة الخطأ error function ) ، وحل معادلة كثير الحدود العامة من الدرجة الخامسة فما فوق (مبرهنة أبيل-روفيني). في هذه الحالات يتبقى لدينا خيارين : أولا محاولة إيجاد حل تقريبي باستخدام تحليل لا asymptotic analysis أو يمكن البحث عن حل عددي numerical solution. عملية إيجاد الحل العددي هي مجال بحث التحليل العددي.

التقطيع

في حالات أخرى ، المسائل التي تتصف بالاستمرارية قد تحتاج إلى استبدالها بمسائل رياضية متقطعة معروفة الحلول سلفا ، هذه العملية تدعى "التقطيع" discretization . فمثلا ، حل معادلة تفاضلية هو دالة رياضية ، ينبغي تمثيلها بمقدار محدود من البيانات ، مثلا عن طريق قيمة الدالة عند نقاط مختلفة من منطلق الدالة (نطاق الدالة domain) ، مع أن النطاق هو عبارة عن مجال مستمر continuum .

تولد و انتشار الأخطاء

دراسة شكل الأخطاء يشكل جزءا مهما جدا من التحليل العددي . هناك عدة طرق يمكن من خلالها أن يدخل الخطأ إلى حل مسألة رياضية . فأخطاء التقريب Round-off error تنشأ من استحالة تمثيل الأعداد الحقيقية بشكل دقيق في آلات محدودة الحالات finite-state machine (مثل جميع الحواسيب الرقمية المستخدمة) . أخطاء البتر Truncation تحدث عندما يتم إنهاء طريقة تكرارية و يكون الحل التقريبي ما زال بعيدا عن الحل الدقيق للمسألة . أيضا عملية التقطيع discretization تحدث أخطاء تقطيع غالبا لأن حلول المسائل المقطعة لا تتوافق في الغالب مع حلول المسائل الاستمرارية .

حالما يتم تولد خطأ ما ، سيتم انتشار هذا الخطأ من خلال الحسابات المتتالية . و هذا يقود إلى مصطلح الثباتية العددية numerical stability : تكون خوارزمية ثابتة عدديا إذا كان الخطأ لا يتضخم خلال الحسابات بعد ارتكابه مباشرة . طبعا هذا لا يكون ممكنا إلا إذا كانت المسألة جيدة الشروط well-conditioned ، أي أن الحل يتغير بمقدار ضئيل إذا تغيرت معطيات المسألة بمقدار ضئيل . في الحالة المعاكسة و ندعوها مسألة سيئة الشروط ill-conditioned : يتم تضخم الخطأ في المعطيات بشكل كبير ضمن حسابات الحل .

بجميع الأحوال ، يمكن أن تكون الخوارزمية التي تحل مسألة جيدة الشروط ثابتة عدديا أو غير ثابتة عدديا فالموضوع لا يتعلق فقط بطبيعة المسألة بل بطريقة حلها بالتالي تكون مهمة التحليل العددي أيضا إيجاد خوارزميات مستقرة لحل المسائل الرياضية الجيدة الشروط إضافة لإيجاد خوارزميات مستقرة لحل المسائل السيئة الشروط .

التقسيمات الفرعية للرياضيات العددية

  • رياضيات الاستمثال
  • التقريب
  • حل عددي للمعادلات الخطية
  • حل عددي للمعادلات التفاضلية
  • جبر خطي عددي

اقرأ أيضا

وصلات خارجية