استقرار رقمي

دراسة الإستقرار العددي لطرائق حل المعادلات هو اهتمام من اهتمامات الرياضيات العددية و هو شبيه و شديد الارتباط بدراسة الإستقرار في النظم. أهمية دراسة الإستقرار العددي تنبع من أنه إذا كان لديك معادلة, سواء أن كانت تفاضلية أو تفاضلية جزئية أو خطية أو غيره, قد يكون من الممكن حلها تحليليا (عن طريق الورقة و القلم و اختزال معادلات و تطويعها إلخ) و لكن المشكلة تتمثل في حال أنه نريد حلها عن طريق الحاسوب.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

إشكاليات حل المعادلات بالحاسوب

تتمثل أهم إشكاليات حل المعادلات الرياضية في الحاسوب في مشكلتين:

  • الحاسوب لا يمكنه تخزين أو تمثيل كل الأعداد في ذاكرته. العدد العشري (أي في القاعدة 10) 0.1 مثلا يساوي في القاعدة الثنائية التي يعمل بها الحاسوب عددا دوريا(periodic) و نظرا لمحدودية ذاكرة الحاسوب فهو يقطع هذه البيريود بعد عدد معين من البتات مما يتسبب في خطئ في تمثيل الأعداد في ذاكرة الكومبيوتر.
  • المشكل الثاني هو أن الحاسوب الرقمي أي المنتشر الآن(على عكس الحاسوب المتواتر) في الحقيقة لا يمكنه إلا أن يقوم بعملية حسابية واحدة ألا وهي الجمع مما يجعلنا نضطر إلى التعبير عن التفاضل أو التكامل بطريقة أخرى. أي أنه يتم تقريب عملية التفاضل أو التكامل بعمليات أخرى مما يولد خطئا ثاني عند حل المعادلات عن طريق الحاسوب

هذه الأخطاء إن تراكمت أثناء عملية حل المعادلة فإنه يمكن أن نتحصل على حل خاطئ تماما و لا يتطابق مع الحل الحقيقي للمعادلة.


مبرهنة لاكس

تقول مبرهنة لاكس أنه إذا:

  • كانت طريقة حل المعادلة مستقرة عدديا
  • كانت طريقة حل المعادلة خالية من التناقض (consistent)

فإن حل المعادلة بهذه الطريقة يعطي الحل الصحيح أو بالأحرى أن الحل العددي يتوق نحو أو يتجه نحو الحل الصحيح (convergence)

الإستقرار العددي

و كما نرى من المبرهنة أعلاه فإن الإستقرار العددي لطريقة حل المعادلة لازم حتى يكون الحل العددي أي نتيجة الحاسوب تساوي النتيجة التحليلية الصحيحة أو على الأقل حتى نضمن حد معين من تطابق الحل العددي و الحل التحليلي.
تعتبر طريقة ما لحل معادلة, طريقة مستقرة عدديا إذا كانت الأخطاء المذكورة أعلاه أي الأخطاء المرتبطة بمحدودية ذاكرة الحاسوب زائد الخطئ الناجم عن استعمال تقريب لبعض العمليات, إذا كان هذا الخطئ يصبح خلال عملية حل المعادلة أصغر فأصغر. أي أن خوارزمية حل المعادلة تعتمد على إعادة نفسها و في كل إعادة يصبح الخطئ أصغر. و في ما يلي مثال ندرس فيه الإستقرار العددي و نبين فيه بعض ما ذكرناه أعلاه. و لكن قبل ذلك سنذكر بعض التقريبات لعمليات رياضية.

تقريب لعملية الإشتقاق

تتم عادة في الرياضيات تعريف الاشتقاق أو التفاضل كما يلي:

و لذلك يمكننا إذا كانت قيمة صغيرة جدا أن (و إن لم تكن صفرا) نعتبر عملية الاشتقاق تنفذ تقريبا بتطبيق المعادلة التالية:

(يجدر بالذكر أن هذه ليست إلا طريقة من طرق تقريب الاشتقاق و هي ليست الوحيدة)

تقريب لعملية التكامل

كما يمكن التعبير عن التكامل كما يلي:

و في حال أن صغيرة القيمة فأنه يمكن التعبير عن التكامل تقريبيا عن طريق المعادلة التابية:

(يجدر بالذكر أن هذه ليست إلا طريقة من طرق تقريب التكامل و هي ليست الوحيدة)

مثال لدراسة الإستقرار العددي

الخلو من التناقض

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

مثال تطبيقي لمبرهنة لاكس