ديناميكا الموائع

ميكانيكا الاستمرارية
BernoullisLawDerivationDiagram.svg
الحفاظ على الكتلة
الحفاظ على العزم
معادلات ناڤييه–ستوكس
 ع  ن  ت

ديناميكا الموائع بالإنگليزية: Fluid dynamics هي فرع من فروع ميكانيكا الموائع، تتعامل مع سيلان وتدفق الموائع (السوائل والغازات)، وتضم بدورها تباعا: ديناميكا الغازات وديناميكا السوائل أو "الهيدروديناميكا".

يستفاد من هذه الدراسة في تحسين التصرف مع الطاقة. وأبرز من كتب عن هذا العلم هو العالم برنولي وقانونه الشهير الذي جمع به الطاقات في الكثير من التطبيقات العملية. والقانون هو:

الضغط + نصف مربع السرعة بالكثافة + الكثافة * التعجيل الأرضي * الارتفاع = ثابت.

وكذلك معادلة الاستمرارية المعروفة.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

الموائع والقوى المؤثرة فيها

شكل(1).jpg

الموائع والسوائل والغازات

شكل(2).jpg

عندما تؤثر قوة أو مجموعة قوى في مادةٍ ما فإنها تتشوه (يتغير شكلها)، بَيْدَ أن هذا التشوه deformation يختلف من مادة إلى أخرى، ففي بعض المواد يكون هذا التشوه، تحت تأثير قوى مفروضة، محدوداً يزول بزوال القوى كما في الأجسام المرنة elastic أو يبقى رغم زوال القوى كما في الأجسام اللدنة plastic، وقد لا يتوقف التشوه في بعضٍ آخر من الأجسام عند حد، بل يزداد باستمرار مهما كانت القوى صغيرة؛ وهذه الأجسام هي الموائع كالماء والهواء... هذا من وجهة النظر العِيانية (الماكروسكوبية). أما إذا أُخضعت المادة لفحصٍ مجهري؛ أي إلى التركيب الجزيئي للمادة، فإنه يمكن القول إن أي مادة تتكون من جزيئات تتحرك عشوائياً وتفصل بعضها عن بعض مسافات لا تقل بأبعادها عن حجوم الجزيئات نفسها. وتختلف المواد عن بعضها حسب هذه المسافات، ففي بعض منها تكون هذه المسافات كبيرة، وهذه حال ما يسمى الغازات gases، وفي بعضها الآخر تكون صغيرة وهذه حال ما يسمى السوائل liquids. أما في الأجسام الصلبة فتكون هذه المسافات صغيرة جداً. وهذا يوضح الاختلاف الكبير في الكتلة الحجمية (كتلة واحدة الحجم) في هذين النوعين من الموائع.

فالكتلة الحجمية للماء هي 1000كغ/م3، أما للهواء فهي، في درجة الحرارة 20ْ مئوية وتحت الضغط الجوي العادي، 1.2 كغ/م3.

وتتميز الموائع بسهولة فصل أي جزء منها عن الجزء الآخر، وإمكانية تقسيمها إلى أجزاء صغيرة جداً. وتتميز الغازات عن السوائل بكونها تملأ أي فراغ مغلق تصل إليه أو توضع فيه؛ أما السوائل فهي تأخذ، إذا وضع جزء منها بدرجة حرارة ثابتة وتحت ضغط معين في إناء مفتوح شكل الجزء الأسفل من الإناء بتأثير الجاذبية الأرضية، ويكون سطحها العلوي بوجه عام أفقياً.

ويقال عن المائع إنه ضَغوط (قابل للانضغاط) comprissible إذا كان من الممكن لحجمه أن يتغير نتيجة تأثير القوى فيه. أما إذا ظلَّ الحجم ثابتاً مهما كانت القوى المؤثرة في المائع فيقال عنه عندئذ إنه غير ضغوط. ومع أن جميع الموائع ضغوطة، إلا أن ضغوطية السوائل خفيفة جداً إذ يمكن عدّها إلى حد بعيد غير ضغوطة.

ومع هذا الاختلاف بين طبيعة السائل وطبيعة الغاز، فإنه يمكن ضمن شروط معينة أن تخضع السوائل والغازات لقوانين عامة واحدة. وقد كان ينظر إلى دراسة حركة المائع على أنها أعقد بكثير من دراسة حركة الجسم الصلب، ولعل ذلك ناجم عن النظرة إلى الجسم الصلب على أنه مكون من مجموعة من الجزيئات ترتبط فيما بينها بشكل متماسك (الأبعاد بين هذه الجزيئات ثابتة)، في حين ينظر إلى المائع على أنه مكون من عدد غير منته من الجزيئات يمكن لأي منها أن يتحرك بالنسبة لغيره من الجزيئات. وهذا ما دعا غاليلو[ر] إلى القول «إن دراسة حركات نجوم بعيدة جداً أسهل من دراسة حركة جدول ماء يجري عند أقدامنا». غير أن تقدم الوسائل الرياضية جعل دراسة حركة الموائع ليست أعقد كثيراً من دراسة حركة الجسم الصلب.

ويقتصر علم تحريك السوائل hydrodynamics على دراسة حركة الموائع غير الضغوطة (السوائل)، وأما تحريك الغازات aerodynamics فينصرف إلى دراسة حركة الموائع الضغوطة (الغازات) وخاصة حين تكون سرعة الجريان كبيرة.

طبيعة الموائع والجريانات

شكل(3).jpg

تصنف القوى التي تؤثر في المائع إلى:

أ ـ قوى خارجية وتنتج عن مؤثرات خارجية عن المائع. ب ـ قوى داخلية وتنتج عن التأثير المتبادل بين جزيئات المائع. وإذا نُظر إلى مقدار معين من مائع يشغل حجماً معيناً محاطاً بسطح مغلق (سط)، فإن المائع المحيط بـ (ح) يؤثر في (ح) نفسه بقوى يمكن عدّها، بسبب صغر أبعاد حقل التأثير، مؤثرة في السطح (سط). ولهذا السبب فإنها تسمى قوى سطحية تمييزاً لها من القوى الخارجية التي تسمى قوى حجمية أو قوى كتلة. وإذا كانت ن نقطة من (سط)، وإذا رُمز لمحصلة القوى السطحية المؤثرة في واحدة سطح تقع عليه ن بـ ، وإذا فَرِّقت إلى مركبتين إحداهما ناظمية وتسمى الضغط (الناظمي) والثانية مماسية وتسمى التوتر المماسي. وإذا ما كانت المركبة المماسية معدومة في كل نقطة ن من المائع، ومهما كان اتجاه الناظم على أي سطح في المائع تقع عليه ن، فإنه يقال عن المائع إنه مثالي ideal أو كامل، ويقال عنه فيما سوى ذلك إنه لزج viscous.

ويمكن تبين لزوجة مائع بوضع صفيحة مستوية رقيقة جداً داخله، وتحريك هذه الصفيحة في مستويها. إن المائع اللزج يعيق حركة الصفيحة بسبب القوى المماسية، في حين يمكن لهذه الصفيحة أن تتحرك دون أي مقاومة من المائع عندما يكون مثالياً. وإذا ما تحرك مائع على حاجز صلب، فإن سرعة الجزيئات المائعية تكون معدومة على الحاجز، وتزداد كلما ابتعدت الجزيئات عن الحاجز (الشكل -1).

وفي الواقع إن جميع الموائع لزجة، غير أن لزوجة بعضها كالماء والهواء خفيفة جداً ويمكن عدّها مثالية إلى حد بعيد.

وحسب الفرضية التي كان أول من جاء بها نيوتن، تتعلق القوة المماسية بطبيعة المائع المفروض وبطبيعة جريانه. ففي حالة الجريان الصفحي (الطبقي) laminar، وهذا ما سيكون الحديث عنه بعد قليل، يكون التوتر المماسي تو متناسباً مع تغير السرعة في الاتجاه ع العمودي على الجريان، بمعامل تناسب يسمى معامل اللزوجة للمائع. ويتناقص هذا المعامل في السوائل مع ازدياد درجة الحرارة ويتزايد قليلاً مع ازدياد الضغط. وأما في الغازات فإن اللزوجة تزداد مع ازدياد درجة الحرارة في حين لا تتأثر عملياً مع الضغط. إن سلوك الموائع الحقيقية (اللزجة) ظل مدة طويلة لغزاً حيَّر التجريبيين كما حيَّر في هذه الأيام أيضاً الباحثين الذين يحاولون الوصول إلى نظرية عامة تصلح لجميع أنواع الجريانات. وعندما كان الطبيب والفيزيولوجي الفرنسي بوازوي Poiseuille المهتم بدراسة دوران الدم يجري تجارب جريان الماء داخل أنابيب شعرية، كان المهندس الألماني هاغن Hagen يقوم بتجاربه بأنابيب ضخمة متوصلاً إلى نتائج تناقض النتائج التي توصل إليها بوازوي. وبقي الأمر كذلك إلى أن قدم العالم الإنكليزي رينولدز Reynolds تبريراً لهذا التناقض الظاهري.

فإذا ما نُظر إلى جريان الموائع في أنابيب مختلفة الأقطار، فإنه يلاحظ أن كل جزيئة من جزيئات المائع ترسم خطاً موازياً إلى محور الأنبوب حين تكون السرعة الوسطى سر لجزيئات المائع صغيرة، أو حين يكون قطر الأنبوب ق صغيراً أو حين تكون لزوجة المائع كبيرة، وباختصار إذا كان العدد، (بفرض أن كـ الكتلة الحجمية للمائع)، والمسمى عدد رينولدز، صغيراً. يقال عن الجريان في مثل هذه الحالة إنه جريان صفحي. وبالفعل فلقد بيّن رينولدز وجود عدد حرج، يسمى عدد رينولدز الحرج، يقترب من 200، يفصل بين شكلين مميزين تماماً للجريانات (الشكل -2).

أ ـ إذا كان فإن الجريان صفحي تنزلق فيه طبقات المائع بعضها على البعض الآخر في الاتجاه العام للجريان.

ب ـ إذا كان فإن الجريان يضطرب وتتغير سرعة كل نقطة في كل لحظة قياساً ومنحى. ويقال عن الجريان في هذه الحالة إنه اضطرابي. يلاحظ هذان الشكلان من الجريان في دخان لفافة تبغ (سيجارة) في جو هادئ (الشكل -3)، فالجريان يكون صفحياً إذا كان عدد رينولدز صغيراً ويتحول إلى اضطرابي حين يزداد عدد رينولدز وتكون الحسابات سهلة المنال في حالة الجريان الصفحي، ولكنها تصير صعبة حين يكون الجريان اضطرابياً وتتطلب استخدام النظريات الإحصائية. إن أهمية الجريان الاضطرابي تنبع من كونه هو السائد عملياً في الموصلات الصناعية وفي الآلات العنفية.

وقد تبين أنه حتى ولو كانت لزوجة المائع ضعيفة حتى يمكن فيها عدّه مثالياً، فإنه لا يمكن إهمال اللزوجة بالقرب من الحواجز. وهذا ما دعا الألماني برانْتل Prandtl في بداية القرن العشرين أن يضع نظريته للطبقة الحدية التي تفترض وجود طبقة من المائع بثخانة ضعيفة جداً في جوار الحاجز حيث تكون قوى اللزوجة راجحة ولا يمكن إهمالها في حين يمكن إهمال اللزوجة بعد هذه الطبقة.


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

طبيعة المسائل الدراسية في تحريك الموائع

Hydrodynamics simulation of the Rayleigh–Taylor instability [1]

على الرغم من تنوع تطبيقات تحريك الموائع، فإنه من الممكن تصنيف مسائله في صنفين اثنين حسب طبيعة الاهتمامات.

أ ـ تحديد الصفات الفيزيائية للمائع (الضغط ض والكتلة الحجمية كـ ودرجة الحرارة د والسرعة سر في نقطة معينة ن للجريان).

ب ـ تعيين رد فعل المائع في حاجز صلب على تماس مع المائع.

إن المسألة الأولى عامة وتظهر على نحو خاص حين يكون المطلوب معرفة سرعة انصباب الماء الناتج عن ضخ عنفة مائية أو معرفة الصفات الفيزيائية لمائع في عصافة هوائية فوق صوتية. ولما كانت المسألة تتعامل مع أربعة مجاهيل فإنه ينبغي الحصول على أربع معادلات:

1ـ معادلة حفظ الكتلة وتعتمد على المبدأ الذي ينص على أن الكتلة لأي جزء من المائع تبقى ثابتة أثناء حركته.

2ـ معادلة حفظ كمية الحركة التي تعبر عن المبدأ العام للتحريك. وإذا ما عُرفت جميع القوى التي تؤثر في المائع فإن المبدأ العام للتحريك يعطي معادلة حركة المائع. هذه المعادلة هي معادلة نافير ـ ستوكس Navier-Stokes في حالة مائع لزج غير ضغوط. أما إذا كان المائع غير لزج فإنه بمكاملة معادلة الحركة على مسارٍ، تظهر للعيان مبرهنة الطاقة الحركية (وهي معادلة برنولي Bernoulli لمائع مثالي أو معادلة باري دو سان فينان Barré de Saint Venant لمائع ضغوط غير لزج).

3ـ معادلة حفظ الطاقة التي تنتج من المبدأ الأول للترموديناميك[ر].

4ـ معادلة حالة المائع التي تربط بين الضغط والكتلة الحجمية والحرارة. إن هذه المعادلة في حالة غاز كامل على سبيل المثال هي: .

وأما المسألة الثانية التي يتعرض لها تحريك الموائع فتنصرف إلى تعيين محصلة القوى التي يؤثر فيها المائع في حاجز، كقوة سحب مروحة سفينة أو طائرة أو قوة دفع نفاث، أو المزدوجة التي يؤثر بها المائع في دولاب مضخة أو عنفة. إن كل هذه الأمثلة تبين الأهمية العلمية للمسائل التي تشارك في حلها مبرهنة أولر[ر] Euler التي تمثل شكلاً خاصاً للمبدأ العام للتحريك.

معادلة حفظ الكتلة: أو معادلة الاستمرار continuity equation تسمى المعادلة التي تنشأ عن مبدأ حفظ الكتلة معادلة الاستمرار، التي تأخذ شكلاً بسيطاً عندما يجري المائع في قناة. فإذا كان الجريان مستقراً steady (أي إن الصفات الفيزيائية للحركة تتبع الموضع وهي مستقلة عن الزمن) ووحيد البعد (أي إن الصفات الفيزيائية تبقى كما هي في كل موضع من مواضع المقطع العمودي)، فإن معادلة الاستمرار تأخذ الشكل:

بفرض أن سط مساحة المقطع العمودي للقناة. وتصح هذه الصيغة أيضاً في حالة المائع داخل أنبوب التيار stream tube. وللتعرف على أنبوب التيار يلاحظ أن خط التيار stream line هو كل منحن في المائع بحيث يكون متجه السرعة عند كل نقطة من نقاطه محمولاً على المماس لهذا المنحني عند تلك النقطة، وأن أنبوب التيار هو السطح الذي ينشأ بأخذ منحني مغلق في المائع ورسم خطوط التيار المارة بجميع نقاط هذا المنحني المغلق.

معادلات الحركة

ينتج من المبدأ الأساسي للتحريك مطبقاً على مجموعة مادية كتلتها الكلية كـ أن جُداء هذه الكتلة في تسارع مركز ثقل المجموعة يساوي المجموع الهندسي للقوى الخارجية المؤثرة في هذه المجموعة والمكوَّنة من القوى الحجمية (ثقل المجموعة مثلاً) والقوى السطحية. وإذا كانت هذه المجموعة المادية مقداراً معيناً من مائع يُتابع أثناء حركته فإن القوى السطحية تُرد إلى قوة ضغط وقوة لزوجة، وعلى سبيل المثال: إذا كان المائع غير ضغوط (كـ ثابتة) وغير لزج، وكان الجريان مستقراً، فمن الممكن مكاملة معادلة الحركة على خط تيار والحصول على المعادلة. إن الحد الأول من هذه العلاقة يمثل ارتفاع الجزيئة المائعية على خط التيار المفروض عن مستو أفقي مفروض، ولذلك فهو يسمى الارتفاع الهندسي. ويعطي الحد الثاني الارتفاع الذي يبلغه عمود المائع كي يكون الضغط في أسفله مساوياً ض ولذلك يسمى ارتفاع الضغط، والحد الثالث يعطي الارتفاع الذي يمكن لنقطة مادية أن تبلغه إذا قُذفت نحو الأعلى بسرعة قدرها سر ولذا فإنه يسمى ارتفاع السرعة. وعلى هذا فإن معادلة برنولي تنص على أن مجموع الارتفاعات الثلاثة ثابت على طول خط تيار معين، وعلى هذا إذا كان الموضع (2) على السطح الحر لسائل يملأ إناء واسع المقطع، فإن ض2 يكون الضغط الجوي، وإذا كان الموضع (1) عند فتحة صغيرة في أسفل الإناء فعندئذ يكون ض1 هو الضغط الجوي أيضاً. وإذا فرض أن البعد بين السطح الحر للسائل والفتحة هـ، ولوحظ أن سر2 صغيرة يمكن إهمالها، فإنه ينتج من (3): وهذه هي صيغة طوريشلي Torricelli.

أما إذا كان المائع غازاً فإن كـ تكون صغيرة، ومن ثَمَّ يكون ممكناً إهمال القوى الحجمية. وبهذا تأخذ معادلة برنولي الشكل: على طول خط تيار. وللمعادلات (2)، (3)، (4) تطبيقات عدة منها: أ ـ إذا فرض أن سائلاً يجري في أنبوب أفقي متغير المقطع، فإنه ينتج من معادلة الاستمرار (1) أن السرعة سر تزداد عندما يضيق المقطع سط وتتناقص عندما يتسع المقطع. ومِن (2) ينتج أنه كلما ازدادت السرعة انخفض الضغط وكلما نقصت السرعة ازداد الضغط. وعلى هذا فإنه كلما ضاق المقطع ازدادت السرعة وانخفض الضغط، وكلما اتسع المقطع تناقصت السرعة وارتفع الضغط. وبهذا يلاحظ أن السوائل تتصرف على نحو أفضل من حشْدٍ من الناس يمرون بممر يضيق ويتسع. فَهُمْ، على العكس من السوائل، تقل سرعتهم ويرتفع ضغطهم كلما ضاق الممر، وتزداد سرعتهم وينخفض ضغطهم كلما اتسع الممر. ب ـ توضح (4) لماذا يُستحسن أن يكون أسفل السيارة انسيابياً كما في (الشكل -4). لاشك أن ذلك يضعف من أثر مقاومة الهواء، غير أن تقوس السطح الانسيابي يقدم فائدة أخرى. إن مقطع ممر الهواء المتناقص تحت السيارة يجعل من السرعة تزداد واستناداً إلى (4) يتناقص الضغط، وعلى هذا يكون الضغط في الوضع ب أدنى من الضغط الجوي السائد في أ، وهذا يؤدي إلى سحبٍ لأرض السيارة وإلى سيرٍ أفضل. لهذه الظاهرة المتصلة بتغير مقطع أنبوب التيار والمسماة ظاهرة السيارة تطبيقات عدة أخرى منها المضخة وجهاز قياس منسوب مائع.

الجريانات تحت الصوتية والجريانات فوق الصوتية

لم يصنف الجريان في الفقرات السابقة حسب سرعته. إن التمييز بين الجريانات حسب سرعتها هام بشكل خاص في جريانات الغاز. لتكن سر سرعة الجريان في أحد المواضع، ولتكن ب سرعة الصوت في ذلك الموضع وγ حاصل قسمة الحرارة النوعية والضغط ثابت على الحرارة النوعية والحجم ثابت، وإذا كان الجريان متساوي الأنتروبية (متساوي القصور الحراري) isentropic يكون . ومما يساعد على دراسة جريان غاز استخدام عدد عديم الأبعاد يدعى عدد ماخ Mach وهو .

فإذا كان ما < 1 قيل عن الجريان إنه تحت صوتي.

وإذا كان ما > 1 قيل عن الجريان إنه فوق صوتي.

وللجريانات تحت الصوتية خصائص مختلفة عن الجريانات فوق الصوتية. غير أنه من المهم دراسة هذه الخصائص في حالة جريان غاز كامل غير لزج في أنبوب ذي مقطع متغير دون تبادل حراري مع الوسط الخارجي. في هذه الحالة يصح إذا كان الجريان متساوي الأنتروبية في أنبوب مفروض ما يأتي:

1ـ لا يمكن لسرعة جريان الغاز أن تكون مساوية لسرعة الصوت ما لم يكن مقطع القناة الهوائية أعظمياً أو أصغرياً (أي في عنق الأنبوب أو انتفاخه).

2ـ إذا كان الجريان تحت صوتي (سر < ب) فإن تناقص مساحة المقطع تؤدي إلى ازدياد السرعة والعكس بالعكس.

3ـ إذا كان الجريان فوق صوتي (سر > ب) فإن تزايد مقطع الأنبوب يؤدي إلى تزايد السرعة، وتناقص المقطع يؤدي إلى تناقص السرعة.

وعلى هذا فإن الانتقال من الجريان فوق الصوتي إلى الجريان تحت الصوتي يمكن أن يتم نتيجة مرور الغاز في عنق قناة أو بظاهرة غير عكوسة تدعى موجة الصدم shockwave. إن مثل هذه الموجة الصدمية تتشكل، على سبيل المثال، عند مقدمة طائرة في طيران فوق صوتي.

والخلاصة: إن تحريك الموائع علم فتي نسبياً. وإذا كانت أسراره لم تكشف جميعها، فإن نتائج البحث مع ذلك قد أتاحت تطوراً كبيراً لسرع وسائط النقل وفي كشف مزيد من أسرار الكون. وربما صار وشيكاً ذلك اليوم الذي يشارك فيه ميكانيك الموائع في حل مسائل التلوث الجوي وبرمجة العوامل الجوية المستقبلية.



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

اقرأ أيضا

مجالات دراسة

المعادلات الرياضية

أنواع تدفق السوائل

خصائص السوائل

Fluid phenomena

تطبيقات

متفرقات

المصادر

موفق دعبول. "تحريك الموائع". الموسوعة العربية. 

ملاحظات

  1. ^ Shengtai Li, Hui Li "Parallel AMR Code for Compressible MHD or HD Equations" (Los Alamos National Laboratory) [1]

وصلات خارجية