احتمال

الاحتمال (Probability) لغة هو أحد الخيارات المتاحة أمام تجربة أو حادثة غير محسومة النتيجة، وفي الرياضيات تعبر كلمة الاحتمال عن قيمة عددية تدل على مدى تكرارية هذا الخيار عند تطبيق التجربة لمرات عديدة. وبهذا نعطي الخيار الأكثر حدوثا وتكرارا قيمة احتمال أكبر من الخيار الأقل حدوثا. تقوم الإحتمالات على عدد من الأسس أهمها:

  • الإختبار: هو تجربة يمكن إجراؤها في كل مكان وزمان بنفس الظروف الذاتية والموضوعية بشرط أن نعرف كل النتائج المتوقعة مسبقاً.
  • فضاء العينة(كــ): هو مجموعة كل النتائج المتوقعة ظهورها.
  • تجربة إلقاء حجر النرد مرة واحدة:

(كــ) = {6,5,4,3,2,1} ر(كـ) = 6 حيث أن (ر) هي رئيسي المجوعة(عدد عناصر المجموعة)

  • الحدث: هو مجموعة جزئية من فضاء العينة. من هذه الأحداث نذكر :الحدث المستحيل والحدث الأكيد و الحدث الإبتدائي الحدثان المتنافيان 0000000الخ.
  • بعض القوانين المستخدمة في الإحتمالات:
  • حت(سَ)= 1-حت(س)
  • حت(س)= 1-حت(سَ)
  • حت (س/ع)=حت(س)-حت(س ع)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

التعريف الرياضي للاحتمال

تعريف التجربة بأنها قيام بعمل ما أو إجراء ملاحظة أو تسجيل ما يتم عن هذا العمل أو هذا الإجراء. لتكن ف مجموعة النتائج الممكنة لتجربة مفروضة، فإذا فرض أن هذه المجموعة منتهية مثل ف =}و1، و2، ...ون{ وكانت ق مجموعة أجزاء ف، فإنه يدعى كل عنصر من ق حدثاً (أو حادثة) مرتبطاً بالتجربة المفروضة. يدعى f الحدث المستحيل و ف الحدث الأكيد أو فضاء العينة، وتدعى كل مجموعة جزئية من ف وحيدة العنصر حدثاً ابتدائياً، ويقال عن حدثين س، ع إنهما متنافيان إذا كانت س ∩ ع = f. ويعرف الاحتمال في هذه الحالة على أنه أية دالة حت منطلقها ق ومستقرها مجموعة الأعداد الحقيقية ح وتتمتع بالخواص التالية:

أ‌- حت(س) ≥ 0 أياً كان الحدث س

ب‌- حت (ف) = 1 (أي أن احتمال الحدث الأكيد يساوي الواحد).

جـ- حت (س U ع) = حت (س) + حت (ع) فيما إذا كان الحدثان س،ع متنافيين.

يسمى حت دالة الاحتمال أو الاحتمال اختصاراً، وتنص الخاصة حـ على ما يلي: «احتمال اتحاد حدثين متنافيين يساوي مجموع احتماليهما» .

وينتج من تعريف الاحتمال أن 0 ≤ حت (س) ≤ 1 مهما كان الحدث س. تدعى الثلاثية (ف، ق، حت) فضاء الاحتمال المنتهي الموافق للتجربة التي تكون مجموعة نتائجها ف منتهية.

أمثلة: آـ في تجربة إلقاء حجر النرد مرة واحدة وقراءة عدد النقط التي يحملها الوجه العلوي يكون فضاء العينة (مجموعة النتائج الممكنة لهذه التجربة) هو: ف ={6،5،4،3،2،1} وتمثل المجموعة الجزئية ص، 5،3،1}} الحدث الذي يعد محققاً عندما يظهر رقم فردي، فإذا كان لكل عنصر من عناصر ف الحظ نفسه في الظهور، فإن احتمال حدث س في مثل هذه الحالة يعرف عادة أنه عدد عناصر س مقسوماً على عدد عناصر ف:


حت (س) = عدد عناصر س = عدد الحالات المواتية (1) عدد عناصر ف عدد الحالات الممكنة

وهذه المساواة تعيّن على ق احتمالاً،بمعنى أن حت المعرفة بهذه المساواة تحقق الخواص آ، ب، جـ السابقة. واعتماداً على (1) ينتج أن حت (ص) =3/6 وإذا كان ع = {5،4،2،1} فإن حت (ع) =4/6 و حت (ص ∩ ع) = حت {5،1} = 6/2 =3/1.

ب ـ إذا كانت ف1 مجموعة نتائج إلقاء حجري نرد متوازنين متمايزين (غير متماثلين)، فيمكن تمثيل هذه المجموعة وفق الجدول التالي:

11


21


31


41


51


61

12


22


32


42


52

62

حيث يشير الرقم الأول من هذه الأعداد إلى الرقم الذي يظهر على النرد الأول، ويشير الرقم الثاني إلى الرقم الذي يظهر على النرد الثاني، وحيث تتعين كل نتيجة برقمين متساويين أو مختلفين من المجموعة

ف = {6،5،4،3،2،1}. إن الحدث الذي يعد محققاً عند ظهور وجهين مجموع رقميهما ثمانية أو تسعة، يمكن تمثيله بالمجموعة:

س= {{36،26،35،45،44،54،53،63،62 ويكون: حت س = عدد عناصر س = 9 =

25 عدد عناصر ف1 36

جـ- إذا ألقي حجرا نرد متماثلان فتتعين في هذه الحالة كل نتيجة برقمين متساويين أو مختلفين من المجموعة

ف = { {6،5،4،3،2،1 نفسها، ولكن لا مجال هنا كما هو واضح لترتيب هذين الرقمين. لقد جرت العادة أن تمثل مجموعة النتائج ف2 في هذه الحالة بالجدول التالي:

     [11] [21] [31] [41] [51] [61]
  [22] [32] [42] [52] [62]
    [33] [43] [53] [63]

حيث تدل النتيجة [42] مثلاً على ظهور الرقم 2 على أحد النردين والرقم 4 على النرد الآخر. ولا بد عند حساب الاحتمالات الموافقة لهذه النتائج (أي الموافقة للأحداث الابتدائية المتعلقة بهذه التجربة) من أخذ الفرص الموافقة لظهور هذه النتائج بالحسبان، ولا بد بالتالي من العودة إلى الحالة التي يكون فيها الحجران متمايزين، لأن أمام كل نتيجة [س ع] فرصتان للوقوع إذا كان س ≠ ع وفرصة واحدة إذا كان س =ع، ويغدو احتمال حدث س مرتبط بهذه التجربة في مثل هذه الحالة: حت (س) = عدد الفرص التي تؤدي إلى وقوع الحدث س (2) عدد الفرص التي تؤدي إلى وقوع الحدث ف2

وينتج، إذا كان س = }[21]، [66] {، أن: حت (س) = 2+1 = 1 36 12

وتحقق الدالة حت المعرفة بـ (2) الخواص آ،ب، جـ السابقة.

د- مثال النرود الثلاثة: يعد البعض المثال التالي نقطة البدء لعلم الاحتمال.

يذكر أن الفارس دوميري De Mere كتب لباسكال يقول له: «إنه لدى إلقاء ثلاثة نرود متماثلة يظهر الحدث الذي يعد محققاً عندما يكون مجموع النقط التي تظهر مساوياً 12 بـ6طرائق مختلفة هي:

[651]، [642]، [633]، [552]، [543]، [444]

كذلك يظهر المجموع 11 بـ6 طرائق مختلفة هي:

[641]، [632]، [551]، [542]، [533]، [443]

في حين تدل التجربة على أن فرصة ظهور المجموع 11 أفضل من فرصة ظهور المجموع 12، فما هو السبب؟ وكان جواب باسكال: إنه لا بد عند حساب الاحتمال الموافق لكل نتيجة من حساب عدد الفرص المواتية لظهور هذه النتيجة،وإنه أمام كل نتيجة من الشكل [س ع ص] ست فرص للحدوث إن كانت الأعداد الثلاثة مختلفة مثنى، وثلاث فرص إن تساوى اثنان منها فقط، وفرصة واحدة إن تساوت جميعها. وهكذا يكون عدد الفرص الموافقة لظهور المجموع 12 هو 6+6+3+3+6+1 =25، بينما يكون عدد الفرص الموافقة لظهور المجموع 11 هو 6+6+3+6+3+3=27، ويكون احتمال عدد الفرص التي تؤدي إلى وقوع الحدث الأكيد وهو بالضبط عدد نتائج إلقاء ثلاثة أحجار متمايزة هو 6×6×6=216، وهذا هو الذي جعل فرصة المجموع 11 أفضل من فرصة ظهور المجموع 12.


التواتر النسبي

التواتر النسبي هو تعبير آخر عن النسبة ، بل هو القيمة المحسوبة بقسمة عدد مرات حدوث حدث على مجموع عدد المرات التي نفذت فيها التجربة.وإذا تتكررت التجربة عدد من المرات نون ، و وقع الحدث عدد من المرات صاد ،عندئذ يكون التواتر النسبي للحدث معرف بالشكل:

تن = ص/ن

في سياق تطور الاحتمال مع مرور الزمن وتقدم العلم فظهرت عدة تعاريف للاحتمال منها ماهو بسيط ويعتمد على الإدراك الحسي ومنها ما يعتمد على التجربة وفكرة التكرار النسبي للحدث المراد اختباره في التجربة من خلال تكرار التجربة عدداً كبيراً من المرات تحت شروط ثابتة . وبالتالي تكون هذه التعاريف :

  • التعريف التقليدي للاحتمال :إذا كنا نريد حساب احتمال حدث ما س في تجربة ما حيث مجموعة نتائج التجربة هي كـ ( مثل احتمال الحصول على وجه يحمل عدداً زوجياً في تجربة إلقاء حجر نرد )عندئذ يكون احتمال الحدث هو :

حت (س) = |س| / |ك| حيث |س| هو عدد إمكانات وقوع الحدث س و |ك| هو عدد الإمكانات الكلية للتجربة .

  • التعرف الإحصائي للحتمال :
  • التعريف البديهي للاحتمال :