توزيع احتمالي طبيعي

(تم التحويل من Normal distribution)
التوزيع الطبيعي
دالة الكثافة الاحتمالية
Probability density function for the Normal distribtion
الخط الأخضر يمثل التوزيع الاحتمالي الطبيعي
دالة التوزيع التراكمي
دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الاحتمالي الطبيعي
Colors match the pdf above
المؤشرات موقع (حقيقي)
مقياس تربيعي (حقيقي)
الدعم
د.ك.ا
د.ت.ت
المتوسط
وسيط
المنوال
تباين
ميلان 0
كورتوسيس 0
الاعتلاج
د.م.ع
الدالة المميزة

في نظرية الاحتمالات، التوزيع الطبيعي (أو الغاوسي) هو توزيع احتمالي مستمر يستخدم غالباً كتقريب أولي لوصف المتغيرات العشوائية التي تميل إلى التمركز حول قيمة متوسطة وحيدة. إن لمخطط تابع كثافة الاحتمال المقابل لهذا التوزيع شكل الجرس، ويعرف بالتابع الغاوسي أو منحني الجرس.

حيث μ هو القيمة المتوقعة (مكان الذروة)، وσ 2 هو التباين (قياس عرض التوزيع). عندما تكون قيم وسيطي التوزيع μ = 0 وσ 2 = 1 فإنه يسمى التوزيع الطبيعي المعياري.

يعد التوزيع الطبيعي التوزيع الاحتمالي المستمر الأساسي، نظراً لدوره في مبرهنة النهاية المركزية، كما أنه من أول التوزيعات المستمرة التي تدرس في مقررات الإحصاء الابتدائية. فوفقاً لمبرهنة النهاية المركزية، وتحت شروط معينة، فإن مجموع عدد من المتغيرات العشوائية بعدد منته من المتوسطات والتباينات يقارب توزيعاً طبيعياً بازدياد عدد تلك المتغيرات. ولهذا السبب، فإنه كثيراً ما يشاهد هذا التوزيع في الممارسة العملية، وهو يستخدم في الإحصاء، والعلوم الطبيعية، والعلوم الاجتماعية [1] كنموذج بسيط للتعامل مع ظواهر معقدة. وعلى سبيل المثال، فإن خطأ الملاحظة في تجربة ما، غالباً ما يتبع توزيعاً طبيعياً. كما يحسب انتشار اللايقين propagation of uncertainty باستخدام هذا الافتراض أيضاً.

لاحظ أن لمتغير ذي توزع طبيعي توزيعاً متناظراً حول متوسطه. ولهذا فإن القيم التي تنمو بشكل أسي (كالأسعار، والدخول، وعدد السكان) تكون ملتوية نحو يمين (skewness)، وبالتالي يمكن التعبير عنها بشكل أفضل باستخدام توزيعات أخرى، كالتوزيع الطبيعي اللوغاريتمي log-normal distribution، وتوزيع بارتو Pareto distribution.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

التوزيع الطبيعي الموسّط المختزل

الدالّة بحيث

هي دالة دالة كثافة احتمالية : هي متواصلة وتكاملها على يساوي 1.

فاننا نعلم أن (تكامل غاوس).

ونبين أن (أنظر التالي) التوزيع الذي يقع تحديده انطلاقا من دالة الكثافة هذه له قيمة متوقعة تساوى 0 وتباينا يساوي 0.

ملاحظات

  • الكثافة نظيرة
  • يمكن اشتقاق هذه الدالة عددا لا متناهيا من المرّات وتحقق مهما كان المعادلة التالية .


التعريف

نسمي التوزيع الطبيعي (أو غاوسي) موسّط مختزل التوزيع المعرّف بدالة الكثافة .

الرسم البياني لهذه الكثافة يمثل شكل جرس.

التوزيع التراكمي

لتكن دالة التوزيع التراكمي (Cumulative distribution function-Fonction de répartition) للتوزيع الموسّط المختزل. تحدد لكل عدد حقيقي x ب:

.

وهي تكامل ونهايتها في تساوي 0، ولا يمكن كتابتها باستعمال الدالات المعروفة (أس، جيب..) ولكن تصبح هي بنفسها دالة مستعملة بكثرة ومهمّة لكلّ من يمارس حساب الاحتمالات والإحصاء.

خاصيات الدالة  :

  • قابلة للاشتقاق بعدد غير متناهي من المرّات و .
  • نامية حصريا وتنتهي إلى 0 في و إلى 1 في .

Therefore here are some trivial results from area under bell curve -

and therefore

In statistics one often uses the related error function, or erf(x), defined as the probability of a random variable with normal distribution of mean 0 and variance 1/2 falling in the range ; that is

These integrals cannot be expressed in terms of elementary functions, and are often said to be special functions *. They are closely related, namely

For a generic normal distribution f with mean μ and deviation σ, the cumulative distribution function is

The complement of the standard normal CDF, , is often called the Q-function, especially in engineering texts.[2][3] It gives the probability that the value of a standard normal random variable X will exceed x. Other definitions of the Q-function, all of which are simple transformations of , are also used occasionally.[4]

  • The cumulative distribution function (CDF) of the standard normal distribution can be expand by Integration by parts into a series:

Example of Pascal function to calculate CDF (sum of first 100 elements)

function CDF(x:extended):extended;
var value,sum:extended;
    i:integer;
begin
  sum:=x;
  value:=x;
  for i:=1 to 100 do
    begin
      value:=(value*x*x/(2*i+1));
      sum:=sum+value;
    end;
  result:=0.5+(sum/sqrt(2*pi))*exp(-(x*x)/2);
end;

Standard deviation and tolerance intervals

Dark blue is less than one standard deviation away from the mean. For the normal distribution, this accounts for about 68% of the set, while two standard deviations from the mean (medium and dark blue) account for about 95%, and three standard deviations (light, medium, and dark blue) account for about 99.7%.

About 68% of values drawn from a normal distribution are within one standard deviation σ away from the mean; about 95% of the values lie within two standard deviations; and about 99.7% are within three standard deviations. This fact is known as the 68-95-99.7 (empirical) rule, or the 3-sigma rule.

More precisely, the probability that a normal deviate lies in the range μ and μ + is given by

To 12 decimal places, the values for n = 1, 2, ..., 6 are:[5]

n F(μ+) − F(μ) i.e. 1 minus ... or 1 in ... OEIS
1 0.682689492137 0.317310507863 3.15148718753 قالب:OEIS2C
2 0.954499736104 0.045500263896 21.9778945080 قالب:OEIS2C
3 0.997300203937 0.002699796063 370.398347345
4 0.999936657516 0.000063342484 15787.1927673
5 0.999999426697 0.000000573303 1744277.89362
6 0.999999998027 0.000000001973 506797345.897


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Quantile function

The quantile function of a distribution is the inverse of the cumulative distribution function. The quantile function of the standard normal distribution is called the probit function, and can be expressed in terms of the inverse error function:

For a normal random variable with mean μ and variance σ2, the quantile function is

The quantile of the standard normal distribution is commonly denoted as zp. These values are used in hypothesis testing, construction of confidence intervals and Q-Q plots. A normal random variable X will exceed μ + σzp with probability 1−p; and will lie outside the interval μ ± σzp with probability 2(1−p). In particular, the quantile z0.975 is 1.96; therefore a normal random variable will lie outside the interval μ ± 1.96σ in only 5% of cases.

The following table gives the multiple n of σ such that X will lie in the range μ ± with a specified probability p. These values are useful to determine tolerance interval for sample averages and other statistical estimators with normal (or asymptotically normal) distributions:[6]

F(μ+) − F(μ) n    F(μ+) − F(μ) n
0.80 1.281551565545 0.999 3.290526731492
0.90 1.644853626951 0.9999 3.890591886413
0.95 1.959963984540 0.99999 4.417173413469
0.98 2.326347874041 0.999999 4.891638475699
0.99 2.575829303549 0.9999999 5.326723886384
0.995 2.807033768344 0.99999999 5.730728868236
0.998 3.090232306168 0.999999999 6.109410204869


The central limit theorem

As the number of discrete events increases, the function begins to resemble a normal distribution
Comparison of probability density functions, p(k) for the sum of n fair 6-sided dice to show their convergence to a normal distribution with increasing n, in accordance to the central limit theorem. In the bottom-right graph, smoothed profiles of the previous graphs are rescaled, superimposed and compared with a normal distribution (black curve).



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

انظر أيضاً

الهامش

المصادر

  1. ^ Gale Encyclopedia of Psychology — Normal Distribution
  2. ^ Scott, Clayton; Nowak, Robert (August 7, 2003). "The Q-function". Connexions.
  3. ^ Barak, Ohad (April 6, 2006). "Q Function and Error Function" (PDF). Tel Aviv University.
  4. ^ Eric W. Weisstein, Normal Distribution Function at MathWorld.
  5. ^ WolframAlpha.com
  6. ^ part 1, part 2

وصلات خارجية

قالب:Common univariate probability distributions