قطع مكافئ

للاستخدامات الأخرى، انظر قطع مكافئ (توضيح)

جزء من قطع مكافئ (أزرق)، مع ميزات متنوعة (ألوان أخرى). القطع المكافئ الكامل ليس له نقاط نهاية. في هذا الوضع، يمتد إلى ما لا نهاية إلى اليسار واليمين والأعلى.

القطع المكافئ هو أحد أنواع القطوع المخروطية.

في الرياضيات، القطع المكافئ(parabola، /pəˈræbələ/ pə-RA-bə-lə)، هو منحنى مستوي متماثل انعكاسياً، ويأخذ شكل حرف U تقريباً. وينطبق عليه عدة أوصاف رياضية تبدو مختلفة ظاهرياً، ويمكن إثبات أن جميعها تُعرّف المنحنيات نفسها تماماً.

أحد أوصاف القطع المكافئ يتضمن نقطة (البؤرة) وخط (الدليل). لا تقع البؤرة على الدليل. القطع المكافئ هو موضع النقاط في ذلك المستوى التي تبعد مسافة متساوية عن الدليل والبؤرة. وصف آخر للقطع المكافئ هو أنه مقطع مخروطي، ناتج عن تقاطع سطح مخروطي دائري قائم مع مستوى موازي لمستوى آخر ويكون مُماس للسطح المخروطي.

إنّ مخطط الدالة التربيعية $y=a{x}^2+bx+c$ (حيث $a\ne 0$) هو قطع مكافئ محور تناظره منطبق على المحور y. وبالعكس، فإنّ كل قطع مكافئ من هذا النوع هو مخطط لدالة تربيعية.

يُسمى الخط العمودي على الدليل والمار بالبؤرة (أي الخط الذي يقسم القطع المكافئ إلى نصفين) "محور التناظر". تُسمى النقطة التي يتقاطع عندها القطع المكافئ مع محور التناظر "رأس القطع المكافئ"، وهي النقطة التي يكون عندها القطع المكافئ في أقصى انحناء له. تُسمى المسافة بين رأس القطع المكافئ والبؤرة، مقاسة على طول محور التناظر، "البعد البؤري". "الوتر البؤري العمودي" هو وتر القطع المكافئ الموازي للدليل والمار بالبؤرة. يمكن أن ينفتح القطع المكافئ لأعلى أو لأسفل أو لليسار أو لليمين أو في أي اتجاه آخر. يمكن إعادة وضع أي قطع مكافئ وإعادة تحجيمه ليناسب تماماً أي قطع مكافئ آخر - أي أن جميع القطوع المكافئة متشابهة هندسياً.

تتميز القطوع المكافئة بخاصية انعكاس الضوء، فإذا صُنعت من مادة تعكس الضوء، فإن الضوء الذي يسير موازياً لمحور تناظر القطع المكافئ ويصطدم بجانبه المقعر ينعكس إلى بؤرته، بغض النظر عن موضع الانعكاس على القطع المكافئ. وعلى العكس، فإن الضوء المنبعث من مصدر نقطي عند البؤرة ينعكس إلى حزمة متوازية، مما يجعل القطع المكافئ موازياً لمحور التناظر. وينطبق التأثير نفسه على الصوت والموجات الأخرى. وتُعد خاصية الانعكاس هذه أساساً للعديد من الاستخدامات العملية للقطوع المكافئة.

للقطوع المكافئة تطبيقات عديدة وهامة، بدءاً من هوائي القطع المكافئ وميكروفون القطع المكافئ، وصولاً إلى عاكسات مصابيح السيارات الأمامية وتصميم الصواريخ البالستية. ويُستخدم بكثرة في الفيزياء، الهندسة، والعديد من المجالات الأخرى.

 التاريخ

فرجار رسم القطع المكافئ من تصميم ليوناردو داڤنشي.

أقدم من عمل على دراسة القطوع المخروطية، طبقًا لما هو معروف لدينا، هو مينايخموس في القرن الرابع ق.م. فقد أوجد طريقة لحل مسألة مضاعفة المكعب باستخدام القطوع المكافئة، وقد كان من الصعب حل مثل هذه المسألة بإنشاءات الفرجار والمسطرة. أما أبولونيوس فقد اكتشف العديد من خصائص القطوع المخروطية، كما يعود إليه الفضل في تسمية هذا النوع من القطوع بالقطع المكافئ. خاصية البؤرة-الدليل للقطع المكافئ، يعود الفضل فيها إلى پاپوس السكندري.

أوضح جاليليو أن المقذوفات تتخذ مسارًا على هيئة قطع مكافئ؛ ذلك نتيجة انتظام عجلة الجاذبية الأرضية.

قبل اختراع التليسكوب العاكس كانت فكرة تكون صورة من خلال مرآة القطع المكافئ؛ معروفة. في النصف الأول من القرن السابع عشر اقترح مجموعة من علماء الرياضيات، أمثال رينيه ديكارت ومارين مارسين وجيمس جريجوري، تصميمات لمرايا القطع المكافئ. لكن إسحاق نيوتن تحاشى استخدام هذا النوع من المرايا عندما قام ببناء أول تلسكوب عاكس عام 1668م، وذلك لصعوبة تصنيعها مقارنة بالمرايا الكرية. في الوقت الراهن تستخدم عواكس القطع المكافئ في أغلب التلسكوبات العاكسة الحديثة ، وفي التلسكوبات الفضائية ، وأطباق الاستقبال التلفازي المعدنية، وأطباق اتصالات الساتل الصناعية ، ومستقبلات الرادار.

 التعريف كموضع للنقاط

يمكن تعريف القطع المكافئ هندسياً على أنه مجموعة من النقاط (المحل) في المستوى الإقليدي، كما يلي.

القطع المكافئ هو مجموعة النقاط التي تساوي المسافة بينها وبين نقطة ثابتة، تُسمى البؤرة، المسافة بينها وبين خط ثابت، يُسمى الدليل. أي، إذا كانت $F$ هي البؤرة و$l$ هي الدليل، فإن القطع المكافئ هو مجموعة جميع النقاط $P$ التي تحقق الشرط التالي:

$$d(P,F)=d(P,l),$$ where $d$ تشير إلى المسافة الإقليدية.

النقطة التي تكون فيها هذه المسافة في حدها الأدنى هي نقطة المنتصف $V$ للعمودي من البؤرة $F$ إلى الدليل $l.$ وتسمى الرأس، ومسافتها إلى كل من البؤرة والدليل هي البعد البؤري للقطع المكافئ.

الخط $FV$ هو محور التناظر الفريد للقطع المكافئ ويسمى محور القطع المكافئ.

 في نظام الإحداثيات الديكارتية

 محور التماثل الموازي للمحور y

قطع مكافئ محوره موازي للمحور y؛ p هو نصف الوتر البؤري المستقيم.

قطع مكافيء: خواص البؤرة F.

إذا افترضنا أن دليل القطع المكافئ هو الخط x = −p، وأن بؤرته هي النقطة (p, 0). وإذا كانت (x, y) نقطة تنتمي للقطع المكافئ وأنها، من تعريف بابوس للقطع المكافئ، تبعد عن البؤرة مسافة مساوية لبعدها عن الدليل، هذا يعني أن:

$x+p=\sqrt{(x-p{)}^2+y^2}.$

بتربيع طرفي المعادلة وبعد التبسيط نحصل على

$y^2=4px$

وهي معادلة القطع الكافئ في صورة من أبسط صوره، ويلاحظ أن محور هذا القطع أفقي. ولتعميم هذه المعادلة نتخيل أن القطع المكافئ أزيح بحيث يكون رأسه هو النقطة (h, k)، بالتالي تصير معادلته

$(y-k{)}^2=4p(x-h)$

بتبديل الإحداثيات x و y نحصل على المعادلة المقابلة للقطع المكافئ رأسي المحور

$(x-h{)}^2=4p(y-k).$

المعادلة الأخيرة يمكن كتابتها على الصورة

$y=a{x}^2+bx+c$

وبالتالي فإن أي دالة في x إذا كانت كثيرة حدود من الدرجة الثانية فهي قطع مكافئ ذو محور رأسي.

وللتعميم أكثر نقول أن القطع المكافئ هو منحن في المستوى الديكارتي يُعرف بالمعادلة غير القابلة للاختزال والتي على الصورة:

$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$

بحيث أن

$B^2=4AC,$

حيث كل المعاملات حقيقية، وكل من A و B لا يساويان الصفر، ويوجد أكثر من حل وحيد، بحيت تكون مجموعة الحل أزاوج مرتبة على الصورة (x, y)، وهي جميع النقاط الواقعة على المنحنى. كما أن المعادلة غير قابلة للاختزال، بمعنى أنه لا يمكن تحليلها إلى حاصل ضرب معادلتين لا يُشترط أن تكونا خطيتين.

 الموضع العام

القطع المكافئ: الموضع العام.

إذا كانت البؤرة $F=(f_1,f_2)$، والدليل $ax+by+c=0$، فإنه يمكن الحصول على المعادلة التالية:

$$\frac{(ax+by+c{)}^2}{a^2+b^2}=(x-f_1{)}^2+(y-f_2{)}^2$$

(يستخدم الجانب الأيسر من المعادلة صغية هسه الطبيعية لخط لحساب المسافة $\left|Pl\right|$).

للحصول على معادلة پارامترية للقطع المكافئ في الوضع العام انظر § As الصورة التآلفية للقطع المكافئ الوحدوي.

تُعرف الدالة الضمنية للقطع المكافئ بواسطة متعددة الحدود غير القابلة للاختزال من الدرجة الثانية:

$$a{x}^2+bxy+c{y}^2+dx+ey+f=0,$$ حي $b^2-4ac=0,$ أو، على نحو مماثل، أحيث $a{x}^2+bxy+c{y}^2$ هو مربع متعدد الحدود خطي.

 كمخطط لدالة

القطوع المكافئة $y=a{x}^2$

يُبين القسم السابق أن أي قطع مكافئ يكون رأسُه نقطة الأصل ومحورُه y محورَ تناظر، يمكن اعتباره مخطط لدالة.

$$f(x)=a{x}^2\text{ with }a\ne 0.$$

عندما تكون قيمة $a>0$، تكون القطوع المكافئة مفتوحة من الأعلى، وعندما تكون قيمة $a<0$، تكون مفتوحة من الأسفل (انظر الصورة). من القسم أعلاه، نحصل على:

• البؤرة هي $(0,\frac{1}{4a})$,
• البعد البؤري $\frac{1}{4a}$، الوتر شبه البؤري هو $p=\frac{1}{2a}$،
• الرأس هو $(0,0)$،
• الدليل هو $y=-\frac{1}{4a}$،

• المماس عند النقطة $(x_0,a{x}_0^2)$ ويمثل بالمعادلة $y=2a{x}_{0}x-a{x}_0^2$.

بالنسبة لـ $a=1$ يكون القطع المكافئ هو القطع المكافئ الوحدوي ويمثل بالمعادلة $y=x^2$.

بؤرته هي $(0,\frac{1}{4})$، الوتر شبه البؤري $p=\frac{1}{2}$، والدليل يمثل بالمعادلة $y=-\frac{1}{4}$.

الدالة العامة من الدرجة الثانية هي:

$$f(x)=a{x}^2+bx+c\text{ with }a,b,c\in \mathbb{ℝ},a\ne 0.$$ إكمال المربع ينتج:

$$f(x)=a{(x+\frac{b}{2a})}^2+\frac{4ac-b^2}{4a},$$

وهي معادلة القطع المكافئ مع:

• المحور $x=-\frac{b}{2a}$ (موازي للمحور y )،
• البعد البؤري $\frac{1}{4a}$،الوتر شبه البؤري $p=\frac{1}{2a}$،
• الرأس $V=(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$،
• البؤرة $F=(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2+1}{4a})$،
• الدليل $y=\frac{4ac-b^2-1}{4a}$،
• إحداثيات نقطة تقاطع القطع المكافئ مع المحور y هي $(0,c)$،
• المماس عند نطقة ما على المحور y تمثل بالمعادلة $y=bx+c$.

 التشابه مع القطع المكافئ الوحدوي

عندما يُغير مقياس القطع المكافئ $y=2x^2$ بشكل منتظم بمعامل 2، تكون النتيجة هي القطع المكافئ $y=x^2$

يكون جسمان في المستوى الإقليدي متشابهين إذا كان من الممكن تحويل أحدهما إلى الآخر عن طريق التشابه، أي تركيب عشوائي للدوال من الحركات الصلبة (الانسحابات والدورانات) والتحجيم المنتظم|التحكيمات المنتظمة.

يمكن تحويل القطع المكافئ $\mathcal{𝒫}$ ذي الرأس $V=(v_1,v_2)$ عن طريق الانسحاب $(x,y)\to (x-v_1,y-v_2)$ إلى قطع مكافئ يكون رأسُه نقطة الأصل. ثم يمكن انسحابه بدوران مناسب حول نقطة الأصل إلى قطع مكافئ يكون محوره التناظري هو المحور y. وبالتالي، يمكن انسحاب القطع المكافئ $\mathcal{𝒫}$ بحركة صلبة إلى قطع مكافئ معادلته $y=a{x}^2,a\ne 0$. ويمكن بعد ذلك انسحاب هذا القطع المكافئ عن طريق التحجيم المنتظم $(x,y)\to (ax,ay)$ إلى قطع مكافئ وحدوي معادلته $y=x^2$. وبالتالي، يمكن تحويل أي قطع مكافئ إلى قطع مكافئ وحدوي عن طريق التشابه.

يمكن أيضًا استخدام النهج التركيبي، باستخدام المثلثات المتشابهة، لإثبات هذه النتيجة.

والنتيجة العامة هي أن القطعين المخروطيين (بالضرورة من نفس النوع) متشابهان إذا وفقط إذا كان لهما نفس اللامركزية. لذلك، فإن الدوائر فقط (جميعها ذات انحراف مركزي 0) تشترك في هذه الخاصية مع القطع المكافئ (جميعها ذات انحراف مركزي 1)، بينما القطع الناقص والقطع الزائد العامة لا تشترك في هذه الخاصية.

توجد انسحابات تآلفية بسيطة أخرى تُسقط القطع المكافئ y = ax² على القطع المكافئ الوحدوي، مثل (x, y) → (x, y/a). لكن هذا الإسقاط ليس تشابهاً، وإنما يُظهر فقط أن جميع القطوع المكافئة متكافئة تآلفياً. (see § باعتباره الصورة التآلفية للقطع المكافئ الوحدوي).

 كقطع مخروطي خاص

مجموعة من القطوع المخروطية ذات رأس مشترك.

القطع المكافئ يمكن تعريفه باعتباره قطع مخروطي اختلافه المركزي يساوي الواحد الصحيح؛ نتيجة لذلك تكون كل القطوع المكافئة متشابهة، بمعنى أن لها نفس الشكل مهما تغير حجمها. ويعتبر القطع المكافئ أيضا نهاية قطوع ناقصة متتابعة، إحدى بؤرتيهم ثابتة والأخرى حرة لتتحرك بعيدًا في اتجاه واحد، بهذا المنطق يمكن النظر إلى القطع المكافئ باعتباره قطع ناقص إحدى بؤرتيه تقع عند ما لا نهاية. القطع المكافئ هو أيضًا تحول عكسي للمنحنى القلبي.

 الإحداثيات القطبية

Pencil of conics with a common focus

If p > 0, the parabola with equation $y^2=2px$ (opening to the right) has the polar representation $$r=2p\frac{\cos \phi }{{\sin }^2\phi },\phi \in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\setminus \{0\}$$ where $r^2=x^2+y^2,x=r\cos \phi$.

Its vertex is $V=(0,0)$, and its focus is $F=(\frac{p}{2},0)$.

If one shifts the origin into the focus, that is, $F=(0,0)$, one obtains the equation $$r=\frac{p}{1-\cos \phi },\phi \ne 2\pi k.$$

Remark 1: Inverting this polar form shows that a parabola is the inverse of a cardioid.

Remark 2: The second polar form is a special case of a pencil of conics with focus $F=(0,0)$ (see picture): $$r=\frac{p}{1-e\cos \phi }$$ ($e$ is the eccentricity).

 المقطع المخروطي والشكل التربيعي

 المخطط، الوصف، والتعريفات

مخروط بقطاعات عرضية (للتكبير، انقر على المخطط. للتصغير، عد إلى الصفحة السابقة.)

The diagram represents a cone with its axis AV. The point A is its apex. An inclined cross-section of the cone, shown in pink, is inclined from the axis by the same angle θ, as the side of the cone. According to the definition of a parabola as a conic section, the boundary of this pink cross-section EPD is a parabola.

A cross-section perpendicular to the axis of the cone passes through the vertex P of the parabola. This cross-section is circular, but appears elliptical when viewed obliquely, as is shown in the diagram. Its centre is V, and PK is a diameter. We will call its radius r.

Another perpendicular to the axis, circular cross-section of the cone is farther from the apex A than the one just described. It has a chord DE, which joins the points where the parabola intersects the circle. Another chord BC is the perpendicular bisector of DE and is consequently a diameter of the circle. These two chords and the parabola's axis of symmetry PM all intersect at the point M.

All the labelled points, except D and E, are coplanar. They are in the plane of symmetry of the whole figure. This includes the point F, which is not mentioned above. It is defined and discussed below, in § Position of the focus.

Let us call the length of DM and of EM x, and the length of PM y.

 اشتقاق الدالة التربيعية

The lengths of BM and CM are:

• $\overline{\mathrm{B}\mathrm{M}}=2y\cos \theta$ (triangle BPM is isosceles, because $\overline{PM}\parallel \overline{AC}⟹\mathrm{\angle }PMB=\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }ABC$
• $\overline{\mathrm{C}\mathrm{M}}=2r$ (PMCK is a parallelogram).

Using the intersecting chords theorem on the chords BC and DE, we get $$\overline{\mathrm{B}\mathrm{M}}\cdot \overline{\mathrm{C}\mathrm{M}}=\overline{\mathrm{D}\mathrm{M}}\cdot \overline{\mathrm{E}\mathrm{M}}.$$

Substituting: $$4ry\cos \theta =x^2.$$

Rearranging: $$y=\frac{x^2}{4r\cos \theta }.$$

For any given cone and parabola, r and θ are constants, but x and y are variables that depend on the arbitrary height at which the horizontal cross-section BECD is made. This last equation shows the relationship between these variables. They can be interpreted as Cartesian coordinates of the points D and E, in a system in the pink plane with P as its origin. Since x is squared in the equation, the fact that D and E are on opposite sides of the y axis is unimportant. If the horizontal cross-section moves up or down, toward or away from the apex of the cone, D and E move along the parabola, always maintaining the relationship between x and y shown in the equation. The parabolic curve is therefore the locus of points where the equation is satisfied, which makes it a Cartesian graph of the quadratic function in the equation.

 البعد البؤري

It is proved in a preceding section that if a parabola has its vertex at the origin, and if it opens in the positive y direction, then its equation is y = x²/4f, where f is its focal length. Comparing this with the last equation above shows that the focal length of the parabola in the cone is r cos θ.

 موضع البؤرة

In the diagram above, the point V is the foot of the perpendicular from the vertex of the parabola to the axis of the cone. The point F is the foot of the perpendicular from the point V to the plane of the parabola. By symmetry, F is on the axis of symmetry of the parabola. Angle VPF is complementary to θ, and angle PVF is complementary to angle VPF, therefore angle PVF is θ. Since the length of PV is r, the distance of F from the vertex of the parabola is r sin θ. It is shown above that this distance equals the focal length of the parabola, which is the distance from the vertex to the focus. The focus and the point F are therefore equally distant from the vertex, along the same line, which implies that they are the same point. Therefore, the point F, defined above, is the focus of the parabola.

This discussion started from the definition of a parabola as a conic section, but it has now led to a description as a graph of a quadratic function. This shows that these two descriptions are equivalent. They both define curves of exactly the same shape.

 برهان بديل باستخدام كرات داندلين

Parabola (red): side projection view and top projection view of a cone with a Dandelin sphere

An alternative proof can be done using Dandelin spheres. It works without calculation and uses elementary geometric considerations only (see the derivation below).

The intersection of an upright cone by a plane $\pi$, whose inclination from vertical is the same as a generatrix (a.k.a. generator line, a line containing the apex and a point on the cone surface) $m_0$ of the cone, is a parabola (red curve in the diagram).

This generatrix $m_0$ is the only generatrix of the cone that is parallel to plane $\pi$. Otherwise, if there are two generatrices parallel to the intersecting plane, the intersection curve will be a hyperbola (or degenerate hyperbola, if the two generatrices are in the intersecting plane). If there is no generatrix parallel to the intersecting plane, the intersection curve will be an ellipse or a circle (or a point).

Let plane $\sigma$ be the plane that contains the vertical axis of the cone and line $m_0$. The inclination of plane $\pi$ from vertical is the same as line $m_0$ means that, viewing from the side (that is, the plane $\pi$ is perpendicular to plane $\sigma$), $m_0\parallel \pi$.

In order to prove the directrix property of a parabola (see § Definition as a locus of points above), one uses a Dandelin sphere $d$, which is a sphere that touches the cone along a circle $c$ and plane $\pi$ at point $F$. The plane containing the circle $c$ intersects with plane $\pi$ at line $l$. There is a mirror symmetry in the system consisting of plane $\pi$, Dandelin sphere $d$ and the cone (the plane of symmetry is $\sigma$).

Since the plane containing the circle $c$ is perpendicular to plane $\sigma$, and $\pi \perp \sigma$, their intersection line $l$ must also be perpendicular to plane $\sigma$. Since line $m_0$ is in plane $\sigma$, $l\perp m_0$.

It turns out that $F$ is the focus of the parabola, and $l$ is the directrix of the parabola.

1. Let $P$ be an arbitrary point of the intersection curve.
2. The generatrix of the cone containing $P$ intersects circle $c$ at point $A$.
3. The line segments $\overline{PF}$ and $\overline{PA}$ are tangential to the sphere $d$, and hence are of equal length.
4. Generatrix $m_0$ intersects the circle $c$ at point $D$. The line segments $\overline{ZD}$ and $\overline{ZA}$ are tangential to the sphere $d$, and hence are of equal length.
5. Let line $q$ be the line parallel to $m_0$ and passing through point $P$. Since $m_0\parallel \pi$, and point $P$ is in plane $\pi$, line $q$ must be in plane $\pi$. Since $m_0\perp l$, we know that $q\perp l$ as well.
6. Let point $B$ be the foot of the perpendicular from point $P$ to line $l$, that is, $\overline{PB}$ is a segment of line $q$, and hence $\overline{PB}\parallel \overline{ZD}$.
7. From intercept theorem and $\overline{ZD}=\overline{ZA}$ we know that $\overline{PA}=\overline{PB}$. Since $\overline{PA}=\overline{PF}$, we know that $\overline{PF}=\overline{PB}$, which means that the distance from $P$ to the focus $F$ is equal to the distance from $P$ to the directrix $l$.

 إثبات خاصية الانعكاس

خاصية انعكاس القطع المكافئ.

تنص خاصية الانعكاس على أنه إذا كان القطع المكافئ يعكس الضوء، فإن الضوء الداخل إليه موازياً لمحور التناظر ينعكس باتجاه البؤرة. ويُستمد هذا من علم البصريات الهندسية، استناداً إلى افتراض أن الضوء ينتقل على شكل أشعة.

لنفترض القطع المكافئ y = x². بما أن جميع القطوع المكافئة متشابهة، فإن هذه الحالة البسيطة تمثل جميع الحالات الأخرى.

 الإنشاء والتعريفات

النقطة E هي نقطة اختيارية على القطع المكافئ. البؤرة هي F، والرأس هو A (نقطة الأصل)، والمستقيم FA هو محور التناظر. المستقيم EC موازي لمحور التناظر، ويقطع المحور x عند النقطة D، ويقطع الدليل عند النقطة C. النقطة B هي منتصف القطعة المستقيمة FC.

 الاقتطاعات

الرأس y متساوي البعد عن البؤرة F وعن الدليل. بما أن C تقع على الدليل، فإن إحداثيات y لكل من F وC متساوية في القيمة المطلقة ومتعاكسة في الإشارة. B هي نقطة منتصف F. إحداثيتها x تساوي نصف إحداثية D، أي x/2. ميل الخط BE هو حاصل قسمة طولي ED وBD، وهو 1 = 2x/2 = 2x. لكن 2x هو أيضًا ميل (المشتقة الأولى) القطع المكافئ عند E. لذلك، فإن الخط BE هو المماس للقطع المكافئ عند E.

المسافة بين الخطين EF وEC متساوية لأن النقطة E تقع على القطع المكافئ، والنقطة F هي البؤرة، والنقطة C تقع على الدليل. وبما أن B هي منتصف الخط FC، فإن المثلثين △FEB و△CEB متطابقان (لأنهما متطابقان من حيث الأضلاع الثلاثة)، مما يعني أن الزوايا المحددة بـ α متطابقة. (الزاوية فوق E تقابل الزاوية ∠BEC بالرأس). هذا يعني أن شعاع الضوء الذي يدخل القطع المكافئ ويصل إلى E موازياً لمحور التناظر سينعكس عن الخط BE، وبالتالي سيسير على طول الخط EF، كما هو موضح باللون الأحمر في الرسم (بافتراض أن الخطوط تعكس الضوء بطريقة ما). بما أن BE هو المماس للقطع المكافئ عند النقطة E، فإن نفس الانعكاس سيحدث بواسطة قوس متناهي الصغر من القطع المكافئ عند النقطة E. لذلك، فإن الضوء الذي يدخل القطع المكافئ ويصل إلى النقطة E وهو يسير موازياً لمحور تناظر القطع المكافئ ينعكس بواسطة القطع المكافئ باتجاه بؤرته.

ينطبق هذا الاستنتاج بشأن الضوء المنعكس على جميع النقاط على القطع المكافئ، كما هو موضح على الجانب الأيسر من الرسم التخطيطي. هذه هي خاصية الانعكاس.

 نتائج أخرى

هناك نظريات أخرى يمكن استنتاجها ببساطة من الحجة المذكورة أعلاه.

 خاصية التنصيف المماسي

يُظهر البرهان أعلاه والرسم التوضيحي المصاحب له أن المماس BE يُنصف الزاوية ∠FEC. بعبارة أخرى، يُنصف المماس للقطع المكافئ عند أي نقطة الزاوية بين الخطين الواصلين بين تلك النقطة والبؤرة والعموديين على الدليل.

 نقطة تقاطع مماس وعمودي من البؤرة

عمودي من البؤرة إلى المماس.

بما أن المثلثين △FBE و△CBE متطابقان، فإن الخط FB عمودي على المماس BE. وبما أن النقطة B تقع على المحور x، وهو المماس للقطع المكافئ عند رأسه، فإن نقطة تقاطع أي مماس للقطع المكافئ مع العمود النازل من بؤرته على ذلك المماس تقع على الخط المماس للقطع المكافئ عند رأسه. انظر المخطط المتحرك والمنحنى القدمي.

 انعكاس الضوء الساقط على الجانب المحدب

إذا سار الضوء على طول الخط CE، فإنه يتحرك بالتوازي مع محور التناظر ويصطدم بالجانب المحدب من القطع المكافئ عند النقطة E. من الواضح من الرسم التخطيطي أعلاه أن هذا الضوء سينعكس مباشرة بعيدًا عن البؤرة، على طول امتداد القطعة FE.

 أدلة بديلة

القطع المكافئ والمماس.

تستخدم البراهين السابقة لخاصيتي التنصيف الانعكاسي والمماسي خطاً من حساب التفاضل والتكامل. فيما يلي برهان هندسي.

في هذا الرسم، النقطة F هي بؤرة القطع المكافئ، وتقع النقطتان T و U على دليله. النقطة P هي نقطة اختيارية على القطع المكافئ. PT يكون عمودي على الدليل، و MP ينصف الزاوية ∠FPT. النقطة Q هي نقطة أخرى على القطع المكافئ، و QU يكون عمودي على الدليل. نعلم أن FP يساوي PT، و FQ يساوي QU.

من الواضح أن QT>QU، وبالتالي فإن QT>FQ. جميع النقاط على منصف الزاوية MP متساوية البعد عن النقطتين F وT، لكن Q أقرب إلى F منها إلى T. هذا يعني أن Q تقع على يسار MP، أي على نفس جانب البؤرة. وينطبق الأمر نفسه إذا كانت Q تقع في أي مكان آخر على القطع المكافئ (باستثناء النقطة P)، لذا فإن القطع المكافئ بأكمله، باستثناء النقطة P، يقع على جانب البؤرة من MP. لذلك، فإن MP هو المماس للقطع المكافئ عند P. وبما أنه ينصف الزاوية ∠FPT، فإن هذا يثبت خاصية تنصيف المماس.

يمكن تطبيق منطق الفقرة الأخيرة لتعديل البرهان السابق لخاصية الانعكاس. فهو يثبت فعليًا أن BE هو مماس للقطع المكافئ عند النقطة E إذا كانت الزاويتان α متساويتين. وتتبع خاصية الانعكاس كما هو موضح سابقًا.

 إنشاء الحزم والخيوط

القطع المكافئ: إنشاء الحزمة والخيط.

يمكن استخدام تعريف القطع المكافئ من خلال بؤرته ودليله لرسمه بمساعدة الحزم والخيوط:

1. اختر البؤرة $F$ والدليل $l$ للقطع المكافئ.
2. خذ مثلثاً من مثلث قائم الزاوية، وجهز خيطاً طوله $\left|AB\right|$ (انظر المخطط).
3. قم بتثبيت أحد طرفي الخيط عند النقطة $A$ من المثلث والطرف الآخر عند البؤرة $F$.
4. ضع المثلث بحيث يكون الضلع الثاني للزاوية القائمة حراً في الانزلاق على طول الدليل.
5. خذ حزمةاً وامسك الخيط بإحكام حول المثلث.
6. أثناء تحريك المثلث على طول الدليل، يرسم الحزمة قوساً من القطع المكافئ، بسبب $\left|PF\right|=\left|PB\right|$ (انظر تعريف القطع المكافئ).

 الخصائص المتعلقة بنظرية پاسكال

يمكن اعتبار القطع المكافئ الجزء التآلفي من قطع مخروطي إسقاطي غير منحل، حيث تقع النقطة $Y_{\mathrm{\infty }}$ على خط اللانهاية $g_{\mathrm{\infty }}$، وهو المماس عند $Y_{\mathrm{\infty }}$. تُعدّ حالات الانحلال الخماسية والرباعية والثلاثية لنظرية باسكال من خصائص القطع المخروطي الذي يتضمن مماساً واحداً على الأقل. إذا اعتبرنا هذا المماس هو خط اللانهاية، ونقطة تماسه هي النقطة عند اللانهاية على المحور y، فسنحصل على ثلاث عبارات للقطع المكافئ.

تتعلق الخصائص التالية للقطع المكافئ فقط بالمصطلحات الاتصال والتقاطع والتوازي، وهي ثوابت للتشابهات. لذا، يكفي إثبات أي خاصية للقطع المكافئ الوحدوي باستخدام المعادلة $y=x^2$.

 خاصية 4-نقاط

خاصية 4-نقاط للقطع المكافئ.

يمكن وصف أي قطع مكافئ في نظام إحداثيات مناسب بواسطة المعادلة $y=a{x}^2$.

ليكن $P_1=(x_1,y_1),P_2=(x_2,y_2),P_3=(x_3,y_3),P_4=(x_4,y_4)$ أربع نقاط على القطع المكافئ $y=a{x}^2$، و $Q_2$ نقطة تقاطع الخط القاطع $P_1{P}_4$ مع الخط $x=x_2,$ وليكن $Q_1$ نقطة تقاطع الخط القاطع $P_2{P}_3$ مع الخط $x=x_1$ (انظر الصورة). ثم يكون الخط القاطع $P_3{P}_4$ موازياً للخط $Q_1{Q}_2$. (الخطان $x=x_1$ و $x=x_2$ متوازيان مع محور القطع المكافئ.)

الإثبات: حساب مباشر للقطع المكافئ للوحدة $y=x^2$.

التطبيق: يمكن استخدام خاصية 4-نقاط للقطع المكافئ لإنشاء النقطة $P_4$، بينما يتم إعطاء $P_1,P_2,P_3$ و $Q_2$ .

ملاحظة: خاصية 4-نقاط للقطع المكافئ هي نسخة تآلفية من انحلال النقاط الخمس لنظرية پاسكال.

 خاصية 3 نقاط - 1 مماس

خاصية 3 نقاط - 1 مماس.

لتكن النقاط $P_0=(x_0,y_0),P_1=(x_1,y_1),P_2=(x_2,y_2)$ ثلاث نقاط على القطع المكافئ الذي معادلته $y=a{x}^2$ and $Q_2$، ولتكن $Q_2$ نقطة تقاطع الخط القاطع $P_0{P}_1$ مع الخط $x=x_1$ (انظر الصورة). عندئذٍ، يكون المماس عند النقطة $P_0$ موازياً للخط $Q_1{Q}_2$.

(الخطان $x=x_1$ and $x=x_2$ متوازيان مع محور القطع المكافئ.)

الإثبات: يمكن إجراء العملية للقطع المكافئ الوحدوي $y=x^2$. تُظهر عملية حسابية بسيطة: أن الخط $Q_1{Q}_2$ له ميل $2x_0$ وهو ميل المماس عند النقطة $P_0$.

التطبيق: يمكن استخدام خاصية 3-نقاط 1-مماسللقطع المكافئ لإنشاء المماس عند النقطة $P_0$، بينما يُعطى $P_1,P_2,P_0$.

ملاحظة: خاصية 3-نقاط-1-مماس للقطع المكافئ هي نسخة تآلفية من انحلال 4-نقاط لنظرية پاسكال.

 خاصية 2 نقطة - 2 مماس

خاصية 2 نقطة - 2 مماس.

لنفترض أن $P_1=(x_1,y_1),P_2=(x_2,y_2)$ نقطتان على القطع المكافئ الذي معادلته $y=a{x}^2$، وأن $Q_2$ هي نقطة تقاطع المماس عند النقطة $P_1$ مع الخط $x=x_2$، وأن $Q_1$ هي نقطة تقاطع المماس عند النقطة $P_2$ مع الخط $x=x_1$ (انظر الصورة). عندئذٍ، يكون القاطع $P_1{P}_2$ موازياً للخط $Q_1{Q}_2$.

(الخطان $x=x_1$ and $x=x_2$ متوازيان مع محور القطع المكافئ.)

الإثبات: حساب مباشر للقطع المكافئ الوحدوي $y=x^2$.

التطبيق: يمكن استخدام خاصية النقطتين والمماسين لإنشاء المماس للقطع المكافئ عند النقطة $P_2$، إذا أُعطي $P_1,P_2$ والمماس عند $P_1$.

ملاحظة 1: إن خاصية 2-نقطة و2 مماس للقطع المكافئ هي نسخة تآلفية من انحلال 3-نقطة لنظرية پاسكال.

ملاحظة 2: لا ينبغي الخلط بين خاصية 2-نقطة و2 مماس مع الخاصية التالية للقطع المكافئ، والتي تتعامل أيضاً مع 2-نقطة و2 مماس، لكنها لا ترتبط بنظرية پاسكال.

 اتجاه المحور

إنشاء اتجاه المحور.

تفترض العبارات أعلاه معرفة اتجاه محور القطع المكافئ، وذلك لإنشاء النقطتين $Q_1,Q_2$. تحدد الخاصية التالية النقطتين $Q_1,Q_2$ من خلال نقطتين معطيتين ومماساتهما فقط، والنتيجة هي أن الخط $Q_1,Q_2$ موازي لمحور القطع المكافئ.

ولنفترض أن:

1. $P_1=(x_1,y_1),P_2=(x_2,y_2)$ هما نقطتان على القطع المكافئ $y=a{x}^2$، و $t_1,t_2$ هما ممساتهما؛
2. لتكن $Q_1$ نقطة تقاطع المماسين $t_1,t_2$،

1. يكون $Q_2$ تقاطع الخط الموازي لـ $t_1$ المار عبر $P_2$ مع الخط الموازي لـ $t_2$ المار عبر $P_1$ (انظر الصورة).

إذن، يكون الخط $Q_1{Q}_2$ موازياً لمحور القطع المكافئ بالمعادلة $x=(x_1+x_2)/2.$

الإثبات: يمكن القيام بذلك (مثل الخصائص أعلاه) للقطع المكافئ الوحدوي $y=x^2$.

التطبيق: يمكن استخدام هذه الخاصية لتحديد اتجاه محور القطع المكافئ، إذا عُلمت نقطتان ومماساتهما. وهناك طريقة بديلة تتمثل في تحديد منتصفات وترين متوازيين، انظر قسم الأوتار المتوازية.

ملاحظة: هذه الخاصية هي نسخة تآلفية من نظرية مثلثين منظورين لقطع مخروطي غير منحل.

متعلقة: الوتر $P_1{P}_2$ له خاصيتان إضافيتان:

1. ميله هو المتوسط ​​التوافقي لميلَي المماسين $t_1$ و $t_2$.
2. يكون موازي للمماس عند نقطة تقاطع $Q_1{Q}_2$ مع القطع المكافئ.

 قطوع شتاينر المكافئة

 القطع المكافئ

إنشاء شتاينر للقطع المكافئ.

وضع شتاينر الإجراء التالي لإنشاء قطع مخروطي غير منحل (انظر قطع شتاينر المخروطي):

بفرض وجود خطين من نوع الحزم $B(U),B(V)$ للخطين عند النقطتين $U,V$ (جميع الخطوط تحتوي على $U$ و $V$ على التوالي) ورسم خرائط إسقاطية وليس منظورياً $\pi$ للحزمة $B(U)$ على $B(V)$، فإن نقاط تقاطع الخطوط المتناظرة تشكل مقطعاً مخروطياً إسقاطياً غير منحل.

يمكن استخدام هذا الإجراء لإنشاء نقاط بسيطة على القطع المكافئ $y=a{x}^2$:

• ضع في اعتبارك الحزمة عند الرأس $S(0,0)$ ومجموعة الخطوط ${\mathrm{\Pi }}_y$ الموازية للمحور y.

• 1. ليكن $P=(x_0,y_0)$ نقطة على القطع المكافئ، و $A=(0,y_0)$، $B=(x_0,0)$.

• 1. يُقسم المقطع الخطي $\overline{BP}$ إلى n قطعة متساوية المسافة، ويُسقط هذا التقسيم (في اتجاه $BA$) على المقطع الخطي $\overline{AP}$ (انظر الشكل). ينتج عن هذا الإسقاط تحويل إسقاطي $\pi$ from pencil $S$ إلى الحزمة ${\mathrm{\Pi }}_y$.
  2. نقطة تقاطع الخط $S{B}_i$ وi-الموازي للمحور y هو نقطة على القطع المكافئ.

الإثبات: عملية حسابية مباشرة.

ملاحظة: يتوفر بناء شتاينر أيضاً للقطع الناقص والقطع الزائد.

 القطع المكافئ المزدوج

القطع المكافئ المزدوج ومنحنى بيزييه من الدرجة الثانية (على اليمين: نقطة المنحنى ونقاط التقسيم $Q_0,Q_1$ for parameter $t=0.4$)

يتكون القطع المكافئ المزدوج من مجموعة المماسات للقطع المكافئ العادي.

يمكن تطبيق بناء شتاينر للمخروط على بناء المخروط المزدوج عن طريق تغيير معاني النقاط والخطوط:

لنفترض أن لدينا مجموعتين من النقاط على خطين $u,v$، ودالة إسقاطية ولكن ليست منظورية $\pi$ بين هاتين المجموعتين من النقاط، فإن الخطوط الواصلة بين النقاط المتناظرة تشكل قطعاً مخروطياً مزدوجاً غير منحل.

لإنشاء عناصر قطع مكافئ مزدوج، نبدأ بـ:

1. ثلاث نقاط $P_0,P_1,P_2$ ليست على خط مستقيم،

1. ثلاث نقاط $P_0,P_1,P_2$ ليست على خط،
2. يُقسم قسمي الخط $\overline{P_0{P}_1}$ و $\overline{P_1{P}_2}$ إلى $n$ أقسام خطية متساوية المسافة، ثم تُجمع الأرقام كما هو موضح في الصورة.
3. ثم تكون الخطوط $P_0{P}_1,P_1{P}_2,(1,1),(2,2),\dots$ مماسات للقطع المكافئ، وبالتالي عناصر لقطع مكافئ مزدوج.

1. القطع المكافئ هو منحنى بيزييه من الدرجة 2 مع نقاط التحكم $P_0,P_1,P_2$.

إن الإثبات هو نتيجة خوارزمية دي كاستيلجو لمنحنى بيزييه من الدرجة 2.

 الزوايا المحيطية وشكل 3-نقاط

الزوايا المحيطية للقطع المكافئ.

يُحدد القطع المكافئ ذو المعادلة $y=a{x}^2+bx+c,a\ne 0$، بشكل فريد بثلاث نقاط $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$ بإحداثيات x مختلفة. تتمثل الطريقة المعتادة لتحديد المعاملات $a,b,c$ في إدخال إحداثيات النقاط في المعادلة. والنتيجة هي نظام خطي من ثلاث معادلات، يمكن حله باستخدام طريقة الاختصار الگاوسي أو قاعدة كرامر، على سبيل المثال. وهناك طريقة بديلة تستخدم نظرية الزاوية المحيطية للقطع المكافئ.

فيما يلي، تُقاس زاوية خطين بفرق ميليهما بالنسبة لدليل القطع المكافئ. أي، بالنسبة لقطع مكافئ معادلته $y=a{x}^2+bx+c,$، تُقاس الزاوية بين خطين معادلتيهما $y=m_{1}x+d_1,y=m_{2}x+d_2$ من خلال خطأ رياضيات (خطأ في الصيغة): {\displaystyle m_1 - m_2.</math. على غرار [[inscribed angle theorem|نظرية الزاوية المحيطية]] للدوائر، توجد نظرية ''الزاوية المحيطية للقطع المكافئ'':<ref>E. Hartmann, [http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/circlegeom.pdf Lecture Note ''Planar Circle Geometries'', an Introduction to Möbius-, Laguerre- and Minkowski Planes], p. 72.</ref><ref>W. Benz, ''Vorlesungen über Geomerie der Algebren'', [[Springer Science+Business Media|Springer]] (1973).</ref> {{block indent | em = 1.5 | text = النقاط الأربعة <math>P_i = (x_i, y_i),\ i = 1, \ldots, 4,} بإحداثيات x مختلفة (انظر الصورة) تقع على القطع المكافئ بالمعادلة $y=a{x}^2+bx+c$ إذا وفقط إذا كانت الزواياt $P_3$ و $P_4$ يكون لها نفس القياس، كما هو محدد أعلاه. أي، $$\frac{y_4-y_1}{x_4-x_1}-\frac{y_4-y_2}{x_4-x_2}=\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}-\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}.$$}}

(الإثبات: حساب مباشر: إذا كانت النقاط تقع على قطع مكافئ، فيمكن للمرء أن ينقل الإحداثيات للحصول على المعادلة $y=a{x}^2$, then one has $\frac{y_i-y_j}{x_i-x_j}=x_i+x_j$ إذا كانت النقاط تقع على القطع المكافئ.)

نتيجة لذلك، فإن معادلة القطع المكافئ ($x,y$) المحدد بثلاث نقاط $P_i=(x_i,y_i),i=1,2,3,$ بإحداثيات x مختلفة هي (إذا كانت إحداثيات x متساوية، فلا يوجد قطع مكافئ بدليل موازي لمحور x يمر بالنقطتين).

$$\frac{y-y_1}{x-x_1}-\frac{y-y_2}{x-x_2}=\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}-\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}.$$ بضرب المقامات التي تعتمد على $x,$ نحصل على الشكل الأكثر شيوعاً

$$(x_1-x_2)y=(x-x_1)(x-x_2)(\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}-\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2})+(y_1-y_2)x+x_1{y}_2-x_2{y}_1.$$

 العلاقة القطبية-القطب

القطع المكافئ: العلاقة القطبية-القطب

In a suitable coordinate system any parabola can be described by an equation $y=a{x}^2$. The equation of the tangent at a point $P_0=(x_0,y_0),y_0=a{x}_0^2$ is $$y=2a{x}_0(x-x_0)+y_0=2a{x}_{0}x-a{x}_0^2=2a{x}_{0}x-y_0.$$ One obtains the function $$(x_0,y_0)\to y=2a{x}_{0}x-y_0$$ on the set of points of the parabola onto the set of tangents.

Obviously, this function can be extended onto the set of all points of ${\mathbb{ℝ}}^2$ to a bijection between the points of ${\mathbb{ℝ}}^2$ and the lines with equations $y=mx+d,m,d\in \mathbb{ℝ}$. The inverse mapping is $$\text{line }y=mx+d\to \text{point }(\frac{m}{2a},-d).$$ This relation is called the pole–polar relation of the parabola, where the point is the pole, and the corresponding line its polar.

By calculation, one checks the following properties of the pole–polar relation of the parabola:

• For a point (pole) on the parabola, the polar is the tangent at this point (see picture: $P_1,p_1$).
• For a pole $P$ outside the parabola the intersection points of its polar with the parabola are the touching points of the two tangents passing $P$ (see picture: $P_2,p_2$).
• For a point within the parabola the polar has no point with the parabola in common (see picture: $P_3,p_3$ and $P_4,p_4$).
• The intersection point of two polar lines (see picture: $p_3,p_4$) is the pole of the connecting line of their poles (see picture: $P_3,P_4$).
• Focus and directrix of the parabola are a pole–polar pair.

Remark: Pole–polar relations also exist for ellipses and hyperbolas.

 خصائص المماس

 خصائص المماسين المتعلقة بالوتر البؤري العمودي

لنفترض أن محور التناظر يقطع القطع المكافئ عند النقطة Q، ولنرمز إلى البؤرة بالنقطة F والمسافة بينها وبين النقطة Q بالرمز f. ولنفترض أن العمود على محور التناظر، المار بالبؤرة، يقطع القطع المكافئ عند النقطة T. عندئذٍ (1) تكون المسافة من F إلى T هي 2f، و(2) يقطع مماس القطع المكافئ عند النقطة T محور التناظر بزاوية 45°.^:{{{1}}}

تتقاطع المماسات المتعامدة على الدليل.

 خاصية تعامدة المماسات

المقالة الرئيسية: متعامد المماسات)

إذا كان مماسان لقطع مكافئ متعامدين، فإنهما يتقاطعان على الدليل. والعكس صحيح، فالمماسان المتقاطعان على الدليل يكونان متعامدين. بعبارة أخرى، عند أي نقطة على الدليل، يكون القطع المكافئ بأكمله تقابل زاوية قائمة.

 نظرية لامبرت

لنفترض أن ثلاثة مماسات لقطع مكافئ تُشكّل مثلثاً. عندئذٍ، تنص نظرية لامبرت على أن بؤرة القطع المكافئ تقع على الدائرة المحيطة بالمثلث.^{(Corollary 20)}

تنص نظرية تسوكرمان العكسية لنظرية لامبرت على أنه إذا كانت هناك ثلاثة خطوط تحيط بمثلث، وكان اثنان منها مماسين لقطع مكافئ تقع بؤرته على الدائرة المحيطة بالمثلث، فإن الخط الثالث يكون أيضاً مماساً للقطع المكافئ.

 حقائق متعلقة بالأوتار والأقواس

 البعد البؤري محسوب من متغيرات الوتر

لنفترض أن وتراً يقطع قطعاً مكافئاً عمودياً على محور تناظره. ليكن طول الوتر بين نقطتي تقاطعه مع القطع المكافئ هو c، والمسافة من رأس القطع المكافئ إلى الوتر، مقاسة على طول محور التناظر، هي d. يُعطى البعد البؤري للقطع المكافئ، f، بالعلاقة التالية:

$$f=\frac{c^2}{16d}.$$

Proof

لنفترض استخدام نظام إحداثيات ديكارتية بحيث يكون رأس القطع المكافئ عند نقطة الأصل، ومحور التناظر هو المحور y. القطع المكافئ مفتوح لأعلى. وقد بُيّن في موضع آخر من هذه المقالة أن معادلة القطع المكافئ هي 4fy = x²، حيث f هي البعد البؤري. عند الطرف الموجب x للوتر، x = c/2 and y = d. بما أن هذه النقطة تقع على القطع المكافئ، فإن هذه الإحداثيات يجب أن تحقق المعادلة أعلاه. وبالتالي، بالتعويض، نحصل على، $4fd={\left(\frac{c}{2}\right)}^2$. ومن هذا، نحصل على، $f=\frac{c^2}{16d}$.

 المساحة المحصورة بين القطع المكافئ والوتر

قطع مكافئ (باللون الأرجواني) وخط (أزرق فاتح سفلي) يتضمن وتراً (أزرق). المنطقة المحصورة بينهما باللون الوردي. ينتهي الوتر نفسه عند نقاط تقاطع الخط مع القطع المكافئ.

المساحة المحصورة بين القطع المكافئ والوتر (انظر المخطط) تساوي ثلثي مساحة متوازي الأضلاع المحيط به. أحد أضلاع متوازي الأضلاع هو الوتر، والضلع المقابل هو مماس للقطع المكافئ. لا يؤثر ميل الأضلاع المتوازية الأخرى على المساحة. غالباً، كما هو الحال هنا، تُرسَم هذه الأضلاع موازية لمحور تناظر القطع المكافئ، لكن هذا أمر اعتباطي.

استنتج أرخميدس في القرن الثالث قبل الميلاد نظرية مكافئة لهذه النظرية، لكنها تختلف عنها في التفاصيل. استخدم أرخميدس مساحات المثلثات، بدلاً من مساحة متوازي الأضلاع. انظر: تربيع القطع المكافئ.

إذا كان طول الوتر b وكان عمودياً على محور تناظر القطع المكافئ، وكانت المسافة العمودية من رأس القطع المكافئ إلى الوتر h، فإن متوازي الأضلاع يكون مستطيلاً، طول ضلعيه b وh. وبالتالي، فإن مساحة القطعة المكافئة A المحصورة بين القطع المكافئ والوتر هي:

$$A=\frac{2}{3}bh.$$

يمكن مقارنة هذه الصيغة بمساحة المثلث: 1/2bh.

بصفة عامة، يمكن حساب المساحة المحصورة كما يلي: أولاً، حدد النقطة على القطع المكافئ حيث يتساوى ميله مع ميل الوتر. يمكن القيام بذلك باستخدام حساب التفاضل والتكامل، أو باستخدام خط موازي لمحور تناظر القطع المكافئ ويمر بمنتصف الوتر. النقطة المطلوبة هي نقطة تقاطع هذا الخط مع القطع المكافئ. ثم، باستخدام الصيغة الواردة في المسافة من نقطة إلى خط، احسب المسافة العمودية من هذه النقطة إلى الوتر. اضرب هذه المسافة في طول الوتر للحصول على مساحة متوازي الأضلاع، ثم في 2/3 للحصول على المساحة الداخلية المطلوبة.

 النتيجة المتعلقة بمنتصفات ونهايات الأوتار

نقاط منتصف الأوتار المتوازية.

نتيجةً لما سبق، إذا كان للقطع المكافئ عدة أوتار متوازية، فإن منتصفاتها تقع جميعها على خط موازٍ لمحور التناظر. وإذا رُسمت مماسات للقطع المكافئ تمر بنهايات أي من هذه الأوتار، فإن المماسين يتقاطعان على نفس الخط الموازي لمحور التناظر (انظر اتجاه محور القطع المكافئ).

 طول القوس

إذا كانت النقطة X تقع على قطع مكافئ ذي بُعد بؤري f، وإذا كانت p هي المسافة العمودية من X إلى محور تناظر القطع المكافئ، فيمكن حساب أطوال أقواس القطع المكافئ التي تنتهي عند X من f وp كما يلي، بافتراض أن جميعها مُعبر عنها بنفس الوحدات. $$\begin{array}{ll}h& =\frac{p}{2},\\ q& =\sqrt{f^2+h^2},\\ s& =\frac{hq}{f}+f\ln \frac{h+q}{f}.\end{array}$$

هذه الكمية s هي طول القوس بين X ورأس القطع المكافئ.

طول القوس بين X والنقطة المقابلة لها بشكل متناظر على الجانب الآخر من القطع المكافئ هو 2s.

يمكن إعطاء المسافة العمودية p إشارة موجبة أو سالبة لتحديد موقع النقطة X على محور التناظر. يؤدي عكس إشارة p إلى عكس إشارتي h وs دون تغيير قيمهما المطلقة. إذا كانت هذه الكميات مُشاراً إليها، فإن طول القوس بين أي نقطتين على القطع المكافئ يُحسب دائماً بالفرق بين قيمتي s لهما. يمكن تبسيط الحساب باستخدام خصائص الخوارزميات.

$$s_1-s_2=\frac{h_1{q}_1-h_2{q}_2}{f}+f\ln \frac{h_1+q_1}{h_2+q_2}.$$

يمكن أن يكون هذا مفيداً، على سبيل المثال، في حساب حجم المادة اللازمة لصنع عاكس القطع المكافئ أو مرايا القطع المكافئ

يمكن استخدام هذه الحسابات للقطع المكافئ في أي اتجاه. ولا تقتصر على الحالة التي يكون فيها محور التناظر موازياً للمحور y.

 إنشاء هندسي لإيجاد مساحة القطاع

S is the focus, and V is the principal vertex of the parabola VG. Draw VX perpendicular to SV.

Take any point B on VG and drop a perpendicular BQ from B to VX. Draw perpendicular ST intersecting BQ, extended if necessary, at T. At B draw the perpendicular BJ, intersecting VX at J.

For the parabola, the segment VBV, the area enclosed by the chord VB and the arc VB, is equal to ∆VBQ / 3, also $BQ=\frac{V{Q}^2}{4SV}$.

The area of the parabolic sector $SVB=\mathrm{△}SVB+\frac{\mathrm{△}VBQ}{3}=\frac{SV\cdot VQ}{2}+\frac{VQ\cdot BQ}{6}$.

Since triangles TSB and QBJ are similar, $$VJ=VQ-JQ=VQ-\frac{BQ\cdot TB}{ST}=VQ-\frac{BQ\cdot (SV-BQ)}{VQ}=\frac{3VQ}{4}+\frac{VQ\cdot BQ}{4SV}.$$

Therefore, the area of the parabolic sector $SVB=\frac{2SV\cdot VJ}{3}$ and can be found from the length of VJ, as found above.

A circle through S, V and B also passes through J.

Conversely, if a point, B on the parabola VG is to be found so that the area of the sector SVB is equal to a specified value, determine the point J on VX and construct a circle through S, V and J. Since SJ is the diameter, the center of the circle is at its midpoint, and it lies on the perpendicular bisector of SV, a distance of one half VJ from SV. The required point B is where this circle intersects the parabola.

If a body traces the path of the parabola due to an inverse square force directed towards S, the area SVB increases at a constant rate as point B moves forward. It follows that J moves at constant speed along VX as B moves along the parabola.

If the speed of the body at the vertex where it is moving perpendicularly to SV is v, then the speed of J is equal to 3v/4.

The construction can be extended simply to include the case where neither radius coincides with the axis SV as follows. Let A be a fixed point on VG between V and B, and point H be the intersection on VX with the perpendicular to SA at A. From the above, the area of the parabolic sector $SAB=\frac{2SV\cdot (VJ-VH)}{3}=\frac{2SV\cdot HJ}{3}$.

Conversely, if it is required to find the point B for a particular area SAB, find point J from HJ and point B as before. By Book 1, Proposition 16, Corollary 6 of Newton's Principia, the speed of a body moving along a parabola with a force directed towards the focus is inversely proportional to the square root of the radius. If the speed at A is v, then at the vertex V it is $\sqrt{\frac{SA}{SV}}v$, and point J moves at a constant speed of $\frac{3v}{4}\sqrt{\frac{SA}{SV}}$.

The above construction was devised by Isaac Newton and can be found in Book 1 of Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica as Proposition 30.

 البعد البؤري ونصف قطر الانحناء عند الرأس

The focal length of a parabola is half of its radius of curvature at its vertex.

الإثبات

• 
  Image is inverted. AB is x axis. C is origin. O is center. A is (x, y). OA = OC = R. PA = x. CP = y. OP = (R − y). Other points and lines are irrelevant for this purpose.
• 
  The radius of curvature at the vertex is twice the focal length. The measurements shown on the above diagram are in units of the latus rectum, which is four times the focal length.
• 

Consider a point (x, y) on a circle of radius R and with center at the point (0, R). The circle passes through the origin. If the point is near the origin, the Pythagorean theorem shows that $$\begin{array}{ll}{x}^2+(R-y{)}^2& =R^2,\\ [1ex]x^2+R^2-2Ry+y^2& =R^2,\\ [1ex]x^2+y^2& =2Ry.\end{array}$$

But if (x, y) is extremely close to the origin, since the x axis is a tangent to the circle, y is very small compared with x, so y² is negligible compared with the other terms. Therefore, extremely close to the origin

$$x^2=2Ry.$$

(1)

Compare this with the parabola

$$x^2=4fy,$$

(2)

which has its vertex at the origin, opens upward, and has focal length f (see preceding sections of this article).

Equations (1) and (2) are equivalent if R = 2f. Therefore, this is the condition for the circle and parabola to coincide at and extremely close to the origin. The radius of curvature at the origin, which is the vertex of the parabola, is twice the focal length.

النتيجة

A concave mirror that is a small segment of a sphere behaves approximately like a parabolic mirror, focusing parallel light to a point midway between the centre and the surface of the sphere.

 كصورة تآلفية للقطع المكافئ الوحدوي

القطع المكافئ كصورة تآلفية للقطع المكافئ الوحدوي.

هناك تعريف آخر للقطع المكافئ يستخدم التحويلات التآلفية:

أي قطع مكافئ هو صورة تآلفية لقطع مكافئ وحدوي، معادلته $y=x^2$.

 التمثيل الپارامتري

يأخذ التحويل التآلفي للمستوى الإقليدي الشكل التالي: $\overrightarrow{x}\to {\overrightarrow{f}}_0+A\overrightarrow{x}$، حيث $A$ هي مصفوفة منتظمة (محددها لا يساوي صفراً)، و ${\overrightarrow{f}}_0$ هو متجه عشوائي. إذا كان ${\overrightarrow{f}}_1,{\overrightarrow{f}}_2$ متجهي عمودي المصفوفة $A$، فإن القطع المكافئ $(t,t^2),t\in \mathbb{ℝ}$ يُسقط على هذا القطع المكافئ.

$$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}(t)={\overrightarrow{f}}_0+{\overrightarrow{f}}_{1}t+{\overrightarrow{f}}_2{t}^2,$$ حيث

• ${\overrightarrow{f}}_0$ هي نقطة في القطع المكافئ،
• ${\overrightarrow{f}}_1$ هو متجه مماس عند النقطة ${\overrightarrow{f}}_0$،
• ${\overrightarrow{f}}_2$ هو موازي لمحور القطع المكافئ (محور التناظر الذي يمر عبر الرأس).

 الرأس

الإحداثي السيني لرأس القطع المكافئ هو $x=-\frac{b}{2a}$، ويمكن الحصول عليه عن طريق اشتقاق المعادلة الأصلية للقطع $y=a{x}^2+bx+c$، وبوضع قيمة المشتقة $dy/dx=2ax+b$ بصفر (لأن رأس القطع المكافئ هو نقطة حرجة؛ بمعنى أن ميل المماس عنده مساوٍ للصفر)، بحل المعادلة نحصل على الإحداثي السيني لرأس المنحنى، أما الإحداثي الصادي فيمكن الحصلول عليه بالتعويض بقيمة الإحداثي السيني في المعادلة الأصلية كالتالي:

$y=a{(-\frac{b}{2a})}^2+b(-\frac{b}{2a})+c$

وبالتبسيط:

$=\frac{a{b}^2}{4a^2}-\frac{b^2}{2a}+c$

$=\frac{b^2}{4a}-\frac{2\cdot b^2}{2\cdot 2a}+c\cdot \frac{4a}{4a}$

$=\frac{-b^2+4ac}{4a}$

$=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{D}{4a}$

وبالتالي نقطة رأس القطع المكافئ هي

$(-\frac{b}{2a},-\frac{D}{4a})$

 البعد البؤري والبؤرة

يمكن تحديد البعد البؤري عن طريق تحويل مناسب للمعاملات (لا يغير الشكل الهندسي للقطع المكافئ). البعد البؤري هو

$$f=\frac{f_1^2{f}_2^2-({\overrightarrow{f}}_1\cdot {\overrightarrow{f}}_2{)}^2}{4|f_2{|}^3}.$$ وبالتالي فإن بؤرة القطع المكافئ هي: $$F:{\overrightarrow{f}}_0-\frac{{\overrightarrow{f}}_1\cdot {\overrightarrow{f}}_2}{2f_2^2}{\overrightarrow{f}}_1+\frac{f_1^2{f}_2^2}{4(f_2^2{)}^2}{\overrightarrow{f}}_2.$$

 التمثيل الضمني

بحل التمثيل الپارامتري لـ $t,t^2$ باستخدام قاعدة كرامر، وباستخدام $t\cdot t-t^2=0$، نحصل على التمثيل الضمني التالي: $$\det (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{f}{}_0,\overrightarrow{f}{}_2{)}^2-\det (\overrightarrow{f}{}_1,\overrightarrow{x}-\overrightarrow{f}{}_0)\det (\overrightarrow{f}{}_1,\overrightarrow{f}{}_2)=0.$$

det(x - f₀, f₂)² - det(f₁, fₓ - f₀) det(f₁, f₂) = 0

 القطع المكافئ في الفضاء

يُعطي تعريف القطع المكافئ في هذا القسم تمثيلاً پارامترياً للقطع المكافئ التعسفي، حتى في الفضاء، إذا سمحنا لـ $\overrightarrow{f}{}_0,\overrightarrow{f}{}_1,\overrightarrow{f}{}_2$ بأن تكون متجهات في الفضاء.

 كمنحنى بيزييه التربيعي

منحنى بيزييه التربيعي ونقاط تحكمه.

منحنى بيزييه التربيعي هو منحنى $\overrightarrow{c}(t)$ معرف بثلاث نقاط $P_0:{\overrightarrow{p}}_0$، $P_1:{\overrightarrow{p}}_1$ و $P_2:{\overrightarrow{p}}_2$، تُسمى نقاط التحكم: $$\begin{array}{ll}\overrightarrow{c}(t)& =\sum _{i=0}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{i})t^i(1-t{)}^{2-i}{\overrightarrow{p}}_i\\ [1ex]& =(1-t{)}^2{\overrightarrow{p}}_0+2t(1-t){\overrightarrow{p}}_1+t^2{\overrightarrow{p}}_2\\ [2ex]& =({\overrightarrow{p}}_0-2{\overrightarrow{p}}_1+{\overrightarrow{p}}_2)t^2+(-2{\overrightarrow{p}}_0+2{\overrightarrow{p}}_1)t+{\overrightarrow{p}}_0,t\in [0,1].\end{array}$$

هذا المنحنى هو قوس من قطع مكافئ (انظر § كصورة تآلفية للقطع المكافئ الوحدوي).

 التكامل الرقمي

قاعدة سيمپسون: يُستبدل مخطط الدالة بقوس من قطع مكافئ.

في إحدى طرق التكامل العددي، يُستبدل مخطط الدالة بأقواس من القطوع المكافئة، ثم يُجرى التكامل على هذه الأقواس. يُحدد القطع المكافئ بثلاث نقاط. صيغة حساب طول قوس واحد هي: $$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{b-a}{6}\cdot (f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)).$$

تُسمى هذ الطريقة قاعدة سيمپسون.

 كمقطع مستوي من سطح رباعي

The following quadrics contain parabolas as plane sections:

• elliptical cone,
• parabolic cylinder,
• elliptical paraboloid,
• hyperbolic paraboloid,
• hyperboloid of one sheet,
• hyperboloid of two sheets.

• 
  Elliptic cone
• 
  Parabolic cylinder
• 
  Elliptic paraboloid
• 
  Hyperbolic paraboloid
• 
  Hyperboloid of one sheet
• 
  Hyperboloid of two sheets

 كمنحنى تثليث الزاوية

تثليث الزاوية مع قطع مكافئ.

A parabola can be used as a trisectrix, that is it allows the exact trisection of an arbitrary angle with straightedge and compass. This is not in contradiction to the impossibility of an angle trisection with compass-and-straightedge constructions alone, as the use of parabolas is not allowed in the classic rules for compass-and-straightedge constructions.

To trisect $\mathrm{\angle }AOB$, place its leg $OB$ on the x axis such that the vertex $O$ is in the coordinate system's origin. The coordinate system also contains the parabola $y=2x^2$. The unit circle with radius 1 around the origin intersects the angle's other leg $OA$, and from this point of intersection draw the perpendicular onto the y axis. The parallel to y axis through the midpoint of that perpendicular and the tangent on the unit circle in $(0,1)$ intersect in $C$. The circle around $C$ with radius $OC$ intersects the parabola at $P_1$. The perpendicular from $P_1$ onto the x axis intersects the unit circle at $P_2$, and $\mathrm{\angle }{P}_{2}OB$ is exactly one third of $\mathrm{\angle }AOB$.

The correctness of this construction can be seen by showing that the x coordinate of $P_1$ is $\cos (\alpha )$. Solving the equation system given by the circle around $C$ and the parabola leads to the cubic equation $4x^3-3x-\cos (3\alpha )=0$. The triple-angle formula $\cos (3\alpha )=4\cos (\alpha {)}^3-3\cos (\alpha )$ then shows that $\cos (\alpha )$ is indeed a solution of that cubic equation.

This trisection goes back to René Descartes, who described it in his book La Géométrie (1637).

 تعميمات

If one replaces the real numbers by an arbitrary field, many geometric properties of the parabola $y=x^2$ are still valid:

1. A line intersects in at most two points.
2. At any point $(x_0,x_0^2)$ the line $y=2x_{0}x-x_0^2$ is the tangent.

Essentially new phenomena arise, if the field has characteristic 2 (that is, $1+1=0$): the tangents are all parallel.

In algebraic geometry, the parabola is generalized by the rational normal curves, which have coordinates (x, x², x³, ..., xⁿ); the standard parabola is the case n = 2, and the case n = 3 is known as the twisted cubic. A further generalization is given by the Veronese variety, when there is more than one input variable.

In the theory of quadratic forms, the parabola is the graph of the quadratic form x² (or other scalings), while the elliptic paraboloid is the graph of the positive-definite quadratic form x² + y² (or scalings), and the hyperbolic paraboloid is the graph of the indefinite quadratic form x² − y². Generalizations to more variables yield further such objects.

The curves y = x^p for other values of p are traditionally referred to as the higher parabolas and were originally treated implicitly, in the form x^p = ky^q for p and q both positive integers, in which form they are seen to be algebraic curves. These correspond to the explicit formula y = x^p/q for a positive fractional power of x. Negative fractional powers correspond to the implicit equation x^p y^q = k and are traditionally referred to as higher hyperbolas. Analytically, x can also be raised to an irrational power (for positive values of x); the analytic properties are analogous to when x is raised to rational powers, but the resulting curve is no longer algebraic and cannot be analyzed by algebraic geometry.

 في العالم المادي

في الطبيعة، توجد تقريبات للقطع المكافئ والقطع المكافئ السطحي في العديد من المواقف المتنوعة. وأشهر مثال على القطع المكافئ في تاريخ الفيزياء هو مسار جسيم أو جسم متحرك تحت تأثير مجال جاذبية منتظم دون مقاومة للهواء (على سبيل المثال، كرة تطير في الهواء، مع إهمال احتكاك الهواء).

أُكتشف المسار المكافئ للمقذوفات تجريبياً في أوائل القرن السابع عشر على يد گاليليو، الذي أجرى تجارب على كرات تتدحرج على مستويات مائلة. كما أثبت ذلك لاحقاً رياضياً في كتابه حوار حول علمين جديدين. بالنسبة للأجسام الممتدة في الفضاء، كغواص يقفز من منصة الغطس، يتبع الجسم نفسه حركة معقدة أثناء دورانه، لكن مركز كتلته يتحرك على طول مسار قطع مكافئ. وكما هو الحال في جميع الحالات في العالم المادي، يكون المسار دائماً تقريباً لمسار قطع مكافئ. فوجود مقاومة الهواء، على سبيل المثال، يشوه الشكل دائماً، مع أن الشكل عند السرعات المنخفضة يكون تقريباً جيداً لمسار القطع المكافئ. أما عند السرعات العالية، كما في المقذوفات، فيتشوه الشكل بشدة ولا يشبه مسار القطع المكافئ.

من الحالات الافتراضية الأخرى التي قد تنشأ فيها القطوع المكافئة، وفقاً لنظريات الفيزياء التي وضعها إسحاق نيوتن في القرنين السابع عشر والثامن عشر، مدارات الجسمين، مثل مسار كويكب صغير أو أي جرم آخر تحت تأثير جاذبية الشمس. لا تحدث المدارات المكافئة في الطبيعة؛ فالمدارات البسيطة تشبه في الغالب القطوع الزائدة أو القطوع الناقصة.

مدار القطع مكافئ هو حالة وسيطة منحلة بين نوعي المدار المثالي. يتحرك الجسم الذي يسير في مدار مكافئ بسرعة إفلات دقيقة من سرعة الجسم الذي يدور حوله؛ أما الأجسام في مدارات إهليلجية أو زائدية فتتحرك بسرعة أقل أو أكبر من سرعة الإفلات، على التوالي. وتتحرك المذنبات طويلة المدى بسرعة قريبة من سرعة إفلات الشمس أثناء مرورها عبر المجموعة الشمسية الداخلية، لذا فإن مساراتها تكاد تكون مكافئة.

تُوجد تقريبات للقطع المكافئ أيضًا في شكل الكابلات الرئيسية على جسر معلق بسيط. يكون منحنى سلاسل الجسر المعلق دائمًا منحنىً وسيطًا بين القطع المكافئ ومنحنى السلسلة، لكن عملياً يكون المنحنى أقرب عموماً إلى القطع المكافئ نظراً لأن وزن الحمولة (أي الطريق) أكبر بكثير من وزن الكابلات نفسها، وفي الحسابات تُستخدم صيغة كثير الحدود من الدرجة الثانية للقطع المكافئ. تحت تأثير حمل منتظم (مثل سطح معلق أفقي)، يتشوه الكابل ذو الشكل السلسلي ليأخذ شكل قطع مكافئ (انظر منحنى السلسلة#منحنى الجسر المعلق § Notes). على عكس السلسلة غير المرنة، يأخذ الزنبرك المعلق بحرية والذي يبلغ طوله صفراً في حالة عدم الإجهاد شكل قطع مكافئ. في الوضع المثالي، تكون كابلات الجسور المعلقة تحت تأثير شد فقط، دون الحاجة إلى تحمل قوى أخرى، مثل الانحناء. وبالمثل، فإن هياكل الأقواس القطعية المكافئة تكون تحت تأثير ضغط فقط.

تظهر القطوع المكافئة في العديد من الحالات الفيزيائية أيضاً. وأشهر مثال على ذلك هو عاكس القطع المكافئ، وهو عبارة عن مرآة أو جهاز عاكس مشابه يُركّز الضوء أو أشكالاً أخرى من الإشعاع الكهرومغناطيسي في [[[بؤرة (بصريات)|نقطة بؤرية]] مشتركة، أو على العكس، يُجمّع الضوء من مصدر نقطي عند البؤرة في حزمة متوازية. يُعتقد أن مبدأ العاكس المكافئ قد اكتُشف في القرن الثالث قبل الميلاد على يد عالم الهندسة أرخميدس، الذي، وفقاً لأسطورة مشكوك في صحتها، صُممت مرايا قطع مطافئ للدفاع عن مدينة سيراقوسة ضد الأسطول الروماني، وذلك بتركيز أشعة الشمس لإشعال النار في أسطح السفن الرومانية. طُبق هذا المبدأ على التلسكوبات في القرن السابع عشر. واليوم، يمكن رؤية عواكس القطع المكافئ بشكل شائع في معظم أنحاء العالم في هوائيات استقبال وإرسال الميكروويڤ وأطباق السواتل.

في ميكروفونات القطع المكافئ، يُستخدم عاكس القطع المكافئ لتركيز الصوت على الميكروفون، مما يمنحه أداءً عالي التوجيه.

تُلاحظ أشكال القطع المكافئ أيضاً على سطح سائل محصور في وعاء يدور حول محوره المركزي. في هذه الحالة، تتسبب قوة الطرد المركزي في صعود السائل على جدران الوعاء، مُشكلاً سطح قطع مكافئ. هذا هو المبدأ الذي يقوم عليه تلكسوب المرايا السائلة.

المركبات الجوية المستخدمة لخلق حالة انعدام الوزن للأغراض التجريبية، مثل "Vomit Comet" التابعة لناسا، تتبع مسار قطع مكافئ رأسي لفترات قصيرة من أجل تتبع مسار جسم في حالة سقوط حر، مما ينتج عنه نفس تأثير انعدام الجاذبية لمعظم الأغراض.

 انظر أيضاً

• قطوع مكافئة متحدة البؤر
• قطع مخروطي منحل
• قبة#قبة القطع المكافئ
• معادلة تفاضلية جزئية مكافئة
• معادلة تربيعية
• دالة تربيعية
• Universal parabolic constant

 معرض الصور

• 
  A bouncing ball captured with a stroboscopic flash at 25 images per second. The ball becomes significantly non-spherical after each bounce, especially after the first. That, along with spin and air resistance, causes the curve swept out to deviate slightly from the expected perfect parabola.
• 
  Parabolic trajectories of water in a fountain.
• 
  The path (in red) of Comet Kohoutek as it passed through the inner Solar system, showing its nearly parabolic shape. The blue orbit is the Earth's.
• 
  The supporting cables of suspension bridges follow a curve that is intermediate between a parabola and a catenary.
• 
  The Rainbow Bridge across the Niagara River, connecting Canada (left) to the United States (right). The parabolic arch is in compression and carries the weight of the road.
• 
  Parabolic arches used in architecture
• Parabolic shape formed by a liquid surface under rotation. Two liquids of different densities completely fill a narrow space between two sheets of transparent plastic. The gap between the sheets is closed at the bottom, sides and top. The whole assembly is rotating around a vertical axis passing through the centre. (See Rotating furnace)
  Parabolic shape formed by a liquid surface under rotation. Two liquids of different densities completely fill a narrow space between two sheets of transparent plastic. The gap between the sheets is closed at the bottom, sides and top. The whole assembly is rotating around a vertical axis passing through the centre. (See Rotating furnace)
• 
  Solar cooker with parabolic reflector
• 
  Parabolic antenna
• 
  Parabolic microphone with optically transparent plastic reflector used at an American college football game.
• 
  Array of parabolic troughs to collect solar energy
• 
  Edison's searchlight, mounted on a cart. The light had a parabolic reflector.
• 
  Physicist Stephen Hawking in an aircraft flying a parabolic trajectory to simulate zero gravity

 قراءات إضافية

• Lockwood, E. H. (1961). A Book of Curves. Cambridge University Press.

 وصلات خارجية

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Parabola", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• Eric W. Weisstein, Parabola at MathWorld.
• Interactive parabola-drag focus, see axis of symmetry, directrix, standard and vertex forms
• Archimedes Triangle and Squaring of Parabola at cut-the-knot
• Two Tangents to Parabola at cut-the-knot
• Parabola As Envelope of Straight Lines at cut-the-knot
• Parabolic Mirror at cut-the-knot
• Three Parabola Tangents at cut-the-knot
• Focal Properties of Parabola at cut-the-knot
• Parabola As Envelope II at cut-the-knot
• The similarity of parabola at Dynamic Geometry Sketches, interactive dynamic geometry sketch.
• Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen, 1659