مبرهنة أبولونيوس

الأخضر + الأزرق = الأحمر.

Pythagoras as a special case:
green area = red area

في الهندسة الرياضية، مبرهنة أپولونيوس هي مبرهنة تعطي العلاقة بين عدة عناصر في المثلث. تم وضع هذه المبرهنة من قبل أپولونيوس من پرگا. تقول هذه المبرهنة بأنه في مثلث ABC، إذا كانت D أي نقطة على BC بحيث أنها تقسم BC بالنسبة n:m، عندها تتحقق المعادلة:

mAB^{2}+nAC^{2}=mBD^{2}+nDC^{2}+(m+n)AD^{2}.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

البرهان

برهان مبرهنة أبولونيوس

The theorem can be proved as a special case of Stewart's theorem, or can be proved using vectors (see parallelogram law). The following is an independent proof using the law of cosines.^[1]

Let the triangle have sides $a, b, c$ with a median $d$ drawn to side $a$ . Let $m$ be the length of the segments of $a$ formed by the median, so $m$ is half of $a$ . Let the angles formed between $a$ and $d$ be θ and θ′, where θ includes $b$ and θ′ includes $c$ . Then θ′ is the supplement of θ and cos θ′ = −cos θ. The law of cosines for θ and θ′ states that