كرة

Disambig RTL.svg هذه المقالة عن الكرة كشكل هندسي. لرؤية صفحة توضيحية بمقالات ذات عناوين مشابهة، انظر كرة (توضيح).


إسقاط منظور ثنائي الأبعاد للكرة

الكرة Sphere هي أداة هندسية في فراغ ثلاثي الأبعاد أي سطح كرة (بمعنى ، مماثل للأجسام الدائرية في بعدين ، حيث دائرة تحصر "قرص").

مثل دائرة في مساحة ثنائية الأبعاد ، يتم تعريف المجال رياضياً على أنه مجموعة من النقاط التي تكون كلها على نفس المسافة r من نقطة معينة نقطة ، ولكن في مساحة ثلاثية الأبعاد.[1] هذه المسافة r هي نصف القطر للكرة ، والتي تتكون من جميع النقاط بمسافة أقل من (أو ، بالنسبة للكرة المغلقة ، أقل من أو يساوي إلى) r من نقطة معينة ، وهي مركز للكرة الرياضياتية. ويشار إليها أيضًا باسم نصف قطر الكرة ومركزها ، على التوالي. أطول جزء من الخط المستقيم عبر الكرة ، يربط بين نقطتين من الكرة ، يمر عبر المركز وبالتالي يكون طوله ضعف نصف القطر ؛ إنه قطر لكل من المجسم الكروي والكرة.

بينما خارج الرياضيات ، يتم استخدام المصطلحين "المجسم الكروي" و "الكرة" في بعض الأحيان بالتبادل ، في الرياضيات يتم التمييز أعلاه بين "المجسم الكروي" ، وهو ثنائي الأبعاد سطح مغلق المضمّن في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد و "الكرة" ، وهو شكل ثلاثي الأبعاد يتضمن الكرة وكل شيء "داخل" الكرة ("كرة مغلقة") ، أو ، في كثير من الأحيان ، مجرد نقاط "داخل" ، ولكن "ليس على" الكرة ("كرة مفتوحة"). لم يتم دائمًا الحفاظ على التمييز بين "الكرة" و "المجسم الكروي" وخاصة المراجع الرياضية القديمة التي تتحدث عن المجال على أنه صلب. هذا مشابه للحالة في المستوى ، حيث يمكن أيضًا الخلط بين مصطلحي "دائرة" و "قرص".

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

معادلات في الفراغ ثلاثي الأبعاد

اثنان من نصف قطر متعامدان من الكرة

في الهندسة التحليلية ، كرة ذات مركز (x0, y0, z0) ونصف القطر r هو موضع لجميع النقاط (x, y, z) مثل ذلك

لنجعل a, b, c, d, e أرقام حقيقية مع a ≠ 0 ولكن

فتكون المعادلة

لا يوجد نقاط حقيقية كحل إذا ويسمى معادلة مجسم كروي تخيلي. If , الحل الوحيد ل هو النقطة المعادلة تسمى لتكون معادلة نقطة مجسم كروي. أخيراً, في حالة , هي معادلة المجسم الكروي الذي مركزه والذي نصف قطره .[1]

إذا a في المعادلة أعلاه هي صفر ثم f(x, y, z) = 0 هي معادلة المستوى. وهكذا ، يمكن اعتبار المستوى ككرة نصف قطر لانهائي يكون مركزها نقطة عند اللانهاية.[2]

النقاط على الكرة مع نصف القطر و المركز يمكن أن تكون پارامتراً عبر

[3]

الپارامتر يمكن أن تترافق مع الزاوية المحسوبة موجبة من اتجاه المحور الموجب "z" - من خلال المركز إلى متجه نصف القطر ، و الپارامتر يمكن أن تترافق مع الزاوية المحسوبة موجبة من اتجاه المحور "x" الموجب - من خلال المركز إلى إسقاط متجه نصف القطر على المستوى xy"" -.

كرة أي نصف قطر تتمركز عند الصفر هي سطح متكامل من الشكل التفاضلي التالي:

تعكس هذه المعادلة متجهات الموضع والسرعة للنقطة, (x, y, z) and (dx, dy, dz), الانتقال على الكرة دائمًا متعامد مع بعضهم البعض.

يمكن أيضًا إنشاء كرة كسطح يتكون عن طريق تدوير دائرة حول أي من الأقطار. بما أن الدائرة هي نوع خاص من القطع الناقص ، فإن الكرة هي نوع خاص من دوران القطع الناقص. باستبدال الدائرة بقطع ناقص يدور حول محوره الرئيسي ، يصبح الشكل متطاولاً كروياً ؛ كروي مفلطح يدور حول المحور الثانوي.[4]


حجم مغلق

الكرة والأسطوانة المحدودة

في ثلاثة أبعاد ، الحجم داخل جسم كروي (أي حجم كرة ، لكن يُشار إليه بشكل كلاسيكي بحجم الجسم الكروي)

حيث r هو نصف القطر و d هو قطر المجال. استخلص أرخميدس هذه الصيغة أولاً من خلال إظهار أن الحجم داخل الكرة هو ضعف الحجم بين الجسم الكروي و أسطوانة محيطة من تلك الكرة (التي لها ارتفاع و قطر يساوي قطر الجسم الكروي).[5] يمكن إثبات ذلك عن طريق طبع مخروط رأسًا على عقب إلى نصف الكرة ، مع ملاحظة أن مساحة المقطع العرضي للمخروط بالإضافة إلى مساحة المقطع العرضي للكرة هي نفس مساحة المقطع العرضي للأسطوانة المحدودة. وتطبيق مبدأ كاڤاليري.[6] يمكن أيضًا اشتقاق هذه الصيغة باستخدام حساب متكامل ، أي تكامل القرص لتجميع أحجام عدد لانهائي من أقراص دائرية للأضلاع الصغيرة ذات التجمع غير المحدود. إلى جانب ومركزها على طول x-المحور من x = −r إلى x = r, على افتراض أن مجال نصف القطر r يتمركز في الأصل.

في أي x ، فإن الحجم المتزايد (δV) يساوي ناتج المقطع العرضي مساحة القرص عند x وسمكها (δx):

الحجم الكلي هو مجموع جميع الأحجام الإضافية:

في الحد حيث تقترب δx من الصفر,[7] تصبح هذه المعادلة:

في أي x ، يربط مثلث قائم الزاوية x و y و r بالأصل ؛ وبالتالي ، فإن تطبيق نظرية فيثاغورس يعطي:

باستخدام هذا الاستبدال يعطي

والتي يمكن تقييمها لإعطاء النتيجة

تم العثور على صيغة بديلة باستخدام إحداثيات كروية ، مع عنصر الحجم

لذلك

لمعظم الأغراض العملية ، يمكن تقريب الحجم داخل الكرة المدرج في المكعب بنسبة 52.4 ٪ من حجم المكعب ، حيث V = π/6 d3, حيث d قطر الكرة وكذلك طول جانب المكعب وπ/6 ≈ 0.5236. على سبيل المثال ، الكرة التي يبلغ قطرها 1 m بها 52.4٪ من حجم المكعب بطول الحافة 1 m أو حوالي 0.524 m3.

مساحة السطح

مساحة السطح من دائرة نصف قطرها r:

اشتق أرخميدس هذه الصيغة أولاً[8] من حقيقة أن الإسقاط على السطح الجانبي لاسطوانة المحاطة يحافظ على المساحة.[9] يأتي نهج آخر للحصول على الصيغة من حقيقة أنها تساوي مشتق الصيغة للحجم بالنسبة إلى r لأن الحجم الإجمالي داخل دائرة نصف قطرها r يمكن اعتبارها عبارة عن تجميع مساحة سطح عدد لا نهائي من الأصداف الكروية بسماكة متناهية الصغر مكدسة بشكل مكثف داخل بعضها البعض من نصف القطر 0 إلى نصف القطر r. في السماكة المتناهية الصغر ، يكون التناقض بين مساحة السطح الداخلية والخارجية لأي غلاف معين متناهي الصغر ، وحجم العنصر عند نصف القطر r هو ببساطة ناتج مساحة السطح عند نصف القطر r و سمك متناهية الصغر.

في أي نصف قطر معين r,[note 1] الحجم المتزايد (δV) يساوي ناتج مساحة السطح عند نصف القطرr (A(r)) وسمك المحيط (δr):

الحجم الكلي هو مجموع جميع أحجام المحيط:

في الحد حيث تقترب δr من الصفر[7] تصبح هذه المعادلة:

باستبدال V:

التفريق بين طرفي المعادلة فيما يتعلق بـ r ينتج A كنابع ل r:

يُختصر هذا بشكل عام على النحو التالي:

حيث يعتبر r الآن نصف القطر الثابت للكرة.

بدلاً من ذلك ، يتم إعطاء عنصر المساحة على الكرة في إحداثيات كروية بواسطة dA = r2 sin θ dθ dφ. في إحداثيات ديكارتية عنصر المساحة هو[بحاجة لمصدر]

وبالتالي يمكن الحصول على المساحة الإجمالية عن طريق تكامل:

يحتوي المجال على أصغر مساحة سطح من جميع الأسطح التي تحتوي على حجم معين ، ويحيط أكبر حجم بين جميع الأسطح المغلقة بمساحة سطح معينة.[10]لذلك يظهر المجال في الطبيعة: على سبيل المثال ، الفقاعات وقطرات الماء الصغيرة كروية تقريبًا لأن التوتر السطحي يقلل من مساحة السطح موضعياً.

تسمى المساحة السطحية المتعلقة بكتلة الكرة مساحة السطح المحددة ويمكن التعبير عنها من المعادلات المذكورة أعلاه على أنها: حيث تكون ρ هي الكثافة (نسبة الكتلة إلى الحجم).


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

منحنيات على دائرة

Plane section of a sphere: 1 circle
Coaxial intersection of a sphere and a cylinder: 2 circles

الدوائر

  • تقاطع المجسم الكروي والمستوى عبارة عن دائرة أو نقطة أو فارغة.

في حالة وجود دائرة ، يمكن وصف الدائرة بواسطة معادلة پارامترية : انظر قسم المستوى في القطع ناقص.

لكن الأسطح الأكثر تعقيدًا قد تتقاطع مع كرة في دوائر أيضًا:

  • يتقاطع المجال مع سطح الدوران غير الفارغ ، والذي يحتوي محوره على مركز الكرة ("متحد المحور") يتكون من دوائر و / أو نقاط.

يوضح الرسم البياني الحالة ، حيث يتكون تقاطع الأسطوانة والكرة من دائرتين. هل سيكون نصف قطر الأسطوانة مساويًا لنصف قطر الكرة ، سيكون التقاطع دائرة واحدة ، حيث يكون كلا السطحين متماثلين.

في حالة وجود كرة كروية لها نفس المركز والمحور الرئيسي مثل الكرة ، فإن التقاطع يتكون من نقطتين (القمم) ، حيث تكون الأسطح متماسة.

منحنيات كليليا

دوامة كروية

إذا تم وصف المجال من خلال تمثيل پارامتري

يحصل المرء على منحنيات كليليا ، إذا كانت الزوايا متصلة بالمعادلة

منحنيات ڤيڤاني () و دوامة كروية () كحالات خاصة

Loxodrome

Loxodrome

في الملاحة ، يكون خط البوصلة أو loxodrome عبارة عن قوس يعبر كل خط تنصيف من خطوط الطول في نفس الزاوية. إن الخط المعين ليس دوامة كروية. لا يوجد اتصال بسيط بين الزوايا و .

تداخل كرة مع سطح أكثر عمومية

تداخل أسطواني كروي عام

إذا تداخلت كرة مع سطح آخر ، فقد يكون هناك منحنيات كروية أكثر تعقيدًا.

مثال: الكرة - الاسطوانة

تداخل الكرة مع المعادلة واسطوانة بمعادلة ليست مجرد دائرة أو دائرتين. إنه حل نظام المعادلات غير الخطي

(انظر المنحنى الكامن والمخطط)


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

الخصائص الهندسية

يتم تحديد الجسم الكروي بشكل فريد من خلال أربع نقاط ليست في نفس المستوي. بشكل أعم ، يتم تحديد الجسم الكروي بشكل فريد من خلال أربعة شروط مثل المرور عبر نقطة ، أو التماس في مستوي، وما إلى ذلك.[11] تشبه هذه الخاصية التي تحدد ثلاث نقاط غير متداخلة دائرة فريدة في مستوى.

وبالتالي ، يتم تحديد المجال بشكل فريد من خلال (أي يمر عبر) دائرة ونقطة ليست في مستوى تلك الدائرة.

من خلال بحث الحلول الشائعة لمعادلات الكرتين ، يمكن ملاحظة أن الجسمين الكرويين يتقاطعان في دائرة ويسمى المستوى الذي يحتوي على هذه الدائرة بالمستوي الجذري من الأجسام الكروية المتقاطعة.[12] على الرغم من أن المستوى الجذري هو مستوى حقيقي ، إلا أن الدائرة قد تكون تخيلية (لا توجد نقاط مشتركة بين الكرات الحقيقية) أو تتكون من نقطة واحدة (الكرات متماسسة عند تلك النقطة).[13]

الزاوية بين دائرتين عند نقطة تقاطع حقيقية هي الزاوية الثنائية التي تحددها المستويات المماسّة للكرات عند تلك النقطة. يتقاطع مجالان في نفس الزاوية في جميع نقاط دائرة التقاطع بينهما.[14]تتقاطع عند زوايا قائمة ( متعامدة) إذا وفقط إذا كان مربع المسافة بين مراكزها يساوي مجموع مربعات نصف قطرها.[2]

حزمة من الكرات

إذا f(x, y, z) = 0 و g(x, y, z) = 0 هي معادلات كرتين مستقلتين إذاً

هي أيضًا معادلة الكرة للقيم العشوائية للپارامترات s و t. مجموعة جميع الكرات التي تلبي هذه المعادلة تسمى "حزمة من الكرات" يحددها الكرتان الأصليتان. في هذا التعريف ، يُسمح للكرة بأن تكون مستويًا (نصف القطر اللامتناهي ، المركز في اللانهاية) وإذا كانت كلتا الكراتين الأصلية هي مستويات ، فإن جميع حزم الكرات هي مستويات ، وإلا سيكون هناك مستوى واحد فقط (المستوى الجذري) في الحزمة.[2]

إذا كانت حزمة الكرات لا تتكون من جميع المستويات ، فهناك ثلاثة أنواع من الحزم:[13]

  • إذا تقاطعت الكرات في دائرة حقيقية C ، فإن الحزمة تتكون من جميع الكرات التي تحتوي على قالب:Mvar C ، بما في ذلك المستوى الجذري. تقع مراكز جميع الكرات العادية في الحزمة على خط يمر عبر مركز C ويتعامد مع المستوى الجذري.
  • إذا كانت الكرات تتقاطع في دائرة تخيلية ، فإن جميع حزم الكرات تمر أيضًا من خلال هذه الدائرة التخيلية ولكنها مفصولة ككرات عادية (ليس لها نقاط حقيقية مشتركة). خط المراكز متعامد مع المستوى الجذري، وهو مستوى حقيقي في حزمة يحتوي على الدائرة التخيلية.
  • إذا كانت الكرات تتقاطع في نقطة A ، فإن جميع الكرات في الحزمة تكون متماسة عند A والمستوى الجذري هو المستوى المماس الشائع لجميع هذه الكرات. خط المراكز متعامد مع المستوى الجذري عند A.

جميع الخطوط المماسية من نقطة ثابتة في المستوى الجذري إلى كرات الحزمة لها نفس الطول.[13]

المستوى الجذري هو موضع مراكز جميع الكرات المتعامدة مع جميع الكرات في الحزمة. علاوة على ذلك ، فإن الكرة المتعامدة مع أي كرتين من حزمة الكرات هي متعامدة بالنسبة لهم جميعًا ومركزها يقع في المستوى الجذري للحزمة.[13]

المصطلحات

القطاعات المستوية

وهي عبارة عن "دائرة كبيرة" على الكرة لها نفس المركز ونصف قطر الكرة - وبالتالي تقسيمها إلى قسمين متساويين. تسمى القطاعات المستوية من الكرة "قطاعات كروية -" وهي إما دوائر كبيرة للمستويات من خلال مركز الكرة أو "الدوائر الصغيرة" لباقي الأقسام.[15]

يقسم أي مستو يحتوي على مركز الكرة إلى نصفين كرويين متساويين. أي مستويين متقاطعين يحتويان على مركز الكرة يقسم الكرة إلى أربعة هلالات أو مثلثات ، تتطابق رؤوسها مع نقطة المقابلة تتموضع على خط تقاطع المستويات .

فروع الهندسة

المسافة غير الإقليدية

تسمى أي زوج من النقاط على كرة تقع على خط مستقيم من خلال مركز الكرة (أي القطر) نقاط متقابلة - على الكرة ، تبلغ المسافة بينهما نصف طول المحيط بالضبط. [note 2] أي زوج آخر (أي ليس مقابلاً للقطعة) من نقاط مميزة في المجال

  • تقع على دائرة كبيرة فريدة من نوعها ،
  • يقسمها إلى قوس ثانوي واحد (أي أقصر) و رئيسي (أي أطول) ، و
  • يجعل من طول القوس الصغير هو "أقصر مسافة" بينهما على الكرة. [note 3]

تشترك الهندسة الكروية[note 4] في العديد من الخصائص المماثلة لـ الهندسة الإقليدية و سابقاً مع "مسافة الدائرة العظمى".

الهندسة التفاضلية

وأكثر من ذلك بكثير من التعميم التجريدي للهندسة يستخدم أيضًا نفس مفهوم المسافة في الدائرة الريمانية.

تخمين نصف الكرة ليكون الحشو المتساوي القياس الأمثل (أقل منطقة) من الدائرة الريمانية.

الهندسة الإسقاطية

الخاصية المقابلة للكرة هو السطح المسمى المستوى الإسقاطي الحقيقي ، والذي يمكن اعتباره أيضًا نصف الكرة الشمالي مع تحديد النقاط المقابلة للاستواء.

الجغرافي

المصطلحات المستعارة مباشرة من جغرافيا الأرض ، على الرغم من أن شكلها كروي وله انحرافات أكبر أو أقل من المجال المثالي (انظر geoid) ، المفهومة جيدًا على نطاق واسع. في الهندسة غير المتعلقة بالأجسام الفلكية ، يجب استخدام مصطلحات مركزية الأرض فقط للتوضيح و"الملاحظة" على هذا النحو ، ما لم يكن هناك فرصة لسوء الفهم.

الأقطاب، خط الطول وخطوط العرض

إذا تم تحديد نقطة معينة على الكرة (بشكل عشوائي) على أنها "القطب الشمالي" ، فإن النقطة المقابلة للقطب تسمى "القطب الجنوبي". الدائرة الكبيرة المتساوية لكل منها هي "خط الاستواء". تسمى الدوائر العظيمة عبر القطبين خطوط خط الطول (أو خطوط اتنصيف). الخط "ليس على الكرة" ولكن من خلال مركزه الذي يربط القطبين "قد" يطلق عليه محور الدوران. الدوائر على الكرة الموازية (أي ليست دوائر كبيرة) إلى خط الاستواء هي خطوط خط العرض.

التعميم للأبعاد الأخرى - طوبولوجيا

  • الكرة-0 هي زوج من النقاط تحدد قطعة مستقيمة طولها 2r
  • الكرة-1، هي دائرة نصف قطرها r
  • الكرة-2 هي الكرة الإعتيادية في الفضاء الثلاثي الأبعاد
  • الكرة-3 هي كرة في الفضاء الرباعي الأبعاد.


التعميمات

البعدية

يمكن تعميم الكرات على أي عدد من الأبعاد. لأي الرقم الطبيعي n ، "n - كرة" ، غالبًا ما تتم كتابتها كـ Sn, هي مجموعة النقاط في (n + 1)-الأبعاد الإقليدية التي تكون على مسافة ثابتة r من نقطة مركزية في تلك المساحة ، حيث r ، كما كان من قبل ، رقم حقيقي موجب. خاصه:

  • S0: الكرة 0 هي زوج من نقاط النهاية للفاصل [−r, r] من الخط الحقيقي
  • S1: الكرة 1 هي دائرة من نصف القطر r
  • S2: الكرة 2 هو الكرة العادية
  • S3: كرة-3 هي كرة في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد.

الكرات n > 2 تسمى أحيانًا بـ كرات ذات أبعاد أكثر من ثلاثة.

كرة-n نصف قطر الوحدة المتمركز في الأصل Sn وغالبًا ما يشار إليه باسم كرة-n. لاحظ أن الكرة العادية عبارة عن كرة 2 ، لأنه سطح ثنائي الأبعاد (مضمن في مساحة ثلاثية الأبعاد). مساحة سطح الوحدة (كرة-n-1)

حيث Γ(z) هو أويلر دالة گاما.

تعبير آخر لمساحة السطح

والحجم هو مساحة السطح r/n مرات أو

توجد أيضًا صيغ تكرارية عامة لـ حجم كرة-n.

الفراغات القياسية

More generally, in a metric space (E,d), the sphere of center x and radius r > 0 is the set of points y such that d(x,y) = r.

If the center is a distinguished point that is considered to be the origin of E, as in a normed space, it is not mentioned in the definition and notation. The same applies for the radius if it is taken to equal one, as in the case of a unit sphere.

Unlike a ball, even a large sphere may be an empty set. For example, in Zn with Euclidean metric, a sphere of radius r is nonempty only if r2 can be written as sum of n squares of integers.

الطبولوجيا

In topology, an n-sphere is defined as a space homeomorphic to the boundary of an (n + 1)-ball; thus, it is homeomorphic to the Euclidean n-sphere, but perhaps lacking its metric.

The n-sphere is denoted Sn. It is an example of a compact topological manifold without boundary. A sphere need not be smooth; if it is smooth, it need not be diffeomorphic to the Euclidean sphere (an exotic sphere).

The Heine–Borel theorem implies that a Euclidean n-sphere is compact. The sphere is the inverse image of a one-point set under the continuous function قالب:Norm. Therefore, the sphere is closed. Sn is also bounded; therefore it is compact.

Remarkably, it is possible to turn an ordinary sphere inside out in a three-dimensional space with possible self-intersections but without creating any crease, in a process called sphere eversion.

الهندسة الكروية

Great circle on a sphere

The basic elements of Euclidean plane geometry are points and lines. On the sphere, points are defined in the usual sense. The analogue of the "line" is the geodesic, which is a great circle; the defining characteristic of a great circle is that the plane containing all its points also passes through the center of the sphere. Measuring by arc length shows that the shortest path between two points lying on the sphere is the shorter segment of the great circle that includes the points.

Many theorems from classical geometry hold true for spherical geometry as well, but not all do because the sphere fails to satisfy some of classical geometry's postulates, including the parallel postulate. In spherical trigonometry, angles are defined between great circles. Spherical trigonometry differs from ordinary trigonometry in many respects. For example, the sum of the interior angles of a spherical triangle always exceeds 180 degrees. Also, any two similar spherical triangles are congruent.

الخصائص الاحدى عشر للكرة

A normal vector to a sphere, a normal plane and its normal section. The curvature of the curve of intersection is the sectional curvature. For the sphere each normal section through a given point will be a circle of the same radius: the radius of the sphere. This means that every point on the sphere will be an umbilical point.

In their book Geometry and the Imagination[16] David Hilbert and Stephan Cohn-Vossen describe eleven properties of the sphere and discuss whether these properties uniquely determine the sphere. Several properties hold for the plane, which can be thought of as a sphere with infinite radius. These properties are:

  1. The points on the sphere are all the same distance from a fixed point. Also, the ratio of the distance of its points from two fixed points is constant.
    The first part is the usual definition of the sphere and determines it uniquely. The second part can be easily deduced and follows a similar result of Apollonius of Perga for the circle. This second part also holds for the plane.
  2. The contours and plane sections of the sphere are circles.
    This property defines the sphere uniquely.
  3. The sphere has constant width and constant girth.
    The width of a surface is the distance between pairs of parallel tangent planes. Numerous other closed convex surfaces have constant width, for example the Meissner body. The girth of a surface is the circumference of the boundary of its orthogonal projection on to a plane. Each of these properties implies the other.
  4. All points of a sphere are umbilics.
    At any point on a surface a normal direction is at right angles to the surface because the sphere these are the lines radiating out from the center of the sphere. The intersection of a plane that contains the normal with the surface will form a curve that is called a normal section, and the curvature of this curve is the normal curvature. For most points on most surfaces, different sections will have different curvatures; the maximum and minimum values of these are called the principal curvatures. Any closed surface will have at least four points called umbilical points. At an umbilic all the sectional curvatures are equal; in particular the principal curvatures are equal. Umbilical points can be thought of as the points where the surface is closely approximated by a sphere.
    For the sphere the curvatures of all normal sections are equal, so every point is an umbilic. The sphere and plane are the only surfaces with this property.
  5. The sphere does not have a surface of centers.
    For a given normal section exists a circle of curvature that equals the sectional curvature, is tangent to the surface, and the center lines of which lie along on the normal line. For example, the two centers corresponding to the maximum and minimum sectional curvatures are called the focal points, and the set of all such centers forms the focal surface.
    For most surfaces the focal surface forms two sheets that are each a surface and meet at umbilical points. Several cases are special:
    * For channel surfaces one sheet forms a curve and the other sheet is a surface
    * For cones, cylinders, tori and cyclides both sheets form curves.
    * For the sphere the center of every osculating circle is at the center of the sphere and the focal surface forms a single point. This property is unique to the sphere.
  6. All geodesics of the sphere are closed curves.
    Geodesics are curves on a surface that give the shortest distance between two points. They are a generalization of the concept of a straight line in the plane. For the sphere the geodesics are great circles. Many other surfaces share this property.
  7. Of all the solids having a given volume, the sphere is the one with the smallest surface area; of all solids having a given surface area, the sphere is the one having the greatest volume.
    It follows from isoperimetric inequality. These properties define the sphere uniquely and can be seen in soap bubbles: a soap bubble will enclose a fixed volume, and surface tension minimizes its surface area for that volume. A freely floating soap bubble therefore approximates a sphere (though such external forces as gravity will slightly distort the bubble's shape). It can also be seen in planets and stars where gravity minimizes surface area for large celestial bodies.
  8. The sphere has the smallest total mean curvature among all convex solids with a given surface area.
    The mean curvature is the average of the two principal curvatures, which is constant because the two principal curvatures are constant at all points of the sphere.
  9. The sphere has constant mean curvature.
    The sphere is the only imbedded surface that lacks boundary or singularities with constant positive mean curvature. Other such immersed surfaces as minimal surfaces have constant mean curvature.
  10. The sphere has constant positive Gaussian curvature.
    Gaussian curvature is the product of the two principal curvatures. It is an intrinsic property that can be determined by measuring length and angles and is independent of how the surface is embedded in space. Hence, bending a surface will not alter the Gaussian curvature, and other surfaces with constant positive Gaussian curvature can be obtained by cutting a small slit in the sphere and bending it. All these other surfaces would have boundaries, and the sphere is the only surface that lacks a boundary with constant, positive Gaussian curvature. The pseudosphere is an example of a surface with constant negative Gaussian curvature.
  11. The sphere is transformed into itself by a three-parameter family of rigid motions.
    Rotating around any axis a unit sphere at the origin will map the sphere onto itself. Any rotation about a line through the origin can be expressed as a combination of rotations around the three-coordinate axis (see Euler angles). Therefore, a three-parameter family of rotations exists such that each rotation transforms the sphere onto itself; this family is the rotation group SO(3). The plane is the only other surface with a three-parameter family of transformations (translations along the x- and y-axes and rotations around the origin). Circular cylinders are the only surfaces with two-parameter families of rigid motions and the surfaces of revolution and helicoids are the only surfaces with a one-parameter family.

المناطق

انظر أيضاً

معرض الصور

الهوامش والمصادر

الهوامش

  1. ^ r يتم اعتباره متغيرًا في هذا الحساب.
  2. ^ It does not matter which direction is chosen, the distance is the sphere's radius × π.
  3. ^ The distance between two non-distinct points (i.e. a point and itself) on the sphere is zero.
  4. ^ Despite not being flat, a sphere is two-dimensional since it comprises only the surface of a solid ball.

المصادر

  1. ^ أ ب Albert 2016, p. 54.
  2. ^ أ ب ت Woods 1961, p. 266.
  3. ^ Kreyszig (1972, p. 342).
  4. ^ Albert 2016, p. 60.
  5. ^ Steinhaus 1969, p. 223.
  6. ^ "The volume of a sphere - Math Central". mathcentral.uregina.ca. Retrieved 2019-06-10.
  7. ^ أ ب E.J. Borowski; J.M. Borwein. Collins Dictionary of Mathematics. pp. 141, 149. ISBN 978-0-00-434347-1.
  8. ^ Eric W. Weisstein, Sphere at MathWorld.
  9. ^ Steinhaus 1969, p. 221.
  10. ^ Osserman, Robert (1978). "The isoperimetric inequality". Bulletin of the American Mathematical Society. 84: 1187. Retrieved 14 December 2019.
  11. ^ Albert 2016, p. 55.
  12. ^ Albert 2016, p. 57.
  13. ^ أ ب ت ث Woods 1961, p. 267.
  14. ^ Albert 2016, p. 58.
  15. ^ Eric W. Weisstein, Spheric section at MathWorld.
  16. ^ Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometry and the Imagination (2nd ed.). Chelsea. ISBN 978-0-8284-1087-8.
  17. ^ New Scientist | Technology | Roundest objects in the world created.

قراءات إضافية

Wikisource-logo.svg
Wikisource has the text of the 1911 Encyclopædia Britannica article Sphere.
  • Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Solid Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-81026-3 .
  • Dunham, William (1997). The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems and Personalities. Wiley. New York. pp. 28, 226. Bibcode:1994muaa.book.....D. ISBN 978-0-471-17661-9.
  • Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-50728-4, https://archive.org/details/advancedengineer00krey .
  • Steinhaus, H. (1969), Mathematical Snapshots (Third American ed.), Oxford University Press .
  • Woods, Frederick S. (1961) [1922], Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry, Dover .

وصلات خارجية