مبرهنة ذات الحدين

(تم التحويل من صيغة ثنائي نيوتن)
هذا المقال يتضمن أسماءً أعجمية تتطلب حروفاً إضافية (پ چ ژ گ ڤ ڠ).
لمطالعة نسخة مبسطة، بدون حروف إضافية
المعامِلات الثنائية تظهر كمداخيل في مثلث پاسكال حيث كل مُدخل هو حاصل جمع الإثنين فوقه.

مبرهنة ذات الحدين Binomial theorem أو ثنائي نيوتن هي صيغة وضعها نيوتن لإيجاد نشر لثنائي مرفوع بقوة صحيحة ما. و يطلق على هذه الصيغة صيغة ثنائي نيوتن، أو ببساطة صيغة الثنائي

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

الصيغة

فلنعتبر ثنائيا متكونا من عنصرين x و y معرفين على مجموعة حيث xy=yx، و عددا صحيحا طبييعا n،

حيث الأعداد (و التي تكتب أحيانا ) هي الضوارب الثنائية.

هذا المجموع يعتمد على الضوارب الثنائية الموجودة على أحد سطور مثلث باسكال.

تغيير y بـ - y داخل الصيغة، يعطي الصيغة :

مثال :


التبيان

فلتكن x، y عناصر من مجموعة حيث xy=yx و n عددا طبيعيا صحيحا.

فلنبين هذه الصيغة بالـ "الطريقة التراجعية" :

البداية

صحة العنصر التالي

فليكن n عددا صحيحا طبيعيا أكبر أو مساو لـ 1, فلنبين أن العلاقات صحيحة لـ n + 1 إذا كانت صحيحة لـ n:

حسب الافتراض الاول :

بتوزيعية على  :

بالتفكيك إلى جذاء :

باستعمال صيغة مثلث باسكال :

وهو ما ينهي التبيان.


الشرح الهندسي

Visualisation of binomial expansion up to the 4th power

For positive values of a and b, the binomial theorem with n = 2 is the geometrically evident fact that a square of side a + b can be cut into a square of side a, a square of side b, and two rectangles with sides a and b. With n = 3, the theorem states that a cube of side a + b can be cut into a cube of side a, a cube of side b, three a×a×b rectangular boxes, and three a×b×b rectangular boxes.

In calculus, this picture also gives a geometric proof of the derivative [1] if one sets and interpreting b as an infinitesimal change in a, then this picture shows the infinitesimal change in the volume of an n-dimensional hypercube, where the coefficient of the linear term (in ) is the area of the n faces, each of dimension

Substituting this into the definition of the derivative via a difference quotient and taking limits means that the higher order terms, and higher, become negligible, and yields the formula interpreted as

"the infinitesimal rate of change in volume of an n-cube as side length varies is the area of n of its -dimensional faces".

If one integrates this picture, which corresponds to applying the fundamental theorem of calculus, one obtains Cavalieri's quadrature formula, the integral – see proof of Cavalieri's quadrature formula for details.[1]

المعاملات الثنائية

المعاملات التي تظهر في التمديد ثنائي الحدين تسمى المعاملات الثنائية. These are usually written , and pronounced “n choose k”.


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

الصيغ

The coefficient of xnkyk is given by the formula

which is defined in terms of the factorial function n!. Equivalently, this formula can be written

with k factors in both the numerator and denominator of the fraction. Note that, although this formula involves a fraction, the binomial coefficient is actually an integer.

التفسير التوافيقي

The binomial coefficient can be interpreted as the number of ways to choose k elements from an n-element set. This is related to binomials for the following reason: if we write (x + y)n as a product

then, according to the distributive law, there will be one term in the expansion for each choice of either x or y from each of the binomials of the product. For example, there will only be one term xn, corresponding to choosing x from each binomial. However, there will be several terms of the form xn−2y2, one for each way of choosing exactly two binomials to contribute a y. Therefore, after combining like terms, the coefficient of xn−2y2 will be equal to the number of ways to choose exactly 2 elements from an n-element set.

البراهين

البرهان التوافيقي

مثال

The coefficient of xy2 in

equals because there are three x,y strings of length 3 with exactly two y's, namely,

corresponding to the three 2-element subsets of { 1, 2, 3 }, namely,

where each subset specifies the positions of the y in a corresponding string.

الحالة العامة

Expanding (x + y)n yields the sum of the 2 n products of the form e1e2 ... e n where each e i is x or y. Rearranging factors shows that each product equals xnkyk for some k between 0 and n. For a given k, the following are proved equal in succession:

  • the number of copies of xn − kyk in the expansion
  • the number of n-character x,y strings having y in exactly k positions
  • the number of k-element subsets of { 1, 2, ..., n}
  • (this is either by definition, or by a short combinatorial argument if one is defining as ).

This proves the binomial theorem.


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Inductive proof

Induction yields another proof of the binomial theorem. When n = 0, both sides equal 1, since x0 = 1 and . Now suppose that the equality holds for a given n; we will prove it for n + 1. For jk ≥ 0, let [ƒ(xy)] j,k denote the coefficient of xjyk in the polynomial ƒ(xy). By the inductive hypothesis, (x + y)n is a polynomial in x and y such that [(x + y)n] j,k is if j + k = n, and 0 otherwise. The identity

shows that (x + y)n + 1 also is a polynomial in x and y, and

since if j + k = n + 1, then (j − 1) + k = n and j + (k − 1) = n. Now, the right hand side is

by Pascal's identity.[2] On the other hand, if j +k ≠ n + 1, then (j – 1) + k ≠ n and j +(k – 1) ≠ n, so we get 0 + 0 = 0. Thus

which is the inductive hypothesis with n + 1 substituted for n and so completes the inductive step.

التعميمات

مبرهنة ذات الحدين المعممة لنيوتن

Around 1665, Isaac Newton generalized the binomial theorem to allow real exponents other than nonnegative integers. (The same generalization also applies to complex exponents.) In this generalization, the finite sum is replaced by an infinite series. In order to do this, one needs to give meaning to binomial coefficients with an arbitrary upper index, which cannot be done using the usual formula with factorials. However, for an arbitrary number r, one can define

  1. ^ أ ب Barth, Nils R. (2004). "Computing Cavalieri's Quadrature Formula by a Symmetry of the n-Cube". The American Mathematical Monthly. 111 (9): 811–813. doi:10.2307/4145193. ISSN 0002-9890. JSTOR 4145193, author's copy, further remarks and resources
  2. ^ Binomial theorem – inductive proofs Archived February 24, 2015, at the Wayback Machine.
الكلمات الدالة: