نهاية (رياضيات)

النهاية في الرياضيات، هي مفهوم أساسي في التفاضل والتكامل, وهي وببساطة القيمة التي تقترب منها قيمة دالة ما لدى إقتراب المتغير السيني من قيمة معينة (حتى يكاد الفرق بين هذه القيمة القريبة والقيمة الحقيقية يصل الصفر(قد يساويه إذا كانت الدالة ثابتة مثلا)).

فاذا افترضنا أن المتغير المستقل س معرف على المجال المفتوح ]+1,+2[ و اقتربت س من منتصف المجال +1.5 دون ان تصل لها, و رافق ذلك أن الدالة تا(س)= س - 1.5 تقترب نتيجة ذلك من القيمة و لنقل ( 0 ) فهذا يعني أن نهاية التابع تا(س) هي 0 عندما تقترب س من القيمة +1.5.

اذا افترضنا أن الدالة $f$ معرفة على المجال المفتوح الذي يحتوي العدد $c$ وكان $L$ من مجموعة الأعداد الحقيقية:

وكان من أجل أي عدد $\varepsilon \ >0$ يوجد عدد $\delta \ >0$ بحيث يتحقق الشرط:

مهما كانت $x$ ضمن المجال فإن:

$0<|x-c|<\delta \$ فإن هذا يقتضي أن $|f(x)-L|<\varepsilon \$.

لنفترض أن الدالة (f(x هي دالة حقيقية و أن c عدد حقيقي أيضا:

عندئذ نقول:

$\lim _{x\to c}f(x)=L$

مما يعني أن الدالة $f(x)$ تكون قريبة جدا حسبما نريد من $L$ عندما تقترب $x$ من العدد $c$ ونعبر عن ذلك لغة (أن نهاية $f(x)$, عندما تقترب $x$ من $c$, هي $L$).