تقريب سترلنگ

تقريب سترلنگ: النسبة (ln n!) في (n ln n − n) تقترب من الواحد الصحيح بإزدياد n.

تقريب سترلنگ (أو صيغة سترلنگ) هو صيغة رياضية تستخدم لتقريب قيم العاملي الكبيرة. سمي كذلك نسبة إلى عالم الرياضيات جيمس سترلنگ.

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(n!) = n\ln(n) - n +O(\ln(n))}

(in big O notation). The next term in the O(ln(n)) is (1/2)ln(2πn); a more precise variant of the formula is therefore

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n! \sim \sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}

Being an asymptotic formula, Stirling's approximation has the property that

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n} = 1.}

Sometimes, bounds for خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n!} rather than asymptotics are required: one has, for all خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\in\N _ + }

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{2\pi}\ n^{n+1/2}e^{-n} \le n! \le e\ n^{n+1/2}e^{-n} , }

so for all خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \ge 1} the ratio خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{n!}{n^{n+1/2}e^{-n}}} is always between خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{2\pi} = 2.5066...} OEIS: A019727 and خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e = 2.71828...} OEIS: A001113.

 الاشتقاق

The formula, together with precise estimates of its error, can be derived as follows. Instead of approximating n!, one considers its natural logarithm as this is a slowly varying function:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(n!) = \ln(1) + \ln(2) + \cdots + \ln(n).}

The right-hand side of this equation minus

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tfrac{1}{2}(\ln(1)+\ln(n)) = \tfrac{1}{2}\ln(n),}

is the approximation by the trapezoid rule of the integral

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(n!) - \tfrac{1}{2}\ln(n) \approx \int_1^n \ln(x)\,{\rm d}x = n \ln(n) - n + 1,}

and the error in this approximation is given by the Euler–Maclaurin formula:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \ln (n!) - \tfrac{1}{2}\ln(n) & = \tfrac{1}{2}\ln(1) + \ln(2) + \ln(3) + \cdots + \ln(n-1) + \tfrac{1}{2}\ln(n)\\ & = n \ln(n) - n + 1 + \sum_{k=2}^{m} \frac{(-1)^k B_k}{k(k-1)} \left( \frac{1}{n^{k-1}} - 1 \right) + R_{m,n}, \end{align}}

where B_k is a Bernoulli number and R_m,n is the remainder term in the Euler–Maclaurin formula. Take limits to find that

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \ln(n!) - n \ln(n) + n - \tfrac{1}{2}\ln(n) \right) = 1 - \sum_{k=2}^{m} \frac{(-1)^k B_k}{k(k-1)} + \lim_{n \to \infty} R_{m,n}.}

Denote this limit by y. Because the remainder R_m,n in the Euler–Maclaurin formula satisfies

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{m,n} = \lim_{n \to \infty} R_{m,n} + O \left( \frac{1}{n^m} \right),}

where we use Big-O notation, combining the equations above yields the approximation formula in its logarithmic form:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(n!) = n \ln \left( \frac{n}{e} \right) + \tfrac{1}{2}\ln(n) + y + \sum_{k=2}^{m} \frac{(-1)^k B_k}{k(k-1)n^{k-1}} + O \left( \frac{1}{n^m} \right).}

Taking the exponential of both sides, and choosing any positive integer m, we get a formula involving an unknown quantity e^y. For m = 1, the formula is

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n! = e^{y} \sqrt{n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \left( 1 + O \left( \frac{1}{n} \right) \right).}

The quantity e^y can be found by taking the limit on both sides as n tends to infinity and using Wallis' product, which shows that خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^y = \sqrt{2 \pi}} . Therefore, we get Stirling's formula:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n! = \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \left( 1 + O \left( \frac{1}{n} \right) \right).}

The formula may also be obtained by repeated integration by parts, and the leading term can be found through Laplace's method. Stirling's formula, without the factor خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{2 \pi n}} that is often irrelevant in applications, can be quickly obtained by approximating the sum

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(n!) = \sum_{j=1}^n \ln(j)}

with an integral:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{j=1}^n \ln(j) \approx \int_1^n \ln(x) \,{\rm d}x = n\ln(n) - n + 1.}

 سرعة التقارب وتقديرات الخطأ

The relative error in a truncated Stirling series vs. n, for 1 to 5 terms

Stirling's formula is in fact the first approximation to the following series (now called the Stirling series):

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} n! &\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 +{1\over12n}+{1\over288n^2} - {139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4}+ \cdots \right) \\ &= \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1+\frac{1}{(2^1)(6n)^1}+{1\over(2^3)(6n)^2}-{139\over(2^3)(2\cdot3\cdot5)(6n)^3}-{571\over(2^6)(2\cdot3\cdot5)(6n)^4} + \cdots \right). \end{align}}

An explicit formula for the coefficients in this series was given by G. Nemes. The first graph in this section shows the relative error vs. n, for 1 through all 5 terms listed above.

The relative error in a truncated Stirling series vs. the number of terms used

As n → ∞, the error in the truncated series is asymptotically equal to the first omitted term. This is an example of an asymptotic expansion. It is not a convergent series; for any particular value of n there are only so many terms of the series that improve accuracy, after which point accuracy actually gets worse. This is shown in the next graph, which shows the relative error versus the number of terms in the series, for larger numbers of terms. More precisely, let S(n, t) be the Stirling series to t terms evaluated at n. The graphs show

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left | \ln \left (\frac{S(n, t)}{n!} \right) \right |, }

which, when small, is essentially the relative error.

Writing Stirling's series in the form:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \ln(n!) &\sim n\ln(n) - n + \tfrac{1}{2}\ln(2\pi n) +{1\over12n} -{1\over360n^3} +{1\over1260n^5} -{1\over 1680n^7}+ \\ &+{1\over 1188n^9} -{691\over 360360n^{11}}+{1\over 156n^{13}}-{3617\over 122400n^{15}}+{43867\over 244188n^{17}} -\cdots \\ &= n\ln(n)-n+\tfrac{1}{2}\ln(2\pi n)+{1\over(2^2\cdot3^1)n}-{1\over(2^3\cdot3^2\cdot5^1)n^3}+{1\over(2^2\cdot3^2\cdot5^1\cdot7^1)n^5}\\ &- \frac{1}{(2^4 \cdot3^1 \cdot5^1\cdot7^1)n^7} +\frac{1}{(2^2\cdot 3^3\cdot 11^1) n^9}-\frac{691}{(2^3\cdot 3^2\cdot 5^1\cdot 7^1\cdot 11^1\cdot 13^1) n^{11}}\\ &+\frac{1}{(2^2\cdot 3^1\cdot 13^1) n^{13}}-\frac{3617}{(2^3\cdot 3^1\cdot 5^2\cdot 17^1) n^{15}} +\frac{43867}{( 3^2\cdot 7^1\cdot 17^1\cdot 19^1) n^{17}}+\cdots. \end{align} }

it is known that the error in truncating the series is always of the same sign and at most the same magnitude as the first omitted term.

 صيغة سترلنگ بالنسبة لدالة گاما

For all positive integers,

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n! = \Pi(n) = \Gamma(n+1),}

where Γ denotes the gamma function.

However, the Pi function, unlike the factorial, is more broadly defined for all complex numbers other than non-positive integers; nevertheless, Stirling's formula may still be applied. If Re(z) > 0 then

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln (\Gamma (z)) = \left(z-\tfrac{1}{2}\right)\ln(z) -z + \tfrac{1}{2}\ln(2 \pi) + 2 \int_0^\infty \frac{\arctan (\frac{t}{z})}{\exp(2 \pi t)-1}\,{\rm d}t.}

Repeated integration by parts gives

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln (\Gamma (z)) \sim \left(z-\tfrac{1}{2}\right)\ln(z) -z + \tfrac{1}{2}\ln(2 \pi) + \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}}

where B_n is the n-th Bernoulli number (note that the infinite sum is not convergent, so this formula is just an asymptotic expansion). The formula is valid for z large enough in absolute value when |arg(z)| < π−ε, where ε is positive, with an error term of خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O(z^{-2m - 1})} when the first m terms are used. The corresponding approximation may now be written:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Gamma(z) = \sqrt{\frac{2 \pi}{z}}~{\left( \frac{z}{e} \right)}^z \left( 1 + O \left( \frac{1}{z} \right) \right).}

A further application of this asymptotic expansion is for complex argument z with constant Re(z). See for example the Stirling formula applied in Im(z) = t of the Riemann-Siegel theta function on the straight line 1/4 + it.

 A convergent version of Stirling's formula

Thomas Bayes showed, in a letter to John Canton published by the Royal Society in 1763, that Stirling's formula did not give a convergent series.

Obtaining a convergent version of Stirling's formula entails evaluating

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_0^\infty \frac{2\arctan (\tfrac{t}{z})}{\exp(2 \pi t)-1}\,{\rm d}t = \ln(\Gamma (z)) - \left( z-\tfrac{1}{2} \right) \ln(z) +z - \tfrac{1}{2}\ln(2\pi). }

One way to do this is by means of a convergent series of inverted rising exponentials. If

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z^{\bar n} = z(z+1) \cdots (z+n-1);}

then

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_0^\infty \frac{2\arctan (\tfrac{t}{z})}{\exp(2 \pi t)-1} \,{\rm d}t = \sum_{n=1}^\infty \frac{c_n}{(z+1)^{\bar n}}}

where

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_n = \frac{1}{n} \int_0^1 x^{\bar n} \left( x-\tfrac{1}{2} \right) \,{\rm d}x = \frac{1}{2n}\sum_{k = 1}^n \frac{k|s(n,k)|}{(k + 1)(k + 2)}}

where s(n, k) denotes the Stirling numbers of the first kind. From this we obtain a version of Stirling's series

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \ln(\Gamma (z)) & = \left( z-\tfrac{1}{2}\right) \ln(z) -z + \tfrac{1}{2}\ln(2 \pi) + \frac{1}{12(z+1)} + \frac{1}{12(z+1)(z+2)} + \\ & \qquad \qquad + \frac{59}{360(z+1)(z+2)(z+3)} + \frac{29}{60(z+1)(z+2)(z+3)(z+4)} + \cdots \end{align} }

which converges when Re(z) > 0.

 صيغ مناسبة للآلات الحاسبة

التقريب هو:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Gamma(z) \approx \sqrt{\frac{2 \pi}{z} } \left( \frac{z}{e} \sqrt{ z \sinh \frac{1}{z} + \frac{1}{810z^6} } \right)^{z},}

or equivalently,

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2 \ln(\Gamma(z)) \approx \ln(2 \pi) - \ln(z) + z \left(2 \ln(z) + \ln \left( z \sinh \frac{1}{z} + \frac{1}{810z^6} \right) - 2 \right),}

can be obtained by rearranging Stirling's extended formula and observing a coincidence between the resultant power series and the Taylor series expansion of the hyperbolic sine function. This approximation is good to more than 8 decimal digits for z with a real part greater than 8. Robert H. Windschitl suggested it in 2002 for computing the Gamma function with fair accuracy on calculators with limited program or register memory.

Gergő Nemes proposed in 2007 an approximation which gives the same number of exact digits as the Windschitl approximation but is much simpler:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Gamma(z) \approx \sqrt{\frac{2 \pi}{z} } \left( \frac{1}{e} \left( z + \frac{1}{12z- \frac{1}{10z}} \right) \right)^{z},}

or equivalently,

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(\Gamma(z)) \approx \tfrac{1}{2} \left[\ln(2 \pi) - \ln(z) \right] + z \left[\ln \left( z + \frac{1}{12z- \frac{1}{10z}} \right)-1\right]. }

An alternative approximation for ln n! was also given by Srinivasa Ramanujan (Ramanujan 1988)

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(n!) \approx n\ln(n) - n + \tfrac{1}{6}\ln(n(1+4n(1+2n))) + \tfrac{1}{2}\ln(\pi).}

 التاريخ

اخترع هذه الصيغة عالم الرياضيات ابراهام دى مواڤر على الشكل التالي:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n!\sim [{\rm constant}]\cdot n^{n+1/2} e^{-n}.} حيث constant هي ثابتة ما.

أثبت سترلنگ فيما بعد أن هذه الثابتة هي خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{2\pi}} .

 انظر أيضا

• Factorial
• Lanczos approximation
• Spouge's approximation