اشتقاق (رياضيات)

يعبر التفاضل عن المعدل الذي تتغير به قيمة y نتيجة تغير قيمة x توجد بينهما علاقة رياضية أو دالة رياضية .و تعرف المشتقة بأنها ميل المماس لمنحنى {f(x عند أي نقطة بشرط وجود هذه المشتقة أو هي السرعة اللحظية أو معدل التغيير اللحظي للدالة . نستخدم الرمز Δ للدلالة على التغير في الكمية . ويكون معدل التغير هو نهاية نسبة تغير y إلى نسبة تغير x :

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$

عندما Δx تقارب 0 .

يمكن أن نكتب مشتق y بالنسبة ل x : (ترميز لايبنز)

$\frac{dy}{dx}$

التعبير الدقيق عن مفهوم الاشتقاق يكون باستخدام مقادير لا متناهية في الصغر:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$

المنحنى معبر بالأحمر، ومستقيم الظل معبر بالأسود، ونقطة تماس المنحنى مع المستقيم، يسمى بالعدد المشتق

 رمز الإشتقاق

يمكن التعبير عن المشتق بعدة صيغ، أبرزها :

• صيغة جوزيف لويس لاغرانج :

$f^{\prime }\left(x\right)$

• صيغة غوتفريد لايبنتز :

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ ،والتي تكافئ الصيغة $\frac{\mathrm{d}(f(x))}{\mathrm{d}x}$

• صيغة إسحاق نيوتن :

$\dot{x}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=x^{\prime }(t)$ ،تستعمل خاصة في الفيزياء .

• صيغة ليونهارد أويلر :

$D_{x}f(x)$

 الاشتقاق الثابت

في التحليل الرياضي ، مشتق ثابت أو تابع ثابت هو الصفر . التابع الثابت هو تابع لا يعتمد على أي متغير مستقل مثل :

f(x) = 7

 مشتقات بعض الدوال المعروفة

الدالة $f(x)=$	المشتقة $f^{\prime }(x)=$	شرط الاشتقاق
$a$	$0$	$x\in \mathbb{ℝ}$
$ax$	$a$	$x\in \mathbb{ℝ}$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$	$x\in {\mathbb{ℝ}}^{*}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$x\in {\mathbb{ℝ}}_{+}^{*}$
$a{x}^n$	$an{x}^{n-1}$	$n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}^{*}x\in \mathbb{ℝ}$
$a{x}^n$	$an{x}^{n-1}$	$n\in \mathbb{\mathbb{Z}}\setminus \mathbb{\mathbb{N}}x\in {\mathbb{ℝ}}^{*}$
$a{x}^c$	$ac{x}^{c-1}$	$c\in \mathbb{ℝ}\setminus \mathbb{\mathbb{Z}}x\in {\mathbb{ℝ}}^{*+}$
$\cos (x)$	$-\sin (x)$	$x\in \mathbb{ℝ}$
$\sin (x)$	$\cos (x)$	$x\in \mathbb{ℝ}$
$\tan (x)$	$\frac{1}{{\cos }^2(x)}$ ou $1+{\tan }^2(x)$	$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{\mathbb{Z}}$
$\arccos (x)$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$x\in ]-1;1[$
$\arcsin (x)$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$x\in ]-1;1[$
$\arctan (x)$	$\frac{1}{1+x^2}$	$x\in \mathbb{ℝ}$
$a^x$	$a^x\ln a$	$a\in {\mathbb{ℝ}}_{+}^{*}x\in \mathbb{ℝ}$
$\ln \left|x\right|$	$\frac{1}{x}$	$x\in {\mathbb{ℝ}}^{*}$
$\exp x$	$\exp x$	$x\in \mathbb{ℝ}$

 انظر أيضاً

• أمثلة على الاشتقاق