مدار إهليلجي

تحريك لرسم مسار الدوران باختلاف المراكز
0.0 • 0.2 • 0.4 • 0.6 • 0.8

جرمان بكتلة مماثلة يدوران حول مركز ثقل مشترك بمدارات إهليلجية.

جرمان بكتلة غير متساوية يدوران حول مركز ثقل مشترك بمدارات دائرية.

جرمان بكتلة غير متساوية بشكل كبير يدوران حول مركز ثقل مشترك بمدارات دائرية.

صُور مدار بيضاوي في الربع العلوي الأيمن من هذا الرسم البياني، حيث يُظهر الحفرة الجاذبية للكتلة المركزية الطاقة المحتملة، وتُظهر الطاقة الحركية لسرعة المدار باللون الأحمر. ينخفض ارتفاع الطاقة الحركية مع انخفاض سرعة الجرم المداري وزيادة المسافة وفقاً لقوانين كپلر.

في علم الديناميكا الفلكية أو الميكانيكا السماوية، مدار إهليلجي أو المدار البيضاوي إنگليزية: Elliptic orbit هو مدار كبلري مع انحراف أقل من واحد؛ ويشمل هذا الحالة الخاصة للمدار الدائري، حيث يكون الانحراف مساوياً للصفر. بمعنى أدق، هو مدار كبلري بقيمة للانحراف تزيد عن الصفر وتقل عن واحد (وبالتالي يستبعد المدار الدائري). بمعنى أوسع، هو مدار كبلري بطاقة سالبة. ويشمل هذا المدار المباشر اإهليلجي، حيث يكون الانحراف مساوياً للواحد.

في مسألة الجاذبية ثنائية الأجسام ذات الطاقة السالبة، يتبع كلا الجرمين مدار إهليلجي مشابه بنفس الدور المداري حول مركز الجاذبية المشترك بينهما. أيضاً، تتبع الوضع النسبي لجرم واحد بالنسبة للجسم الآخر مدار إهليلجي.

أمثلة على المدارات الإهليلجية تشمل: مدار هوهمان الانتقالي (Hohmann transfer orbit)، مدار مولنيا (Molniya orbit)، ومدار التندرا (Tundra orbit).

السرعة

بالافتراضات القياسية، وعدم وجود قوى أخرى تعمل إلا الجرمين المتجانسين كروياً m₁ وm₂^[1]يمكن حساب السرعة المدارية (خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v\,} ) للجرم الذي ينتقل على مدار إهليلجي من معادلة فيس-فيفا (vis-viva equation) على النحو التالي:^[2]

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v = \sqrt{\mu\left({2\over{r}} - {1\over{a}}\right)}}

حيث:

معامل الجاذبية القياسي خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu\,} هو حاصل ضرب الثابت الجاذبي G(m₁+m₂) (في مجموع كتلتي الجرمين m1 وm2)، وعادة ما يعبر عنه بـ GM عندما يكون أحد الجرمين أكبر بكثير من الآخر.
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r\,} هي المسافة بين الجرم المداري ومركز الكتلة.
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\,\!} هي طول نصف المحور الرئيسي.

معادلة السرعة للمسار الزائدي الناقص تحتوي إما على + خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {1\over{a}}} أو تكون نفسها بافتراض أن a سالبة في هذه الحالة.

الفترة المدارية

وفق الافتراضات القياسية، يمكن حساب فترة المدار (خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T\,\!} ) لجرم يتحرك على مدار إهليلجي كما يلي:^[3]

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=2\pi\sqrt{a^3\over{\mu}}}

حيث:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} وهي بارامتر الجاذبية القياسية.
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\,\!} هو طول نصف المحور الرئيسي.

نستنتج:

فترة المدار تساوي تلك الخاصة بمسار دائري مع نصف قطر المدار يساوي نصف المحور الرئيسي (خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\,\!} ),
بالنسبة لنصف المحور الرئيسي المحدد، لا تعتمد فترة المدار على الاختلاف المركزي. (انظر: قانون كبلر الثالث).

الطاقة

وفقاً للافتراضات القياسية، تكون الطاقة المدارية النوعية ( $\epsilon$ ) لـ مدار إهليلجي سالبة ويمكن أن تأخذ معادلة حفظ الطاقة المدارية (Vis-viva equation) لهذا المدار الشكل:^[4]

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {v^2\over{2}}-{\mu\over{r}}=-{\mu\over{2a}}=\epsilon<0}

حيث:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v\,} هو السرعة المدارية للجرم المداري،
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r\,} هو مسافة الجرم المداري من الجسم المركزي،
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\,} هو طول نصف المحور الرئيسي،
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu\,} هي بارامتر الجاذبية القياسية.

باختصار:

لمحور شبه رئيسي معين، تكون الطاقة المدارية النوعية مستقلة عن الاختلاف المركزي.

باستخدام نظرية فيريال نجد:

متوسط الطاقة النوعية على مدار الزمن يساوي −2ε
- متوسط قيمة الزمن r⁻¹ هو a⁻¹.
متوسط الوقت للطاقة الحركية المحددة يساوي ε

الطاقة من حيث نصف المحور الرئيسي

من المفيد معرفة الطاقة من حيث نصف المحور الرئيسي (والكتل المعنية). تعطى الطاقة الكلية للمدار بواسطة

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E = - G \frac{M m}{2a}} ,

حيث a هو نصف المحور الرئيسي.

الاستنتاج

نظراً لأن الجاذبية قوة مركزية، فإن الزخم الزاوي ثابت:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{\mathbf{L}} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = \mathbf{r} \times F(r)\mathbf{\hat{r}} = 0}

في أقرب وآخر نهج، يكون الزخم الزاوي عمودياً على المسافة من الكتلة المدارية، لذلك:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L = r p = r m v} .

الطاقة الكلية للمدار تعطى بواسطة^[5]

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E = \frac{1}{2}m v^2 - G \frac{Mm}{r}} .

يمكننا استبدال v والحصول على

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E = \frac{1}{2}\frac{L^2}{mr^2} - G \frac{Mm}{r}} .

صحيح بالنسبة لـ r هو أقرب/أبعد مسافة، لذلك نحصل على معادلتين متزامنتين نحلهما بالنسبة إلى E:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E = - G \frac{Mm}{r_1 + r_2}}

اعتباراً خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle r_1 = a + a \epsilon} وخطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_2 = a - a \epsilon} ، عندما يكون إبسيلون هو الانحراف اللامركزي للمدار، فقد حصلنا أخيراً على النتيجة المعلنة.

زاوية مسار الطواف

زاوية مسار الطواف هي الزاوية بين متجه سرعة الجرم المداري (= المتجه المماس لمسار المدار الفوري) والمستوى الأفقي المحلي. في ظل الافتراض القياسي لحفظ الزخم الزاوي خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi} ، فإن زاوية مسار الطيران:^[6]

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h\, = r\, v\, \cos \phi}

حيث:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h\,} هو الزخم الزاوي النسبي النوعي للمدار،
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v\,} هو السرعة المدارية للجرم المداري،
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r\,} هو المسافة الشعاعية للجسم المداري من الجسم المركزي،
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi \,} هو زاوية مسار الطواف.

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi} هي الزاوية بين متجه السرعة المدارية والمحور شبه الرئيسي. خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} هو الانحراف المحلي الحقيقي. خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi = \nu + \frac{\pi}{2} - \psi} ، لذلك،

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos \phi = \sin(\psi - \nu) = \sin\psi\cos\nu - \cos\psi\sin\nu = \frac{1 + e\cos\nu}{\sqrt{1 + e^2 + 2e\cos\nu}}}

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan \phi = \frac{e\sin\nu}{1 + e\cos\nu}}

حيث خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e} هو الانحراف المركزي.

يرتبط الزخم الزاوي بحاصل الضرب المتجهي لموقع الجسم وسرعته، والذي يتناسب مع جيب الزاوية بين هذين المتجهين. هنا يتم تعريف خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi} على أنه الزاوية التي تختلف عن ذلك بزاوية 90 درجة، لذلك يظهر جيب التمام في مكان الجيب.

معادلة الحركة

مقال رئيسي: معادلة المدار

من الموضع والسرعة الأولية

تحدد معادلة المدار مسار جرم مدار خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_2\,\!} حول الجرم المركزي خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_1\,\!} بالنسبة لـخطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_1\,\!} ، بدون تحديد الموقع كدالة للزمن. إذا كان الانحراف أقل من 1، فإن معادلة الحركة تصف مدار إهليلجي. نظراً لأن معادلة كبلر خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M = E - e \sin E } ليس لها حل مغلق الشكل للانحراف الامركزي (E) من حيث متوسط الانحراف (M)، فإن معادلات الحركة كدالة متوسط الزمن لها أيضاً الحلول العددية المتوفرة لكليهما.

ومع ذلك، يمكن تحديد معادلات مدار زمنية مستقلة في صيغة مغلقة من مدار إهليلجي بالنسبة إلى جسم مركزي من مجرد موضع أولي (خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{r}} ) والسرعة (خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{v}} ).

في هذه الحالة، من الملائم استخدام الافتراضات التالية التي تختلف بعض الشيء عن الافتراضات القياسية المذكورة أعلاه:

يقع مركز الجرم المركزي عند الأصل وهو التركيز الرئيسي (خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{F1}} ) للقطع الناقص (يمكن أيضاً استخدام مركز الكتلة بدلاً من ذلك إذا كان الجرم المداري له كتلة كبيرة).
كتلة الجرم المركزي (m1) معروفة.
يُعرف موضع الجرم المداري الأولي (خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{r}} ) وسرعته (خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{v}} ).
يقع القطع الناقص في مستوى XY.

يمكن إجراء الافتراض الرابع دون فقدان العمومية لأن أي ثلاث نقاط (أو ناقلات) يجب أن تقع داخل مستوى مشترك. في ظل هذه الافتراضات، يجب أن يقع التركيز الثاني (يسمى أحياناً التركيز "الفارغ") ضمن المستوى XY: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{F2} = \left(f_x,f_y\right)} .

استخدام المتجهات

المعادلة العامة للقطع الناقص بحكم هذه الافتراضات باستخدام المتجهات هي:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\mathbf{F2} - \mathbf{p}| + |\mathbf{p}| = 2a \qquad\mid z=0}

حيث:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\,\!} هو طول نصف المحور الرئيسي.
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{F2} = \left(f_x,f_y\right)} هو التركيز الثاني ("الفارغ").
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{p} = \left(x,y\right)} هي أي قيمة (x,y) تحقق المعادلة.

يمكن حساب طول نصف المحور الرئيسي (a) على النحو التالي:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a = \frac{\mu |\mathbf{r}|}{2\mu - |\mathbf{r}| \mathbf{v}^2}}

where خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu\ = Gm_1} وهو بارامتر الجاذبية القياسية.

يمكن إيجاد التركيز الفارغ (خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{F2} = \left(f_x,f_y\right)} ) أولاً بتحديد متجه الانحراف:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{e} = \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|} - \frac{\mathbf{v}\times \mathbf{h}}{\mu}}

حيث أن خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{h}} هو الزخم الزاوي المحدد للجرم المداري:^[7]

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{h} = \mathbf{r} \times \mathbf{v}}

إذاً

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{F2} = -2a\mathbf{e}}

استخدام إحداثيات XY

يمكن القيام بذلك باستخدام الإحداثيات الديكارتية باستخدام الإجراء التالي:

المعادلة العامة للقطع الناقص تحت الافتراضات المذكورة أعلاه هي:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{ \left(f_x - x\right)^2 + \left(f_y - y\right)^2} + \sqrt{ x^2 + y^2 } = 2a \qquad\mid z=0}

يعطى:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_x, r_y \quad} إحداثيات الموضع الأولي

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_x, v_y \quad} إحداثيات السرعة الأولية

و

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu = Gm_1 \quad} ثابت الجاذبية

إذاً:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h = r_x v_y - r_y v_x \quad} الزخم الزاوي النوعي

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r = \sqrt{r_x^2 + r_y^2} \quad} المسافة الأولية من F1 (في الأصل):

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a = \frac{\mu r}{2\mu - r \left(v_x^2 + v_y^2 \right)} \quad} طول نصف المحور الرئيسي

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e_x = \frac{r_x}{r} - \frac{h v_y}{\mu} \quad} إحداثيات متجه الانحراف المداري:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e_y = \frac{r_y}{r} + \frac{h v_x}{\mu} \quad}

أخيراً، إحداثيات التركيز الفارغة

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_x = - 2 a e_x \quad}

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_y = - 2 a e_y \quad}

الآن يمكن تطبيق قيم fx، fy وa الناتجة على معادلة القطع الناقص العامة أعلاه.

البارامترات المدارية

حالة الجرم المداري في أي وقت محدد تُعرَّف بموقع الجرم المداري وسرعته بالنسبة إلى الجرم المركزي، والتي يمكن تمثيلها بالإحداثيات الديكارتية ثلاثية الأبعاد (موضع الجرم المداري ممثلاً بـ x وy وz) ومكونات ديكارتية مماثلة لسرعة الجسم المداري. يُطلق على هذه المجموعة المكونة من ست متغيرات، بالإضافة إلى الزمن، متجهات حالة المدار. نظراً لمجموعة الجرمين، فإنهما يحددان المدار الكامل. الحالات الأكثر عمومية مع هذه الدرجة الستة من الحرية هي المدار الإهليلجي والمدار القطع المكابلي. الحالات الخاصة مع عدد أقل من درجات الحرية هي المدار الدائري والمدار المكافيء.

لأن ستة متغيرات على الأقل مطلوبة تماماً لتمثيل مدار بيضاوي تماماً مع هذه المجموعة من البارامترات، فإن ستة متغيرات مطلوبة لتمثيل مدار بأي مجموعة من البارامترات. مجموعة أخرى من ستة بارامترات شائعة الاستخدام هي عناصر مدارية.

النظام الشمسي

في النظام الشمسي، تدور الكواكب والكويكبات ومعظم المذنبات وبعض قطع المخلفات الفضائية تقريباً في مدارات إهليلجية حول الشمس.

بالمعنى الحرفي، يدور كلا الجرمين حول نفس بؤرة مدار إهليلجي، الذي يكون أقرب إلى الجرم الأكثر كتلة، ولكن عندما يكون أحد الجرمين أكثر كتلة بشكل كبير، مثل الشمس بالنسبة للأرض، فقد يتم احتواء البؤرة داخل الجرم الأكبر كتلة، وبالتالي يقال أن الأصغر يدور حوله.

يوضح المخطط التالي لنقطة الحضيض ونقطة الأوج للكواكب والكواكب القزمية والمذنب هالي تباين انحراف مداراتها الإهليلجية. بالنسبة لمثل هذه المسافات من الشمس، تشير القضبان الأوسع إلى انحراف أكبر. لاحظ شبه الصفر من انحراف الأرض والزهرة مقارنة بالانحراف الهائل لمذنب هالي وإيريس.

يوضح الرسم البياني مسافات الأجسام المختارة للنظام الشمسي من الشمس. تتوافق الحواف اليسرى واليمنى لكل شريط مع الحضيض والأوج للجسم، على التوالي، وبالتالي فإن القضبان الطويلة تشير إلى انحراف مداري كبير. يبلغ قطر الشمس 0.7 مليون كيلومتر، ويبلغ قطر المشتري (أكبر كوكب) 0.07 مليون كيلومتر، وكلاهما صغير جداً بحيث لا يمكن حلهما في هذه الصورة.

مدار إهليلجي شعاعي

يمكن أن يكون المسار الشعاعي عبارة عن مقطع خط مزدوج، وهو بيضاوي (إهليلجي) مشوه مع نصف المحور الصغير = 0 وانحراف = 1. على الرغم من أن الانحراف هو 1، إلا أنه ليس مداراً مكافئاً. تنطبق معظم خواص وصيغ المدارات الإهليلجية. ومع ذلك، لا يمكن إغلاق المدار. إنه مدار مفتوح يتوافق مع الجزء من القطع الناقص المشوه من اللحظة التي تلمس فيها الأجسام بعضها البعض وتتحرك بعيداً عن بعضها البعض حتى تلمس بعضها البعض مرة أخرى. في حالة كتل النقطة، يمكن إجراء مدار كامل واحد، بدءاً من نقطة الانطلاق وينتهي بنقطة تفرد. تكون السرعات في البداية والنهاية لانهائية في اتجاهين متعاكسين وتكون الطاقة الكامنة مساوياً لـ ناقص اللانهاية.

مدار إهليلجي شعاعي هو حل لمسألة جسمين في وقت ما بسرعة صفرية، كما في حالة إسقاط جسم (بغض النظر عن مقاومة الهواء).

التاريخ

كان [[البابليون أول من أدرك أن حركة الشمس على طول مسار الشمس لم تكن موحدة، على الرغم من أنهم لم يكونوا على علم بسبب ذلك؛ من المعروف اليوم أن هذا يرجع إلى أن الأرض تتحرك في مدار إهليلجي حول الشمس، مع تحرك الأرض بشكل أسرع عندما تكون أقرب إلى الشمس عند الحضيض والتحرك ببطء عندما تكون أبعد في الأوج.^[8]

في القرن السابع عشر، اكتشف يوهانس كيبلر أن المدارات التي تتحرك فيها الكواكب حول الشمس هي بيضاويات الشكل مع الشمس في أحد بؤرتيها، ووصف ذلك في قانونه الأول لحركة الكواكب. لاحقاً، أوضح إسحاق نيوتن ذلك باعتباره نتيجة لقانونه العام للجاذبية.

انظر أيضاً

المراجع

^ Bate, Mueller, White (1971). Fundamentals Of Astrodynamics (First ed.). New York: Dover. pp. 11–12. ISBN 0-486-60061-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Lissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019). Fundamental Planetary Sciences: physics, chemistry, and habitability. New York, NY, USA: Cambridge University Press. pp. 29–31. ISBN 9781108411981.
^ Bate, Mueller, White (1971). Fundamentals Of Astrodynamics (First ed.). New York: Dover. p. 33. ISBN 0-486-60061-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Bate, Mueller, White (1971). Fundamentals Of Astrodynamics (First ed.). New York: Dover. pp. 27–28. ISBN 0-486-60061-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Bate, Mueller, White (1971). Fundamentals Of Astrodynamics (First ed.). New York: Dover. p. 15. ISBN 0-486-60061-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Bate, Mueller, White (1971). Fundamentals Of Astrodynamics (First ed.). New York: Dover. p. 18. ISBN 0-486-60061-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Bate, Mueller, White (1971). Fundamentals Of Astrodynamics (First ed.). New York: Dover. p. 17. ISBN 0-486-60061-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ David Leverington (2003), Babylon to Voyager and beyond: a history of planetary astronomy, Cambridge University Press, pp. 6–7, ISBN 0-521-80840-5

المصادر

D'Eliseo, Maurizio M. (2007). "The First-Order Orbital Equation". American Journal of Physics. 75 (4): 352–355. Bibcode:2007AmJPh..75..352D. doi:10.1119/1.2432126.
D'Eliseo, Maurizio M.; Mironov, Sergey V. (2009). "The Gravitational Ellipse". Journal of Mathematical Physics. 50 (2): 022901. arXiv:0802.2435. Bibcode:2009JMP....50a2901M. doi:10.1063/1.3078419.
Curtis, Howard D. (2019). Orbital Mechanics for Engineering Students (4th ed.). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-08-102133-0.

وصلات خارجية

Java applet animating the orbit of a satellite in an elliptic Kepler orbit around the Earth with any value for semi-major axis and eccentricity.
Apogee - Perigee Lunar photographic comparison
Aphelion - Perihelion Solar photographic comparison
http://www.castor2.ca

This article contains content from Wikimedia licensed under CC BY-SA 4.0. Please comply with the license terms.

[1] Bate, Mueller, White (1971). Fundamentals Of Astrodynamics (First ed.). New York: Dover. pp. 11–12. ISBN 0-486-60061-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[lissauer2019-2] Lissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019). Fundamental Planetary Sciences: physics, chemistry, and habitability. New York, NY, USA: Cambridge University Press. pp. 29–31. ISBN 9781108411981.

[3] Bate, Mueller, White (1971). Fundamentals Of Astrodynamics (First ed.). New York: Dover. p. 33. ISBN 0-486-60061-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[4] Bate, Mueller, White (1971). Fundamentals Of Astrodynamics (First ed.). New York: Dover. pp. 27–28. ISBN 0-486-60061-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[5] Bate, Mueller, White (1971). Fundamentals Of Astrodynamics (First ed.). New York: Dover. p. 15. ISBN 0-486-60061-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[6] Bate, Mueller, White (1971). Fundamentals Of Astrodynamics (First ed.). New York: Dover. p. 18. ISBN 0-486-60061-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[7] Bate, Mueller, White (1971). Fundamentals Of Astrodynamics (First ed.). New York: Dover. p. 17. ISBN 0-486-60061-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[8] David Leverington (2003), Babylon to Voyager and beyond: a history of planetary astronomy, Cambridge University Press, pp. 6–7, ISBN 0-521-80840-5

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]