هـ (ثابت رياضي)

(تم التحويل من E (ثابت رياضي))
Functions f(x) = ax are shown for several values of a. e is the unique value of a, such that the derivative of f(x) = ax at the point x = 0 is equal to 1. The blue curve illustrates this case, ex. For comparison, functions 2x (dotted curve) and 4x (dashed curve) are shown; they are not tangent to the line of slope 1 and y-intercept 1 (red).

الثابت الرياضي e هو أساس دالة اللوغاريتم الطبيعي وقيمته إلى الرقم العشري التاسع والعشرين هي:

e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 7135...

يمكن حساب قيمته من خلال السلسة الأتية

  جزء من سلسلة مقالات عن
الثابت الرياضي، e

Euler's formula.svg

لوغاريتم طبيعي

التطبيقات في: الفائدة المركبة • متطابقة اويلر وصيغة اويلر  • نصف العمر والنمو/الانحلال الأسي

تعريف e: إثبات أن e غير كسرية  • تمثيلات e • مبرهنة ليندمان–ڤايرشتراس

شخصيات جون ناپييه  • ليونهارد اويلر

حدسية شانويل

ويسمى أيضاً عدد أيلر إضافة إلى العالم ليونهرت أيلر، ويقال له العدد النيبيري نسبة إلى عالم الرياضيات الإسكتلندي جون نيبير. هو عدد حقيقي غير نسبي يساوي تقريبا = 2.72، ويوجد للعدد النيبيري أهمية كبيرة في الرياضيات والعلوم، وقد فتح الباب لحل المعادلات التفاضلية وخصوصا الخطية والحقيقة أنه بالتالي قد قدم إجابات عن عدد من المسائل الفيزيائية والهندسية لا حدود لها و خصوصاً عند تعميم مجال استخدام الدالة في حقل الأعداد المركبة (الأعداد العقدية) فيكون هكذا حل الكثير من المسائل حلولاً ينتج عنها الدالة الجيبية أو التجيبية على حد سواء.


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

التاريخ

التطبيقات

The effect of earning 20% annual interest on an initial $1,000 investment at various compounding frequencies

الثابت هـ في التفاضل والتكامل

The natural log at e, ln(e), is equal to 1

خصائص بديلة

The area between the x-axis and the graph y = 1/x, between x = 1 and x = e is 1.


الخصائص

التفاضل والتكامل

and therefore its own antiderivative as well:


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

وظائف شبه أسية

The global maximum of occurs at x = e.

The global maximum for the function

occurs at x = e. Similarly, x = 1/e is where the global minimum occurs for the function

defined for positive x. More generally, x = e−1/n is where the global minimum occurs for the function

for any n > 0. The infinite tetration

or

converges if and only if eexe1/e (or approximately between 0.0660 and 1.4447), due to a theorem of ليونهارد اويلر.

نظرية الأعداد

الأرقام المركبة

The exponential function ex may be written as a Taylor series


which holds for all x. The special case with x = π is Euler's identity:

from which it follows that, in the principal branch of the logarithm,

Furthermore, using the laws for exponentiation,

which is de Moivre's formula.

The expression

is sometimes referred to as cis(x).

المعادلات التفضايلية


التمثيلات

given above, as well as the series

given by evaluating the above power series for ex at x = 1.

[1]

which written out looks like


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

مؤشر ستوكاستيك


الأرقام المعلومة

Number of known decimal digits of e
Date Decimal digits Computation performed by
1748 23 ليونهارد اويلر[2]
1853 137 William Shanks
1871 205 William Shanks
1884 346 J. Marcus Boorman
1949 2,010 جون فون نيومان (on the ENIAC)
1961 100,265 Daniel Shanks and John Wrench[3]
1978 116,000 Stephen Gary Wozniak (on the Apple II[4])
1994 April 1 1,000,000 Robert Nemiroff & Jerry Bonnell [5]
1999 November 21 1,250,000,000 Xavier Gourdon [6]
2000 July 16 3,221,225,472 Colin Martin & Xavier Gourdon [7]
2003 September 18 50,100,000,000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon [8]
2007 April 27 100,000,000,000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo [9]
2009 May 6 200,000,000,000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo [9]
2010 July 5 1,000,000,000,000 Shigeru Kondo & Alexander J. Yee [10]

في علم الحاسوب

هوامش

  1. ^ Hofstadter, D. R., "Fluid Concepts and Creative Analogies: Computer Models of the Fundamental Mechanisms of Thought" Basic Books (1995) ISBN 0-7139-9155-0
  2. ^ Introductio in analysin infinitorum p. 90
  3. ^ Daniel Shanks and John W Wrench (1962). "Calculation of Pi to 100,000 Decimals" (PDF). Mathematics of Computation (77): 76–99 (78). We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program Unknown parameter |volime= ignored (help)
  4. ^ Byte Magazine Vol 6, Issue 6 (June 1981) p.392) "The Impossible Dream: Computing e to 116,000 places with a Personal Computer"
  5. ^ Email from Robert Nemiroff and Jerry Bonnell – The Number e to 1 Million Digits. None. Retrieved on 2012-02-24.
  6. ^ Email from Xavier Gourdon to Simon Plouffe – I have made a new e computation (with verification) : 1,250,000,000 digits. None. Retrieved on 2012-02-24.
  7. ^ PiHacks message 177 – E to 3,221,225,472 D. Groups.yahoo.com. Retrieved on 2012-02-24.
  8. ^ PiHacks message 1071 – Two new records : 50 billions for E and 25 billions for pi. Groups.yahoo.com. Retrieved on 2012-02-24.
  9. ^ أ ب English Version of PI WORLD. Ja0hxv.calico.jp. Retrieved on 2012-02-24.
  10. ^ A list of notable large computations of e. Numberworld.org. Retrieved on 2012-02-24.

قراءات إضافية

وصلات خارجية