المعايرة Tetration

A colorful graphic with brightly colored loops that grow in intensity as the eye goes to the right

Domain coloring of the holomorphic tetration خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{z}e} , with hue representing the function argument and brightness representing magnitude

A line graph with curves that bend upward dramatically as the values on the x-axis get larger

{}^{n}x

, for

n = 2, 3, 4, ...

, showing convergence to the infinitely iterated exponential between the two dots

In mathematics, tetration (or hyper-4) is an operation based on iterated, or repeated, exponentiation. There is no standard notation for tetration, though Knuth's up arrow notation خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \uparrow \uparrow} and the left-exponent خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{x}b} are common.

Under the definition as repeated exponentiation, خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {^{n}a}} means خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}} , where $n$ copies of $a$ are iterated via exponentiation, right-to-left, i.e. the application of exponentiation خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n-1} times. $n$ is called the "height" of the function, while $a$ is called the "base," analogous to exponentiation. It would be read as "the $n$ th tetration of $a$ ". For example, 2 tetrated to 4 (or the fourth tetration of 2) is خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {^{4}2}=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536} .

It is the next hyperoperation after exponentiation, but before pentation. The word was coined by Reuben Louis Goodstein from tetra- (four) and iteration.

Tetration is also defined recursively as

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {a \uparrow \uparrow n} := \begin{cases} 1 &\text{if }n=0, \\ a^{a \uparrow\uparrow (n-1)} &\text{if }n>0, \end{cases}}

allowing for the holomorphic extension of tetration to non-natural numbers such as real, complex, and ordinal numbers, which was proved in 2017.

The two inverses of tetration are called super-root and super-logarithm, analogous to the nth root and the logarithmic functions. None of the three functions are elementary.

Tetration is used for the notation of very large numbers.

مقدمة

The first four hyperoperations are shown here, with tetration being considered the fourth in the series. The unary operation succession, defined as خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a' = a + 1} , is considered to be the zeroth operation.

Addition خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a + n = a + \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_n} $n$ copies of 1 added to $a$ combined by succession.
Multiplication خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \times n = \underbrace{a + a + \cdots + a}_n} $n$ copies of $a$ combined by addition.
Exponentiation خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_n} $n$ copies of $a$ combined by multiplication.
Tetration خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {^{n}a} = \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}_n} $n$ copies of $a$ combined by exponentiation, right-to-left.

Importantly, nested exponents are interpreted from the top down: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^{b^c} } means خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^{\left(b^c \right)} } and not خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(a^b \right)^c.}

Succession, خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{n+1} = a_n + 1} , is the most basic operation; while addition (خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a + n} ) is a primary operation, for addition of natural numbers it can be thought of as a chained succession of خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} successors of خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} ; multiplication (خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \times n} ) is also a primary operation, though for natural numbers it can analogously be thought of as a chained addition involving خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} numbers of خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} . Exponentiation can be thought of as a chained multiplication involving خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} numbers of خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} and tetration (خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^{n}a} ) as a chained power involving خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} numbers خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} . Each of the operations above are defined by iterating the previous one;^[1] however, unlike the operations before it, tetration is not an elementary function.

The parameter خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} is referred to as the base, while the parameter خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} may be referred to as the height. In the original definition of tetration, the height parameter must be a natural number; for instance, it would be illogical to say "three raised to itself negative five times" or "four raised to itself one half of a time." However, just as addition, multiplication, and exponentiation can be defined in ways that allow for extensions to real and complex numbers, several attempts have been made to generalize tetration to negative numbers, real numbers, and complex numbers. One such way for doing so is using a recursive definition for tetration; for any positive real خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a > 0} and non-negative integer خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \ge 0} , we can define خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\! {^{n}a}} recursively as:^[1]

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {^{n}a} := \begin{cases} 1 &\text{if }n=0 \\ a^{\left(^{(n-1)}a\right)} &\text{if }n>0 \end{cases}}

The recursive definition is equivalent to repeated exponentiation for natural heights; however, this definition allows for extensions to the other heights such as خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^{0}a} , خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^{-1}a} , and خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^{i}a} as well – many of these extensions are areas of active research.

المصطلحات

There are many terms for tetration, each of which has some logic behind it, but some have not become commonly used for one reason or another. Here is a comparison of each term with its rationale and counter-rationale.

The term tetration, introduced by Goodstein in his 1947 paper Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory^[2] (generalizing the recursive base-representation used in Goodstein's theorem to use higher operations), has gained dominance. It was also popularized in Rudy Rucker's Infinity and the Mind.
The term superexponentiation was published by Bromer in his paper Superexponentiation in 1987.^[3] It was used earlier by Ed Nelson in his book Predicative Arithmetic, Princeton University Press, 1986.
The term hyperpower^[4] is a natural combination of hyper and power, which aptly describes tetration. The problem lies in the meaning of hyper with respect to the hyperoperation sequence. When considering hyperoperations, the term hyper refers to all ranks, and the term super refers to rank 4, or tetration. So under these considerations hyperpower is misleading, since it is only referring to tetration.
The term power tower^[5] is occasionally used, in the form "the power tower of order $n$ " for خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\ \atop {\ }} {{\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}} \atop n}} . Exponentiation is easily misconstrued: note that the operation of raising to a power is right-associative (see below). Tetration is iterated exponentiation (call this right-associative operation ^), starting from the top right side of the expression with an instance a^a (call this value c). Exponentiating the next leftward a (call this the 'next base' b), is to work leftward after obtaining the new value b^c. Working to the left, use the next a to the left, as the base b, and evaluate the new b^c. 'Descend down the tower' in turn, with the new value for c on the next downward step.

Owing in part to some shared terminology and similar notational symbolism, tetration is often confused with closely related functions and expressions. Here are a few related terms:

المصطلحات المتعلقة بالمعايرة
المصطلح	الشكل
المعايرة	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^{a^{\cdot^{\cdot^{a^a}}}}}
Iterated exponentials	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^{a^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}}}
Nested exponentials (also towers)	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1^{a_2^{\cdot^{\cdot^{a_n}}}}}
Infinite exponentials (also towers)	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1^{a_2^{a_3^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}}}

In the first two expressions $a$ is the base, and the number of times $a$ appears is the height (add one for $x$ ). In the third expression, $n$ is the height, but each of the bases is different.

Care must be taken when referring to iterated exponentials, as it is common to call expressions of this form iterated exponentiation, which is ambiguous, as this can either mean iterated powers or iterated exponentials.

الترميز

There are many different notation styles that can be used to express tetration. Some notations can also be used to describe other hyperoperations, while some are limited to tetration and have no immediate extension.

Notation styles for tetration
Name	Form	Description
Knuth's up-arrow notation	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} a {\uparrow\uparrow} n \\ a {\uparrow}^2 n \end{align}}	Allows extension by putting more arrows, or, even more powerfully, an indexed arrow.
Conway chained arrow notation	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \rightarrow n \rightarrow 2}	Allows extension by increasing the number 2 (equivalent with the extensions above), but also, even more powerfully, by extending the chain.
Ackermann function	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{n}2 = \operatorname{A}(4, n - 3) + 3}	Allows the special case خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=2} to be written in terms of the Ackermann function.
Iterated exponential notation	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_a^n(1)}	Allows simple extension to iterated exponentials from initial values other than 1.
Hooshmand notations^[6]	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} &\operatorname{uxp}_a n \\[2pt] &a^{\frac{n}{}} \end{align}}	Used by M. H. Hooshmand [2006].
Hyperoperation notations	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} &a [4] n \\[2pt] &H_4(a, n) \end{align}}	Allows extension by increasing the number 4; this gives the family of hyperoperations.
Double caret notation	`a^^n`	Since the up-arrow is used identically to the caret (`^`), tetration may be written as (`^^`); convenient for ASCII.

One notation above uses iterated exponential notation; this is defined in general as follows:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_a^n(x) = a^{a^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}}} with

n

a

s.

There are not as many notations for iterated exponentials, but here are a few:

Notation styles for iterated exponentials
Name	Form	Description
Standard notation	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_a^n(x)}	Euler coined the notation خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_a(x) = a^x} , and iteration notation خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f^n(x)} has been around about as long.
Knuth's up-arrow notation	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a{\uparrow}^2(x))}	Allows for super-powers and super-exponential function by increasing the number of arrows; used in the article on large numbers.
Text notation	`exp_a^n(x)`	Based on standard notation; convenient for ASCII.
J notation	`x^^:(n-1)x`	Repeats the exponentiation. See J (programming language).^[7]
Infinity barrier notation	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\uparrow\uparrow n\|x}	Jonathan Bowers coined this,^[8] and it can be extended to higher hyper-operations.

أمثلة

Because of the extremely fast growth of tetration, most values in the following table are too large to write in scientific notation. In these cases, iterated exponential notation is used to express them in base 10. The values containing a decimal point are approximate. Usually, the limit that can be calculated in a numerical calculation program such as Wolfram Alpha is 3↑↑4, and the number of digits up to 3↑↑5 can be expressed.

Examples of tetration
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x}	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{2}x}	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{3}x}	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{4}x}	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{5}x}	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{6}x}	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{7}x}
1	1	1	1	1	1	1
2	4 (2²)	16 (2⁴)	65,536 (2¹⁶)	2.00353 × 10^19,728	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^3(4.29508)} (10^{6.03123×10^19,727})	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^4(4.29508)}
3	27 (3³)	7,625,597,484,987 (3²⁷)	1.25801 × 10^{3,638,334,640,024} ^[9]	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^4(1.09902)} (10^{6.00225×10^{3,638,334,640,023}})	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^5(1.09902)}	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^6(1.09902)}
4	256 (4⁴)	1.34078 × 10¹⁵⁴ (4²⁵⁶)	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^3(2.18726)} (2.3610×10^{8.0723×10¹⁵³})	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^4(2.18726)}	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^5(2.18726)}	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^6(2.18726)}
5	3,125 (5⁵)	1.91101 × 10^2,184 (5^3,125)	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^3(3.33928)} (10^{1.33574×10^2,184})	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^4(3.33928)}	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^5(3.33928)}	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^6(3.33928)}
6	46,656 (6⁶)	2.65912 × 10^36,305 (6^46,656)	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^3(4.55997)} (10^{2.0692×10^36,305})	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^4(4.55997)}	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^5(4.55997)}	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^6(4.55997)}
7	823,543 (7⁷)	3.75982 × 10^695,974 (7^823,543)	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^3(5.84259)} (3.17742 × 10^695,974 digits)	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^4(5.84259)}	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^5(5.84259)}	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^6(5.84259)}
8	16,777,216 (8⁸)	6.01452 × 10^15,151,335	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^3(7.18045)} (5.43165 × 10^15,151,335 digits)	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^4(7.18045)}	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^5(7.18045)}	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^6(7.18045)}
9	387,420,489 (9⁹)	4.28125 × 10^369,693,099	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^3(8.56784)} (4.08535 × 10^369,693,099 digits)	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^4(8.56784)}	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^5(8.56784)}	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^6(8.56784)}
10	10,000,000,000 (10¹⁰)	10^{10,000,000,000}	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^4(1)} (10^{10,000,000,000} + 1 digits)	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^5(1)}	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^6(1)}	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_{10}^7(1)}

Remark: If $x$ does not differ from 10 by orders of magnitude, then for all خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k \ge3,~ ^mx =\exp_{10}^k z,~z>1 ~\Rightarrow~^{m+1}x = \exp_{10}^{k+1} z' \text{ with }z' \approx z} . For example, خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z - z' < 1.5\cdot 10^{-15} \text{ for } x = 3 = k,~ m = 4} in the above table, and the difference is even smaller for the following rows.

Extensions

Tetration can be extended in two different ways; in the equation خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^na\!} , both the base $a$ and the height $n$ can be generalized using the definition and properties of tetration. Although the base and the height can be extended beyond the non-negative integers to different domains, including خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {^n 0}} , complex functions such as خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{n}i} , and heights of infinite $n$ , the more limited properties of tetration reduce the ability to extend tetration.

Extension of domain for bases

Base zero

The exponential خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0^0} is not consistently defined. Thus, the tetrations خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,{^{n}0}} are not clearly defined by the formula given earlier. However, خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow0} {}^{n}x} is well defined, and exists:^[10]

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow0} {}^{n}x = \begin{cases} 1, & n \text{ even} \\ 0, & n \text{ odd} \end{cases}}

Thus we could consistently define خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{n}0 = \lim_{x\rightarrow 0} {}^{n}x} . This is analogous to defining خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0^0 = 1} .

Under this extension, خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{0}0 = 1} , so the rule خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {^{0}a} = 1} from the original definition still holds.

Complex bases

Tetration by period

Tetration by escape

Since complex numbers can be raised to powers, tetration can be applied to bases of the form $z = a + bi$ (where $a$ and $b$ are real). For example, in $n z$ with $z = i$ , tetration is achieved by using the principal branch of the natural logarithm; using Euler's formula we get the relation:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i^{a+bi} = e^{\frac{1}{2}{\pi i} (a + bi)} = e^{-\frac{1}{2}{\pi b}} \left(\cos{\frac{\pi a}{2}} + i \sin{\frac{\pi a}{2}}\right)}

This suggests a recursive definition for $n +1 i = a' + b'i$ given any $n i = a + bi$ :

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} a' &= e^{-\frac{1}{2}{\pi b}} \cos{\frac{\pi a}{2}} \\[2pt] b' &= e^{-\frac{1}{2}{\pi b}} \sin{\frac{\pi a}{2}} \end{align}}

The following approximate values can be derived:

Values of tetration of complex bases
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle {}^{n}i}	Approximate value
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle {}^{1}i = i}	$i$
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle {}^{2}i = i^{\left({}^{1}i\right)}}	$0.2079$
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle {}^{3}i = i^{\left({}^{2}i\right)}}	$0.9472 + 0.3208 i$
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle {}^{4}i = i^{\left({}^{3}i\right)}}	$0.0501 + 0.6021 i$
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle {}^{5}i = i^{\left({}^{4}i\right)}}	$0.3872 + 0.0305 i$
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle {}^{6}i = i^{\left({}^{5}i\right)}}	$0.7823 + 0.5446 i$
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle {}^{7}i = i^{\left({}^{6}i\right)}}	$0.1426 + 0.4005 i$
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle {}^{8}i = i^{\left({}^{7}i\right)}}	$0.5198 + 0.1184 i$
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle {}^{9}i = i^{\left({}^{8}i\right)}}	$0.5686 + 0.6051 i$

Solving the inverse relation, as in the previous section, yields the expected $0 i = 1$ and $-1 i = 0$ , with negative values of $n$ giving infinite results on the imaginary axis.^{[بحاجة لمصدر]} Plotted in the complex plane, the entire sequence spirals to the limit $0.4383 + 0.3606 i$ , which could be interpreted as the value where $n$ is infinite.

Such tetration sequences have been studied since the time of Euler, but are poorly understood due to their chaotic behavior. Most published research historically has focused on the convergence of the infinitely iterated exponential function. Current research has greatly benefited by the advent of powerful computers with fractal and symbolic mathematics software. Much of what is known about tetration comes from general knowledge of complex dynamics and specific research of the exponential map.^{[بحاجة لمصدر]}

Extensions of the domain for different heights

Infinite heights

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textstyle \lim_{n\rightarrow \infty} {}^nx} of the infinitely iterated exponential converges for the bases خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textstyle \left(e^{-1}\right)^e \le x \le e^{\left(e^{-1}\right)}}

A three dimensional Cartesian graph with a point in the center

The function خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left| \frac{\mathrm{W}(-\ln{z})}{-\ln{z}} \right|} on the complex plane, showing the real-valued infinitely iterated exponential function (black curve)

Tetration can be extended to infinite heights; i.e., for certain $a$ and $n$ values in خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{n}a} , there exists a well defined result for an infinite $n$ . This is because for bases within a certain interval, tetration converges to a finite value as the height tends to infinity. For example, خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}} converges to 2, and can therefore be said to be equal to 2. The trend towards 2 can be seen by evaluating a small finite tower:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.414}}}}} &\approx \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.63}}}} \\ &\approx \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.76}}} \\ &\approx \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.84}} \\ &\approx \sqrt{2}^{1.89} \\ &\approx 1.93 \end{align}}

In general, the infinitely iterated exponential خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}\!\!} , defined as the limit of خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{n}x} as $n$ goes to infinity, converges for $e - e \leq x \leq e 1/ e$ , roughly the interval from 0.066^[11] to 1.44,^[12] a result shown by Leonhard Euler.^[13] The limit, should it exist, is a positive real solution of the equation $y = x y$ . Thus, $x = y 1/ y$ . The limit defining the infinite exponential of $x$ does not exist when $x > e 1/ e$ because the maximum of $y 1/ y$ is $e 1/ e$ . The limit also fails to exist when $0 < x < e - e$ .

This may be extended to complex numbers $z$ with the definition:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{\infty}z = z^{z^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}} = e^{-\mathrm{W}(-\ln{z})} = \frac{\mathrm{W}(-\ln{z})}{-\ln{z}} ~,}

where $W$ represents Lambert's W function. This formula follows from the assumption that خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z^{z^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}} = a} converges, and thus خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z^a = a} , خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z = a^{1/a}} , خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1/z = (1/a)^{1/a} = {}^2(1/a)} , and خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1/a = \mathrm{ssrt}(1/z) = e^{W(\ln(1/z))}} (see square super-root below).

As the limit $y = \infty x$ (if existent on the positive real line, i.e. for $e - e \leq x \leq e 1/ e$ ) must satisfy $x y = y$ we see that $x \mapsto y = \infty x$ is (the lower branch of) the inverse function of $y \mapsto x = y 1/ y$ .

Negative heights

We can reverse the recursive rule for tetration,

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {^{k+1}a} = a^{\left({^{k}a}\right)},}

to write:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^{k}a = \log_a \left(^{k+1}a\right).}

Substituting −1 for $k$ gives

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{-1}a = \log_{a} \left({}^0 a\right) = \log_a 1 = 0} .^[14]

Smaller negative values cannot be well defined in this way. Substituting −2 for $k$ in the same equation gives

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{-2}a = \log_{a} \left( {}^{-1}a \right) = \log_a 0 = -\infty}

which is not well defined. They can, however, sometimes be considered sets.^[14]

For خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = 1} , any definition of خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\! {^{-1}1}} is consistent with the rule because

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {^{0}1} = 1 = 1^n} for any خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\! n = {^{-1}1}} .

Linear approximation for real heights

A line graph with a figure drawn on it similar to an S-curve with values in the third quadrant going downward rapidly and values in the first quadrant going upward rapidly

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,{}^{x}e} using linear approximation

A linear approximation (solution to the continuity requirement, approximation to the differentiability requirement) is given by:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{x}a \approx \begin{cases} \log_a\left(^{x+1}a\right) & x \le -1 \\ 1 + x & -1 < x \le 0 \\ a^{\left(^{x-1}a\right)} & 0 < x \end{cases}}

hence:

Linear approximation values
Approximation	Domain
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle {}^x a \approx x + 1}	for $-1 < x < 0$
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle {}^x a \approx a^x}	for $0 < x < 1$
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle {}^x a \approx a^{a^{(x-1)}}}	for $1 < x < 2$

and so on. However, it is only piecewise differentiable; at integer values of $x$ , the derivative is multiplied by خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln{a}} . It is continuously differentiable for خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x > -2} if and only if خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a = e} . For example, using these methods خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^\frac{\pi}{2}e \approx 5.868...} and خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{-4.3}0.5 \approx 4.03335...}

A main theorem in Hooshmand's paper^[6] states: Let خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0 < a \neq 1} . If خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:(-2, +\infty)\rightarrow \mathbb{R}} is continuous and satisfies the conditions:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = a^{f(x-1)} \;\; \text{for all} \;\; x > -1, \; f(0) = 1,}
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} is differentiable on قالب:Open-open,
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f^\prime} is a nondecreasing or nonincreasing function on قالب:Open-open,
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f^\prime \left(0^+\right) = (\ln a) f^\prime \left(0^-\right) \text{ or } f^\prime \left(-1^+\right) = f^\prime \left(0^-\right).}

then خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} is uniquely determined through the equation

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = \exp^{[x]}_a \left(a^{(x)}\right) = \exp^{[x+1]}_a((x)) \quad \text{for all} \; \; x > -2,}

where خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x) = x - [x]} denotes the fractional part of $x$ and خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp^{[x]}_a} is the خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [x]} -iterated function of the function خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp_a} .

The proof is that the second through fourth conditions trivially imply that $f$ is a linear function on قالب:Closed-closed.

The linear approximation to natural tetration function خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^xe} is continuously differentiable, but its second derivative does not exist at integer values of its argument. Hooshmand derived another uniqueness theorem for it which states:

If خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f: (-2, +\infty)\rightarrow \mathbb{R}} is a continuous function that satisfies:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = e^{f(x-1)} \;\; \text{for all} \;\; x > -1, \; f(0) = 1,}
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} is convex on قالب:Open-open,
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f^\prime \left(0^-\right) \leq f^\prime \left(0^+\right).}

then خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f = \text{uxp}} . [Here خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f = \text{uxp}} is Hooshmand's name for the linear approximation to the natural tetration function.]

The proof is much the same as before; the recursion equation ensures that خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f^\prime (-1^+) = f^\prime (0^+),} and then the convexity condition implies that خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} is linear on قالب:Open-open.

Therefore, the linear approximation to natural tetration is the only solution of the equation خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = e^{f(x-1)} \;\; (x > -1)} and خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(0) = 1} which is convex on قالب:Open-open. All other sufficiently-differentiable solutions must have an inflection point on the interval قالب:Open-open.

Higher order approximations for real heights

A comparison of the linear and quadratic approximations (in red and blue respectively) of the function خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^{x}0.5} , from

x = -2

to

x = 2

Beyond linear approximations, a quadratic approximation (to the differentiability requirement) is given by:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{x}a \approx \begin{cases} \log_a\left({}^{x+1}a\right) & x \le -1 \\ 1 + \frac{2\ln(a)}{1 \;+\; \ln(a)}x - \frac{1 \;-\; \ln(a)}{1 \;+\; \ln(a)}x^2 & -1 < x \le 0 \\ a^{\left({}^{x-1}a\right)} & x >0 \end{cases}}

which is differentiable for all خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x > 0} , but not twice differentiable. For example, خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^\frac{1}{2}2 \approx 1.45933...} If خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a = e} this is the same as the linear approximation.^[1]

Because of the way it is calculated, this function does not "cancel out", contrary to exponents, where خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(a^\frac{1}{n}\right)^n = a} . Namely,

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^n\left({}^\frac{1}{n} a\right) = \underbrace{ \left({}^\frac{1}{n}a\right)^{ \left({}^\frac{1}{n}a\right)^{ \cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{ \left({}^\frac{1}{n}a\right) }}}} } } }_n \neq a } .

Just as there is a quadratic approximation, cubic approximations and methods for generalizing to approximations of degree $n$ also exist, although they are much more unwieldy.^[1]^[15]

Complex heights

Drawing of the analytic extension خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f = F(x+{\rm i}y)} of tetration to the complex plane. Levels خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f| = 1, e^{\pm 1}, e^{\pm 2}, \ldots} and levels خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \arg(f) = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots} are shown with thick curves.

In 2017, it was proved^[16] that there exists a unique function خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} satisfying خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(z + 1) = \exp\bigl(F(z)\bigr)} (equivalently خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(z+1) = b^{F(z)}} when خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b=e} ), with the auxiliary conditions خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(0) = 1} , and خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(z) \to \xi_{\pm}} (the attracting/repelling fixed points of the logarithm, roughly خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0.318 \pm 1.337\,\mathrm{i}} ) as خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z \to \pm i\infty} . Moreover, خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} is holomorphic on all of خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{C}} except for the cut along the real axis at خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z \le -2} . This construction was first conjectured by Kouznetsov (2009)^[17] and rigorously carried out by Kneser in 1950.^[18] Paulsen & Cowgill’s proof extends Kneser’s original construction to any base خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b>e^{1/e}\approx1.445} , and subsequent work showed how to allow خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b \in \mathbb{C}} with خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |b|>e^{1/e}} .^[19]

In May 2025, Vey gave a unified, holomorphic extension for arbitrary complex bases خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b\in \mathbb{C}\setminus\{0,1\}} and complex heights خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z\in\mathbb{C}} by means of Schröder’s equation. In particular, one constructs a linearizing coordinate near the attracting (or repelling) fixed point of the map خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(w)=b^w} , and then patches together two analytic expansions (one around each fixed point) to produce a single function خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_{b}(z)} that satisfies خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_{b}(z+1)=b^{\,F_{b}(z)}} and خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_{b}(0)=1} on all of خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{C}} . The key step is to define خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \displaystyle \Phi_{b}(w)=\lim_{n\to\infty}\;s^{n}\Bigl(f^{\circ n}(w)-\alpha\Bigr), } where خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} is a fixed point of خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(w)=b^w} , خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s = f'(\alpha)} , and خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f^{\circ n}} denotes خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -fold iteration. One then solves Schröder’s functional equation خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Phi_{b}\bigl(b^{\,w}\bigr)\;=\;s\;\Phi_{b}(w)} locally (for خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w} near خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} ), extends both branches holomorphically, and glues them so that there is no monodromy except the known cut-lines. Vey also provides explicit series for the coefficients خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{n}^{(b)}} in the local Schröder expansion: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Phi_{b}(w) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}^{(b)}\,(w-\alpha)^{n}, } and gives rigorous bounds proving factorial convergence of خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{n}^{(b)}} .^[20]

Using Kneser’s (and Vey’s) tetration, example values include خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{\tfrac{\pi}{2}}e \approx 5.82366\ldots} , خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{\tfrac{1}{2}}2 \approx 1.45878\ldots} , and خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{\tfrac{1}{2}}e \approx 1.64635\ldots} .

The requirement that tetration be holomorphic on all of خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{C}} (except for the known cuts) is essential for uniqueness. If one relaxes holomorphicity, there are infinitely many real‐analytic “solutions” obtained by pre‐ or post‐composing with almost‐periodic perturbations. For example, for any fast‐decaying real sequences خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{\alpha_{n}\}} and خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{\beta_{n}\}} , one can set خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(z) = F_{b}\Bigl(\, z +\sum_{n=1}^{\infty}\sin(2\pi n\,z)\,\alpha_{n} +\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[1 - \cos(2\pi n\,z)\bigr]\,\beta_{n} \Bigr), } which still satisfies خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(z+1)=b^{S(z)}} and خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(0)=1} , but has additional singularities creeping in from the imaginary direction.

<!-- Example of “calling” Vey’s solution in pseudocode (series form) -->
function ComplexTetration(b, z):
    # 1) Find attracting fixed point alpha of w ↦ b^w
    α ← the unique solution of α = b^α near the real line
    # 2) Compute multiplier s = b^α · ln(b)
    s ← b**α * log(b)
    # 3) Solve Schröder’s equation coefficients {a_n} around α:
    #    Φ_b(w) = ∑_{n=0}^∞ a_n · (w − α)^n,   Φ_b(b^w) = s · Φ_b(w)
    {a_n} ← SolveLinearSystemSchroeder(b, α, s)
    # 4) Define inverse φ_b⁻¹ via the local power series around 0
    φ_inv(u) = α + ∑_{n=1}^∞ c_n · u^n   # (coefficients c_n from series inversion)
    # 5) Put F_b(z) = φ_b⁻¹(s^(-z) · Φ_b(1))
    return φ_inv( s^(−z) * ∑_{n=0}^∞ a_n · (1 − α)^n )

Ordinal tetration

Tetration can be defined for ordinal numbers via transfinite induction. For all $α$ and all $β > 0$ : خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^0\alpha = 1} خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^\beta\alpha = \sup(\{\alpha^{{}^\gamma\alpha} : \gamma < \beta\})\,.}

Non-elementary recursiveness

Tetration (restricted to خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{N}^2} ) is not an elementary recursive function. One can prove by induction that for every elementary recursive function $f$ , there is a constant $c$ such that

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) \leq \underbrace{2^{2^{\cdot^{\cdot^{x}}}}}_c.}

We denote the right hand side by خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(c, x)} . Suppose on the contrary that tetration is elementary recursive. خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x, x)+1} is also elementary recursive. By the above inequality, there is a constant $c$ such that خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x,x) +1 \leq g(c, x)} . By letting خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=c} , we have that خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(c,c) + 1 \leq g(c, c)} , a contradiction.

العمليات العكسية

Exponentiation has two inverse operations; roots and logarithms. Analogously, the inverses of tetration are often called the super-root, and the super-logarithm (In fact, all hyperoperations greater than or equal to 3 have analogous inverses); e.g., in the function خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {^3}y=x} , the two inverses are the cube super-root of $y$ and the super-logarithm base $y$ of $x$ .

جذر فائق

The super-root is the inverse operation of tetration with respect to the base: if خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^n y = x} , then $y$ is an $n$ th super-root of $x$ (خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt[n]{x}_s} or خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt[4]{x}_s} ).

فعلى سبيل المثال،

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^4 2 = 2^{2^{2^{2}}} = 65{,}536}

so 2 is the 4th super-root of 65,536 خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\sqrt[4]{65{,}536}_s =2\right)} .

Square super-root

The graph خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = \sqrt{x}_s}

The 2nd-order super-root, square super-root, or super square root has two equivalent notations, خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{ssrt}(x)} and خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{x}_s} . It is the inverse of خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^2 x = x^x} and can be represented with the Lambert W function:^[21]

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{ssrt}(x)=\exp(W(\ln x))=\frac{\ln x}{W(\ln x)}} or

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{x}_s=e^{W(\ln x)}}

The function also illustrates the reflective nature of the root and logarithm functions as the equation below only holds true when خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = \mathrm{ssrt}(x)} :

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt[y]{x} = \log_y x}

Like square roots, the square super-root of $x$ may not have a single solution. Unlike square roots, determining the number of square super-roots of $x$ may be difficult. In general, if خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{-1/e}<x<1} , then $x$ has two positive square super-roots between 0 and 1 calculated using formulas:خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{x}_s=\left\{e^{W_{-1}(\ln x)};e^{W_{0}(\ln x)}\right\}} ; and if خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x > 1} , then $x$ has one positive square super-root greater than 1 calculated using formulas: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{x}_s=e^{W_{0}(\ln x)}} . If $x$ is positive and less than خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{-1/e}} it does not have any real square super-roots, but the formula given above yields countably infinitely many complex ones for any finite $x$ not equal to 1.^[21] The function has been used to determine the size of data clusters.^[22]

At خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = 1 } :

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{ssrt}(x) = 1 + (x-1) -(x-1)^2 + \frac{3}{2} (x-1)^3 - \frac{17}{6} (x-1)^4 + \frac{37}{6}(x-1)^5 - \frac{1759}{120}(x-1)^6 + \frac{13279}{360} (x-1)^7 + \mathcal O {\left((x-1)^8 \right)} }

Other super-roots

The graph خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\sqrt[3]{x}_s}

One of the simpler and faster formulas for a third-degree super-root is the recursive formula. If خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = x^{x^x}} then one can use:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_0 = 1}
خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{n+1} = \exp(W(W(x_n\ln y)))}

This recursive formula makes use of the explicit representation of the square super-root via the Lambert W function given above, as we can represent خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = x^{x^x}} in the form of خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y^x = (x^x)^{(x^x)}} and apply the square super-root twice: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = \mathrm{ssrt}(\mathrm{ssrt}(y^x))} .

For each integer $n > 2$ , the function $n x$ is defined and increasing for $x \geq 1$ , and $n 1 = 1$ , so that the $n$ th super-root of $x$ , خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt[n]{x}_s} , exists for $x \geq 1$ .

However, if the linear approximation above is used, then خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^y x = y + 1} if $-1 < y \leq 0$ , so خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^y \sqrt{y + 1}_s } cannot exist.

In the same way as the square super-root, terminology for other super-roots can be based on the normal roots: "cube super-roots" can be expressed as خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt[3]{x}_s} ; the "4th super-root" can be expressed as خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt[4]{x}_s} ; and the " $n$ th super-root" is خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt[n]{x}_s} . Note that خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt[n]{x}_s} may not be uniquely defined, because there may be more than one $n$ ^th root. For example, $x$ has a single (real) super-root if $n$ is odd, and up to two if $n$ is even.^{[بحاجة لمصدر]}

Just as with the extension of tetration to infinite heights, the super-root can be extended to $n = \infty$ , being well-defined if $1/ e \leq x \leq e$ . Note that خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = {^\infty y} = y^{\left[^\infty y\right]} = y^x,} and thus that خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = x^{1/x} } . Therefore, when it is well defined, خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt[\infty]{x}_s = x^{1/x} } and, unlike normal tetration, is an elementary function. For example, خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt[\infty]{2}_s = 2^{1/2} = \sqrt{2}} .

It follows from the Gelfond–Schneider theorem that super-root خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{n}_s} for any positive integer $n$ is either integer or transcendental, and خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt[3]{n}_s} is either integer or irrational.^[23] It is still an open question whether irrational super-roots are transcendental in the latter case.

لوغاريتم فائق

Once a continuous increasing (in $x$ ) definition of tetration, $x a$ , is selected, the corresponding super-logarithm خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{slog}_ax} or خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log^4_ax} is defined for all real numbers $x$ , and $a > 1$ .

The function $slog a x$ satisfies:

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \operatorname{slog}_a {^x a} &= x \\ \operatorname{slog}_a a^x &= 1 + \operatorname{slog}_a x \\ \operatorname{slog}_a x &= 1 + \operatorname{slog}_a \log_a x \\ \operatorname{slog}_a x &\geq -2 \end{align} }

Open questions

Other than the problems with the extensions of tetration, there are several open questions concerning tetration, particularly when concerning the relations between number systems such as integers and irrational numbers:

It is not known whether there is an integer خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \ge 4} for which $n π$ is an integer, because we could not calculate precisely enough the numbers of digits after the decimal points of خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} .^[24]^{[بحاجة لمصادر إضافية]} It is similar for $n e$ for خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \ge 5} , as we are not aware of any other methods besides some direct computation. In fact, since خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_{10}(e) \cdot {}^{3}e = 1656520.36764} , then خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{4}e > 2\cdot 10^{1656520}} . Given خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{3}\pi < 1.35\cdot 10^{18} \ll 10^{1656520} } and خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi < e^2} , then خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {}^{4}\pi < {}^{n}e} for خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \ge 5} . It is believed that $n e$ is not an integer for any positive integer $n$ , due to the algebraic independence of خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e, {}^{2}e, {}^{3}e, \dots} , given Schanuel's conjecture.^[25]
It is not known whether $n q$ is rational for any positive integer $n$ and positive non-integer rational $q$ .^[23] For example, it is not known whether the positive root of the equation $4 x = 2$ is a rational number.^{[بحاجة لمصدر]}
It is not known whether $e π$ or $π e$ (defined using Kneser's extension) are rationals or not.

Applications

For each graph H on h vertices and each $ε > 0$ , define

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D=2\uparrow\uparrow5h^4\log(1/\varepsilon).}

Then each graph G on n vertices with at most $n h /D$ copies of H can be made H-free by removing at most $εn 2$ edges.^[26]

انظر أيضاً

المراجع

^ ^أ ^ب ^ت ^ث Neyrinck, Mark. An Investigation of Arithmetic Operations. Retrieved 9 January 2019.
^ R. L. Goodstein (1947). "Transfinite ordinals in recursive number theory". Journal of Symbolic Logic. 12 (4): 123–129. doi:10.2307/2266486. JSTOR 2266486. S2CID 1318943.
^ N. Bromer (1987). "Superexponentiation". Mathematics Magazine. 60 (3): 169–174. doi:10.1080/0025570X.1987.11977296. JSTOR 2689566.
^ J. F. MacDonnell (1989). "Somecritical points of the hyperpower function خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^{x^{\dots}}} ". International Journal of Mathematical Education. 20 (2): 297–305. doi:10.1080/0020739890200210. MR 0994348.
^ Eric W. Weisstein, Power Tower at MathWorld.
^ ^أ ^ب Hooshmand, M. H. (2006). "Ultra power and ultra exponential functions". Integral Transforms and Special Functions. 17 (8): 549–558. doi:10.1080/10652460500422247. S2CID 120431576.
^ "Power Verb". J Vocabulary. J Software. Retrieved 28 October 2011.
^ "Spaces". Retrieved 17 February 2022.
^ DiModica, Thomas. Tetration Values. Retrieved 15 October 2023.
^ "Climbing the ladder of hyper operators: tetration". math.blogoverflow.com. Stack Exchange Mathematics Blog. Retrieved 2019-07-25.
^ قالب:Cite oeis
^ قالب:Cite oeis
^ Euler, L. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus." Acta Acad. Scient. Petropol. 2, 29–51, 1783. Reprinted in Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 350–369, 1921. (facsimile)
^ ^أ ^ب Müller, M. "Reihenalgebra: What comes beyond exponentiation?" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2013-12-02. Retrieved 12 December 2018.
^ Andrew Robbins. Solving for the Analytic Piecewise Extension of Tetration and the Super-logarithm. The extensions are found in part two of the paper, "Beginning of Results".
^ Paulsen, W.; Cowgill, S. (March 2017). "Solving خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(z+1) = b^{F(z)}} in the complex plane" (PDF). Advances in Computational Mathematics. 43: 1–22. doi:10.1007/s10444-017-9524-1. S2CID 9402035.
^ Kouznetsov, D. (July 2009). "Solution of خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(z + 1) = \exp(F(z))} in complex خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} -plane" (PDF). Mathematics of Computation. 78 (267): 1647–1670. doi:10.1090/S0025-5718-09-02188-7.
^ Kneser, H. (1950). "Reelle analytische Lösungen der Gleichung خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi(\varphi(x)) = e^x} und verwandter Funktionalgleichungen". Journal für die reine und angewandte Mathematik (in الألمانية). 187: 56–67.
^ Paulsen, W. (June 2018). "Tetration for complex bases". Advances in Computational Mathematics. 45: 243–267. doi:10.1007/s10444-018-9615-7.
^ Vey, Vincent (May 2025). "Holomorphic Extension of Tetration to Complex Bases and Heights via Schröder's Equation".
^ ^أ ^ب Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E. (1996). "On the Lambert W function" (PostScript). Advances in Computational Mathematics. 5: 333. arXiv:1809.07369. doi:10.1007/BF02124750. S2CID 29028411.
^ Krishnam, R. (2004), "Efficient Self-Organization Of Large Wireless Sensor Networks" – Dissertation, BOSTON UNIVERSITY, COLLEGE OF ENGINEERING. pp. 37–40
^ ^أ ^ب Marshall, Ash J., and Tan, Yiren, "A rational number of the form $a a$ with $a$ irrational", Mathematical Gazette 96, March 2012, pp. 106–109.
^ Bischoff, Manon (24 January 2024). "A Wild Claim about the Powers of Pi Creates a Transcendental Mystery". Scientific American (in الإنجليزية). Archived from the original on 24 April 2024. Retrieved 23 April 2024.
^ Cheng, Chuangxun; Dietel, Brian; Herblot, Mathilde; Huang, Jingjing; Krieger, Holly; Marques, Diego; Mason, Jonathan; Mereb, Martin; Wilson, S. Robert (2009). "Some consequences of Schanuel's conjecture". Journal of Number Theory. 129 (6): 1464–1467. arXiv:0804.3550. doi:10.1016/j.jnt.2008.10.018.
^ Jacob Fox, A new proof of the graph removal lemma, arXiv preprint (2010). arXiv:1006.1300 [math.CO]

وصلات خارجية

Daniel Geisler, Tetration
Ioannis Galidakis, On extending hyper4 to nonintegers (undated, 2006 or earlier) (A simpler, easier to read review of the next reference)
Ioannis Galidakis, On Extending hyper4 and Knuth's Up-arrow Notation to the Reals (undated, 2006 or earlier).
Robert Munafo, Extension of the hyper4 function to reals (An informal discussion about extending tetration to the real numbers.)
Lode Vandevenne, Tetration of the Square Root of Two. (2004). (Attempt to extend tetration to real numbers.)
Ioannis Galidakis, Mathematics, (Definitive list of references to tetration research. Much information on the Lambert W function, Riemann surfaces, and analytic continuation.)
Joseph MacDonell, Some Critical Points of the Hyperpower Function Archived 2010-01-17 at the Wayback Machine.
Dave L. Renfro, Web pages for infinitely iterated exponentials
Knobel, R. (1981). "Exponentials Reiterated". American Mathematical Monthly. 88 (4): 235–252. doi:10.1080/00029890.1981.11995239.
Hans Maurer, "Über die Funktion خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=x^{[x^{[x(\cdots)]}]}} für ganzzahliges Argument (Abundanzen)." Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 4, (1901), p. 33–50. (Reference to usage of خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {^{n} a}} from Knobel's paper.)
The Fourth Operation
Luca Moroni, The strange properties of the infinite power tower (https://arxiv.org/abs/1908.05559)

للاستزادة

Galidakis, Ioannis, Power Tower at MathWorld.

?

[uwu-1] أ ^ب ^ت ^ث Neyrinck, Mark. An Investigation of Arithmetic Operations. Retrieved 9 January 2019.

[2] R. L. Goodstein (1947). "Transfinite ordinals in recursive number theory". Journal of Symbolic Logic. 12 (4): 123–129. doi:10.2307/2266486. JSTOR 2266486. S2CID 1318943.

[3] N. Bromer (1987). "Superexponentiation". Mathematics Magazine. 60 (3): 169–174. doi:10.1080/0025570X.1987.11977296. JSTOR 2689566.

[4] J. F. MacDonnell (1989). "Somecritical points of the hyperpower function خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^{x^{\dots}}} ". International Journal of Mathematical Education. 20 (2): 297–305. doi:10.1080/0020739890200210. MR 0994348.

[5] Eric W. Weisstein, Power Tower at MathWorld.

[uxp-6] أ ^ب Hooshmand, M. H. (2006). "Ultra power and ultra exponential functions". Integral Transforms and Special Functions. 17 (8): 549–558. doi:10.1080/10652460500422247. S2CID 120431576.

[7] "Power Verb". J Vocabulary. J Software. Retrieved 28 October 2011.

[8] "Spaces". Retrieved 17 February 2022.

[tdm-9] DiModica, Thomas. Tetration Values. Retrieved 15 October 2023.

[10] "Climbing the ladder of hyper operators: tetration". math.blogoverflow.com. Stack Exchange Mathematics Blog. Retrieved 2019-07-25.

[11] قالب:Cite oeis

[12] قالب:Cite oeis

[13] Euler, L. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus." Acta Acad. Scient. Petropol. 2, 29–51, 1783. Reprinted in Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 350–369, 1921. (facsimile)

[tetration_extensions-14] أ ^ب Müller, M. "Reihenalgebra: What comes beyond exponentiation?" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2013-12-02. Retrieved 12 December 2018.

[SolveAnalyt-15] Andrew Robbins. Solving for the Analytic Piecewise Extension of Tetration and the Super-logarithm. The extensions are found in part two of the paper, "Beginning of Results".

[PAU10-16] Paulsen, W.; Cowgill, S. (March 2017). "Solving خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(z+1) = b^{F(z)}} in the complex plane" (PDF). Advances in Computational Mathematics. 43: 1–22. doi:10.1007/s10444-017-9524-1. S2CID 9402035.

[MOC09-17] Kouznetsov, D. (July 2009). "Solution of خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(z + 1) = \exp(F(z))} in complex خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} -plane" (PDF). Mathematics of Computation. 78 (267): 1647–1670. doi:10.1090/S0025-5718-09-02188-7.

[hellmuth50-18] Kneser, H. (1950). "Reelle analytische Lösungen der Gleichung خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi(\varphi(x)) = e^x} und verwandter Funktionalgleichungen". Journal für die reine und angewandte Mathematik (in الألمانية). 187: 56–67.

[PAU18-19] Paulsen, W. (June 2018). "Tetration for complex bases". Advances in Computational Mathematics. 45: 243–267. doi:10.1007/s10444-018-9615-7.

[VEY25-20] Vey, Vincent (May 2025). "Holomorphic Extension of Tetration to Complex Bases and Heights via Schröder's Equation".

[Corless-21] أ ^ب Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E. (1996). "On the Lambert W function" (PostScript). Advances in Computational Mathematics. 5: 333. arXiv:1809.07369. doi:10.1007/BF02124750. S2CID 29028411.

[22] Krishnam, R. (2004), "Efficient Self-Organization Of Large Wireless Sensor Networks" – Dissertation, BOSTON UNIVERSITY, COLLEGE OF ENGINEERING. pp. 37–40

[condor.depaul.edu-23] أ ^ب Marshall, Ash J., and Tan, Yiren, "A rational number of the form $a a$ with $a$ irrational", Mathematical Gazette 96, March 2012, pp. 106–109.

[24] Bischoff, Manon (24 January 2024). "A Wild Claim about the Powers of Pi Creates a Transcendental Mystery". Scientific American (in الإنجليزية). Archived from the original on 24 April 2024. Retrieved 23 April 2024.

[Cheng-25] Cheng, Chuangxun; Dietel, Brian; Herblot, Mathilde; Huang, Jingjing; Krieger, Holly; Marques, Diego; Mason, Jonathan; Mereb, Martin; Wilson, S. Robert (2009). "Some consequences of Schanuel's conjecture". Journal of Number Theory. 129 (6): 1464–1467. arXiv:0804.3550. doi:10.1016/j.jnt.2008.10.018.

[26] Jacob Fox, A new proof of the graph removal lemma, arXiv preprint (2010). arXiv:1006.1300 [math.CO]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

v t e العمليات الزائدية
الأساسية	Successor جمع ضرب رفع المعايرة Pentation Hexation
عكسية يسرى	Predecessor طرح قسمة Root extraction جذر فائق
عكسية يمنى	Predecessor طرح قسمة لوغاريتم لوغاريتم فائق
مقالات متعلقة	دالة أكرمان Conway chained arrow notation Grzegorczyk hierarchy Knuth's up-arrow notation ترميز شتاين‌هاوز-موزر