جبر خطي

(تم التحويل من الجبر الخطي)
في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ، تمثل هذه المستويات الثلاثة حلول معادلات خطية، ويمثل تقاطعها مجموعة الحلول المشتركة: في هذه الحالة، نقطة فريدة. الخط الأزرق هو الحل المشترك لاثنين من هذه المعادلات.

الجبر الخطي Linear algebra هو فرع من الرياضيات فيما يخص المعادلات الخطية مثل:

المخططات الخطية مثل:

وتمثيلاتها في فضاءات المتجه ومن خلال المصفوفات.[1][2][3]

يعتبر الجبر الخطي أساساً لجميع مجالات الرياضيات تقريباً. على سبيل المثال، يعتبر الجبر الخطي أمراً أساسياً في العروض الحديثة لـ الهندسة، بما في ذلك تعريف الأدوات الأساسية مثل الخطوط، المستويات و الدوران. أيضاً، التحليل الدالّي، وهو فرع من فروع التحليل الرياضي، يمكن اعتباره أساساً تطبيقياً للجبر الخطي على فضاءات الدوال.

يُستخدم الجبر الخطي أيضاً في معظم علوم ومجالات الهندسة، لأنه يتيح نمذجة العديد من الظواهر الطبيعية، والحوسبة بكفاءة باستخدام مثل هذه النماذج. بالنسبة إلى أنظمة النظام غير الخطي، التي لا يمكن نمذجتها باستخدام الجبر الخطي، غالباً ما تُستخدم للتعامل مع التقديرات التقريبية من الدرجة الأولى، باستخدام حقيقة أن التفاضلية الخاصة بـ دالة متعددة المتغيرات عند نقطة ما هي المخطط الخطي التي تقترب بشكل أفضل من الدالة القريبة من تلك النقطة.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

تاريخ

يظهر إجراء حل المعادلات الخطية المتزامنة التي تسمى الآن الاختصار الگاوسي في النص الرياضي الصيني القديم الفصل الثامن: المصفوفات المستطيلة من تسعة فصول في الفن الرياضي. يتم توضيح استخدامه في ثمانية عشر مسألة، مع معادلات من اثنين إلى خمسة.[4]

نشأت أنظمة المعادلات الخطية في أوروبا مع تقديم رينيه ديكارت في عام 1637 لـ الإحداثيات في الهندسة. في الواقع، في هذه الهندسة الجديدة ، التي تسمى الآن الهندسة الديكارتية، يتم تمثيل الخطوط والمستويات بالمعادلات الخطية ، ويصل حساب التقاطعات إلى حل أنظمة المعادلات الخطية.

الطرق المنهجية الأولى لحل الأنظمة الخطية للمحددات المستخدمة، تم اعتبارها لأول مرة بواسطة ليبنيز في 1693. في عام 1750، استخدمها گابرييل كرامر لإعطاء حلول مباشرة للأنظمة الخطية، تسمى الآن قاعدة كرامر. في وقت لاحق، وصف گاوس طريقة الاختصار، والتي تم إدراجها في البداية على أنها تقدم في الجيوديسيا.[5]

في عام 1844 نشر هيرمان گراسمان "نظرية الامتداد" التي تضمنت موضوعات تأسيسية جديدة لما يسمى اليوم بالجبر الخطي. في عام 1848، قدم جيمس جوزيف سلڤستر مصطلح "ماتركس"، وهو لاتيني يعني "الرحم".

فقد نما الجبر الخطي مع الأفكار المذكورة في المستوي العقدي. على سبيل المثال، يوجد اختلاف بين رقمين w وz في عن wz، ومقاطع الخط و من نفس الطول والاتجاه. حيث تكون المقاطع متكافئة. وبدأ النظام رباعي الأبعاد ℍ لـ الأربعة في عام 1843. تم تقديم المصطلح متجه كـ v = x i + y j + z k تمثل نقطة في الفضاء. ينتج عن اختلاف المربعات pq أيضاً قطعة متساوية لـ استخدمت أنظمة أخرى كالعدد العقدي الزائد أيضاً فكرة الفضاء الخطي مع الأساس.

قدم آرثر كايلي ضرب المصفوفة و المصفوفة العكسية في عام 1856، مما جعل المجموعة الخطية العامة ممكنة. أصبحت آلية تمثيل المجموعة متاحة لوصف الأعداد العقدية والمتشعبة. بشكل حاسم، استخدم كايلي حرفاً واحداً للإشارة إلى مصفوفة، وبالتالي تعامل مع المصفوفة ككائن مجمع. كما أدرك العلاقة بين المصفوفات والمحددات، وكتب "سيكون هناك الكثير مما يمكن قوله عن نظرية المصفوفات التي يبدو لي أنها تسبق نظرية المحددات".[5]

نشر بنيامين پيرس كتابه الجبر الترابطي الخطي عام (1872)، وقام ابنه تشارلز ساندرز پيرس بتمديد العمل لاحقاً.[6]

تطلب التلگراف نظاماً توضيحياً، ونشر عام 1873 لـ أطروحة حول الكهرباء والمغناطيسية أسس نظرية المجال للقوى والهندسة التفاضلية المطلوبة للتعبير. الجبر الخطي هو هندسة تفاضلية مسطحة ويعمل في فضاءات ظلية لـ المضاعف. يتم التعبير عن التناظرات الكهرومغناطيسية للزمكان من خلال تحويل لورينتز، ومعظم تاريخ الجبر الخطي هو تاريخ تحولات لورينتز.

تم تقديم أول تعريف حديث وأكثر دقة للفضاء المتجه بواسطة پيانو في عام 1888;[5] بحلول عام 1900، ظهرت نظرية للتحويلات الخطية للفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة. اتخذ الجبر الخطي شكله الحديث في النصف الأول من القرن العشرين ، عندما تم تعميم العديد من الأفكار والأساليب في القرون السابقة على أنها الجبر المجرد. أدى تطوير أجهزة الحاسب إلى زيادة البحث في الخوارزمية الفعالة للتخلص من الگاوسية وتحليل المصفوفة، وأصبح الجبر الخطي أداة أساسية للنمذجة والمحاكاة.[5]

See also Determinant § History and Gaussian elimination § History.


فضاءات المتجه

حتى القرن التاسع عشر، تم تقديم الجبر الخطي من خلال أنظمة المعادلات الخطية و المصفوفات. في الرياضيات الحديثة، يُفضل العرض التقديمي من خلال فضاءات المتجه بشكل عام، لأنه أكثر تركيبية، وأكثر عمومية (لا يقتصر على الحالة ذات الأبعاد المحدودة)، وأبسط من الناحية المفاهيمية، على الرغم من كونها أكثر تجريداً.

فضاء المتجه على المجال F (غالباً ما يكون مجال الأعداد الحقيقية) عبارة عن مجموعة V مزودة باثنين من العمليات الثنائية التي تفي بـ المسلَّمة التالية. العناصر من V تسمى متجهات، وعناصر F تسمى أعداد. العملية الأولى، إضافة متجه، تأخذ أي متجهين v و w وتنتج متجهاً ثالثاً v + w. العملية الثانية، الضرب العددي، تأخذ أي عدد a وأي متجه v وتنتج المتجه av. البديهيات التي يجب أن يفي بها الجمع والضرب العددي هي التالية. (في القائمة أدناه، u, v و w عناصر عشوائية من V، و a و a هي مقاييس عشوائية في المجال F .)[7]

المُسلَّمة المضمون
التجميعية في الإضافة u + (v + w) = (u + v) + w
التبديلية في الإضافة u + v = v + u
عنصر المطابقة في الإضافة يوجد عنصر 0 في V، يُسمى متجه صفري (أو ببساطة صفر)، مثل v + 0 = v لكل v في V.
العنصر المعكوس في الأضافة لكل v في V، يوجد عنصر v في V، تسمى المعكوس الجمعي لـ v، مثل v + (−v) = 0
التوزيعية للضرب العددي بالنسبة إلى إضافة المتجهات   a(u + v) = au + av
توزيعية الضرب العددي فيما يتعلق بالجمع المجالي (a + b)v = av + bv
توافق الضرب العددي مع الضرب المجالي a(bv) = (ab)v [أ]
عنصر مطابقة الضرب العددي 1v = v, حيث يدل 1 على مطابقة المضاعفة من F.

تعني البديهيات الأربع الأولى أن V هي مجموعة أبيلية بحكم الإضافة.

قد يكون لعنصر فضاء متجه معين طبيعة مختلفة؛ على سبيل المثال، يمكن أن تكون متتالية، دالة، متعدد الحدود أو مصفوفة. يهتم الجبر الخطي بخصائص هذه الكائنات المشتركة بين جميع الفراغات المتجهة.

المخططات الخطية

المخططات الخطية هي تعيينات بين فضاءات متجهة والتي تحافظ على بنية فضاء متجه. نظراً لفضاء متجهتين V و W على مجال F، يسمى المخطط الخطي (أيضاً، في بعض السياقات، خطي التحويل أو خطي التعيين) هو مخطط

ويتوافق مع الجمع والضرب العددي، أي

لأي متجهات u,v في V وعددي a في F.


هذا يعني أنه لأي متجهات u, v في V والعدديات a, b في F، وواحدهم لديه

عندما تكون V = W هي نفس فضاء المتجه، فإن المخطط الخطي تُعرف أيضاً باسم عامل خطي على V.

إن انحياز المخطط الخطي بين فضاء متجهتين (أي، كل متجه من الفضاء الثاني مرتبط بواحد بالضبط في الأول) هو تماثل الشكل. نظراً لأن التشابه يحافظ على البنية الخطية، فإن مساحتين متجهتين متماثلتين "بشكل أساسي هي نفسها" من وجهة نظر الجبر الخطي، بمعنى أنه لا يمكن تمييزهما باستخدام خصائص الفضاء المتجه. أحد الأسئلة الأساسية في الجبر الخطي هو اختبار ما إذا كان المخطط الخطي تماثلًا أم لا، وإذا لم يكن تماثلًا، فابحث عن النطاق (أو الصورة) ومجموعة العناصر التي تم تعيينه إلى المتجه الصفري، المسمى نواة المخطط. يمكن حل كل هذه الأسئلة باستخدام الاختصار الگاوسي أو بعض أشكال هذه الخوارزمية.

الفراغات الفرعية، الامتداد، والأساس

تعتبر دراسة تلك المجموعات الفرعية من الفضاء المتجهي التي هي في حد ذاتها فضاءات متجهة تحت العمليات الناتجة أمراً أساسياً، على غرار العديد من الهياكل الرياضية. تسمى هذه المجموعات الفرعية بالفضاء الخطي الجزئي. بتعبير أدق، الفضاء الخطي الجزئي لفضاء متجه V على المجال F هو مجموعة فرعية W من V مثل أن u + v و au في W، لكل u ، v في W، وكل a في F. (هذه الشروط كافية للإشارة إلى أن W هو فضاء متجهي.)

على سبيل المثال، بالنظر إلى المخطط الخطية ، فإن صورة T(V) لـ V، و معكوس الصورة من 0 (تسمى نواة أو فضاء فارغ)، هي فضاءات فرعية خطية لـW و V على التوالي.

طريقة أخرى مهمة لتشكيل فضاء جزئي هي النظر في تركيبة خطية من مجموعة S من المتجهات: مجموعة جميع المجاميع

حيث تكون v1, v2, ..., vk في S, و تكون a1, a2, ..., ak في F تشكل فضاء جزئي خطي يسمى امتداد من S. إن امتداد S هو أيضاً تقاطع جميع الفضاءات الجزئية الخطية التي تحتوي على S. بمعنى آخر، هو (الأصغر بالنسبة لعلاقة التضمين) الفضاء الجزئي الخطي الذي يحتوي على S.

تكون مجموعة المتجهات مستقلة خطياً إذا لم يكن أي منها في امتداد الأخرى. بالتساوي، فإن مجموعة S من المتجهات تكون مستقلة خطياً إذا كانت الطريقة الوحيدة للتعبير عن المتجه الصفري كمجموعة خطية من عناصر S هي مشاركة صفر لكل معامل


تسمى مجموعة المتجهات التي تمتد عبر فضاء متجه بالمجموعة الممتدة أو مجموعة التوليد. إذا كانت مجموعة الامتداد S معتمدة خطياً (ليست مستقلة خطياً)، فإن بعض العناصر w في S يقع في مجال عناصر أخرى من S، وسيظل الامتداد كما هو في حالة اختصار w من S. قد يستمر المرء في إزالة عناصر S حتى الحصول على مجموعة ممتدة مستقلة خطياً. تسمى هذه المجموعة المستقلة خطياً التي تمتد على فضاء متجهي V بـ أساس من V. تكمن أهمية القواعد في حقيقة أن هناك مجموعات توليد قليلة ومجموعات مستقلة قصوى معاً. بتعبير أدق، إذا كانت S مجموعة مستقلة خطياً، و قالب:Mvar T هي مجموعة ممتدة مثل فهناك أساس B مثل

أي قاعدتين لفضاء المتجه V لها نفس الأصل، والتي تسمى البعد لـ V؛ هذه هي نظرية البعد للفضاءات المتجهة. علاوة على ذلك، فإن فضائي متجهتين على نفس المجال F يكون متشابه إذا وفقط إذا كان لهما نفس البعد.[8]

إذا كان أي أساس لـ V (وبالتالي كل أساس) يحتوي على عدد محدد من العناصر، فإن V هو فضاء متجهي ذات أبعاد محدودة. إذا كانت U هي فضاء فرعي لـ V، إذن dim U ≤ dim V. في الحالة التي تكون فيها V ذات أبعاد محدودة، فإن المساواة في الأبعاد تعني U = V.

إذا كان U1 و U2 فضاءات متجهية ل V، عندها

حيث تدل على امتداد [9]

المصفوفات

تسمح المصفوفات بمعالجة صريحة للفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة و المخططات الخطية. وبالتالي فإن نظريتهم هي جزء أساسي من الجبر الخطي.

لنفترض أن V عبارة عن فضاء متجهي ذات أبعاد محدودة على مجال F، و تكون (v1, v2, ..., vm) أساسًا لـ V ( وبالتالي فإن m هو بُعد V). من خلال تعريف الأساس، يكون المخطط: انحيازاً من مجموعة المتتاليات من m عناصر F ، على V. يكون هذا تماثل الشكل للفضاءات المتجهة، إذا كان مجهزاً بهيكله القياسي لفضاء المتجه، حيث تتم إضافة المتجهات والضرب العددي مكونًا بمكون.

يسمح هذا التشابه بتمثيل متجه من خلال الصورة العكسية تحت هذا التماثل، أي بواسطة متجه الإحداثيات أو بواسطة المصفوفة العمودية:

إذا كان W فضاء متجه آخر محدود الأبعاد (ربما هو نفسه)، مع أساس مخططاً خطياً f من تعريف W إلى V جيداً من خلال قيمها على أساس العناصر، أي وبالتالي، يتم تمثيل f جيداً من خلال قائمة مصفوفات الأعمدة المقابلة. يكون ذلك، إذا

من أجل j = 1, ..., n، عندها تُمثل f بالمصفوفة

مع صفوف m و أعمدة n.

يتم تعريف ضرب المصفوفة بطريقة تجعل حاصل ضرب مصفوفتين هو مصفوفة تكوين المخططات الخطية المقابلة، وحاصل ضرب المصفوفة ومصفوفة عمودية هو العمود مصفوفة تمثل نتيجة تطبيق المخطط الخطي الممثل على المتجه الممثل. ويترتب على ذلك أن نظرية الفضاءات المتجهية ذات الأبعاد المحدودة ونظرية المصفوفات لغتان مختلفتان للتعبير عن نفس المفاهيم بالضبط.

تسمى المصفوفتان اللتان تشفران نفس التحويل الخطي في قواعد مختلفة بالمصفوفتين المتشابهتين. يمكن إثبات أن مصفوفتين متشابهتين إذا وفقط إذا استطاعت إحداهما تحويل واحدة في الأخرى بواسطة عمليات الصف والعمود الأولية. بالنسبة إلى المصفوفة التي تمثل مخطط خطي من W إلى V، تتوافق عمليات الصف مع تغيير القواعد في V وتتوافق عمليات العمود مع تغيير القواعد في W. كل مصفوفة تشبه مصفوفة المطابقة من المحتمل أن يحدها صفوف صفرية وأعمدة صفرية. فيما يتعلق بفضاءات المتجهات، هذا يعني أنه، بالنسبة لأي مخطط خطي من W إلى V، هناك قواعد مثل جزء من أساس W تم تعيينها بشكل حيوي على جزء من أساس V، وأن العناصر الأساسية المتبقية لـ W، إن وجدت، تم تعيينها إلى الصفر. الاختصار الگاوسي هي الخوارزمية الأساسية لإيجاد هذه العمليات الأولية، وإثبات هذه النتائج.


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

الأنظمة الخطية

مجموعة منتهية من المعادلات الخطية في مجموعة محدودة من المتغيرات، على سبيل المثال، أو يسمى نظام المعادلات الخطية أو النظام الخطي.[10][11][12][13][14]

تشكل أنظمة المعادلات الخطية جزءاً أساسيااً من الجبر الخطي. تاريخياً، تم تطوير نظرية الجبر الخطي والمصفوفة لحل مثل هذه الأنظمة. في العرض الحديث للجبر الخطي من خلال الفضاءات والمصفوفات المتجهية، يمكن تفسير العديد من المشكلات من حيث الأنظمة الخطية. على سبيل المثال، لتكن

 

 

 

 

(S)

نظاماً خطياً لمثل هذا النظام، يمكن للمرء أن يقرن مصفوفته

وطرفها المتجهي اليميني

لنفترض أن T هو التحويل الخطي المرتبط بالمصفوفة M. يكون حل النظام (S) متجه

مثل ذلك

هذا عنصر من صورة سابقة لـ v بواسطة T.

لنفترض أن (S') مرتبط بنظام متجانس، حيث يتم وضع الأطراف اليمنى من المعادلات على الصفر:

 

 

 

 

(S')

حلول (S') هي بالضبط عناصر نواة لـ T أو، بشكل مكافئ، M.

يتكون الاختصار الگاوسي من تنفيذ عملية الصف الأولية على المصفوفة المعززة

لوضعه في صيغة مرتبة منخفضة الصف. لا تغير عمليات الصف هذه مجموعة حلول نظام المعادلات. في المثال، شكل المستوى المختزل هو

يوضح أن النظام (S) لديه الحل الفريد

ويترتب على تفسير المصفوفة هذا للأنظمة الخطية أنه يمكن تطبيق نفس الأساليب لحل الأنظمة الخطية ولعدة عمليات على المصفوفات والتحويلات الخطية، والتي تشمل حساب الرتب، النوى، معكوس المصفوفات.

التشكل والمصفوفات المربعة

التشكل الخطي هو مخطط خطي يرسم فضاء متجهي V لنفسه. إذا كان V له أساس من عناصر n، يتم تمثيل مثل هذا التشابه بمصفوفة مربعة الحجم n.

فيما يتعلق بالمخططات الخطية العامة، فإن الأشكال الداخلية الخطية والمصفوفات المربعة لها بعض الخصائص المحددة التي تجعل دراستها جزءاً مهماً من الجبر الخطي، والذي يستخدم في العديد من أجزاء الرياضيات، بما في ذلك التحويل الهندسي، تغير الإحداثيات و الصيغ التربيعية وأجزاء أخرى كثيرة من الرياضيات.

المحدد

تم تعريف المحدد للمصفوفة المربعة A على أنه

حيث هي مجموعة جميع التبديلات لعناصر n ، هو تبديل، و تكافؤ التبديل. تكون المصفوفة معكوسة إذا وفقط إذا كان المحدد قابلاً للعكس (أي غير صفري إذا كانت المقاييس تنتمي إلى المجال).

قاعدة كرامر هي تعبير مغلق الصيغة، من حيث المحددات، لحل نظام n المعادلات الخطية في n غير معروف. تعد قاعدة كرامر مفيدة في التفكير في الحل، ولكن باستثناء n = 2 أو 3، نادراً ما يتم استخدامها لحساب الحل، حيث أن اختصار گاوس خوارزمية أسرع.

محدد من التشكل الداخلي هو محدد المصفوفة التي تمثل التشكل الداخلي من حيث بعض الأساس المرتب. هذا التعريف منطقي، لأن هذا المحدد مستقل عن اختيار الأساس.

القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

إذا كان f عبارة عن تشابه خطي لفضاء متجه V على المجال F، فإن المتجه الذاتي لـ f هو متجه v غير صفري من V مثل f(v) = av لبعض a العددية في F. هذا العدد a هو قيمة ذاتية لـ f.

إذا كان بُعد V محدوداً، وتم اختيار أساس، فيمكن تمثيل f و v على التوالي بمصفوفة مربعة M ومصفوفة عمودية z؛ تصبح المعادلة التي تحدد المتجهات الذاتية والقيم الذاتية

باستخدام مصفوفة المطابقة I، والتي تكون جميع إدخالاتها صفراً، باستثناء تلك الخاصة بالقطر الرئيسي، والتي تساوي واحداً، يمكن إعادة كتابة هذا

بما أنه من المفترض أن يكون z غير صفري، فهذا يعني أن MaI هي مصفوفة مفردة، وبالتالي فإن محددها يساوي صفراً. وبالتالي، فإن القيم الذاتية هي جذور لـ كثير الحدود

إذا كانت V ذات بُعد n، فهو كثير حدود من الدرجة الأولى من الدرجة n، تسمى كثير حدود مميز للمصفوفة ( أو من التشابه)، وهناك، على الأكثر، n قيم ذاتية.

إذا كان هناك أساس يتكون فقط من المتجهات الذاتية، فإن مصفوفة f على هذا الأساس لها بنية بسيطة للغاية: فهي مصفوفة قطرية بحيث تكون المدخلات على القطري الرئيسي هي قيم ذاتية، والإدخالات الأخرى صفر. في هذه الحالة، يُقال أن التشكل الداخلي والمصفوفة هما قابلان للاستقطار. بشكل أكثر عمومية، يُقال أيضاً أن التشكل الداخلي والمصفوفة قابلان للاستقطار، إذا أصبحا قطريين بعد توسيع مجال العدديات. بهذا المعنى الموسع، إذا كانت كثيرة الحدود المميزة خالية من التربيع، إذاً فالمصفوفة قطرية.

دائماً ما تكون المصفوفة المتماثلة قابلة للقطرية. هناك مصفوفات غير قابلة للاستقطار، أبسطها

(لا يمكن أن يكون قطرياً لأن مربعه هو مصفوفة صفرية ومربع مصفوفة قطرية غير صفرية لا يساوي صفراً أبداً).

عندما لا يكون التشابه قابلاً للاستقطار، فهناك قواعد يكون لها شكل بسيط، على الرغم من أنها ليست بسيطة مثل الشكل القطري. لا تحتاج صيغة فروبينيوس العادية إلى توسيع مجال العددية ومما يجعل كثير الحدود المميز قابلاً للقراءة على الفور على المصفوفة. وتتطلب صيغة جوردن الناظمة توسيع مجال العددية لاحتواء جميع القيم الذاتية، ويختلف عن الشكل القطري فقط من خلال بعض الإدخالات التي تكون أعلى القطر الرئيسي مباشرةً وتساوي 1.

الثنائية

الصيغة الخطية هي مخطط خطي من فضاء متجه V على المجال F إلىالمجال العددي F، يُنظر إليه على أنه فضاء متجه على ذاته. تشكل الصيغ الخطية، المزودة بواسطة نقطة الجمع والضرب بواسطة عددي، فضاءاً متجهاً، يُطلق عليه الفضاء المزدوج لـ V، وعادةً ما يُرمز إليه بـ

إذا كان هو أساس V (هذا يعني أن V ذو أبعاد محدودة)، فيمكن عندئذٍ تعريف، لـ i = 1, ..., n، المخطط الخطي مثل و إذا ji. تشكل هذه المخططات الخطية أساساً لـ يسمى الأساس المزدوج لـ < (إذا كانت V غير محدودة الأبعاد، يمكن تعريف بالمثل ؛ فهي مستقلة خطياً، لكنها لا تشكل أساساً.)

لـ v في V، المخطط

هو صيغة خطية على هذا يحدد مخطط خطي متعارف عليه من V إلى ثنائي يسمى ثنائي لـ V. هذا المخطط المتعارف عليه هي تماثل الشكل إذا كانت V ذات أبعاد محدودة، وهذا يسمح بتعريف V بمقاييسها الثنائية. (في حالة الأبعاد اللانهائية، يكون المخطط المتعارف عليه إدخالاً، ولكنها ليست تخمينية.)

وبالتالي، يوجد تناسق كامل بين فضاء متجه ذي أبعاد محدودة وثنائي. هذا يحفز الاستخدام المتكرر، في هذا السياق، لـ تدوين bra – ket

للدلالة f(x).

المخطط الثنائي

لنفترض

أنها مخطط خطي. لكل نموذج خطي h على W، الدالة المركبة hf هو شكل خطي على { {mvar|V}}. هذا يحدد المخطط الخطية

بين الفضاءات الثنائية، والتي تسمى المزدوجة أو التحويل لـ f.

إذا كان V و W ذات أبعاد محدودة، و M هي مصفوفة f من حيث بعض القواعد المرتبة، فإن مصفوفة على القواعد المزدوجة هي تحويل لـ M، التي تم الحصول عليها من خلال تبديل الصفوف والأعمدة.

إذا تم تمثيل عناصر فضاءات المتجهات وثنائياتها بواسطة متجهات عمودية، فيمكن التعبير عن هذه الازدواجية في تدوين bra–ket بواسطة:

لتسليط الضوء على هذا التناظر، يتم كتابة عنصري هذه المساواة في بعض الأحيان


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

فضاءات الجداء الداخلي

إلى جانب هذه المفاهيم الأساسية، يدرس الجبر الخطي أيضاً الفضاءات المتجهية ذات البنية الإضافية، مثل الجداء الداخلي. فالجداء الداخلي هو مثال على الصيغة الخطية الثنائية، وهو يعطي فضاء المتجه بنية هندسية من خلال السماح بتعريف الطول والزوايا. بشكل اصطلاحي، فالجداء الداخلي هو مخطط

التي تفي بالمُسلَّمات الثلاث التالية لجميع المتجهات u, v, w في V وجميع العدديات a في F:[15][16]

في R، فهو متناظر.

بالمساواة فقط v = 0.

يمكننا تحديد طول المتجه v في V بمقدار

ويمكننا إثبات التباين كوشي-شوارتز:

على وجه الخصوص، المقدار

ومن ثم يمكننا أن نطلق على هذه المقدار جيب تمام الزاوية بين المتجهين.

يكون المتجهان متعامدان إذا . الأساس المتعامد هو الأساس الذي تكون فيه جميع متجهات الأساس لها طول 1 وتكون متعامدة مع بعضها البعض. بالنظر إلى أي فضاء متجه ذي أبعاد محدودة، يمكن إيجاد أساس متعامد من خلال إجراء گرام-شميت. من السهل التعامل مع القواعد المتعامدة بشكل خاص، بما أن v = a1 v1 + ... + an vn, then .


يسهّل الجداء الداخلي بناء العديد من المفاهيم المفيدة. على سبيل المثال، بالنظر إلى التحويل T، يمكننا تحديد المرافق الهرميتي T* باعتباره التحويل الخطي المُحقق

إذا كان T يحقق TT* = T*T، نسمي T عادية. اتضح أن المصفوفات العادية هي بالضبط المصفوفات التي لها نظام متعامد من المتجهات الذاتية التي تمتد على V .

العلاقة مع الهندسة

هناك علاقة قوية بين الجبر الخطي و الهندسة، والتي بدأت مع تقديم رينيه ديكارت، في عام 1637، لـ الإحداثيات الديكارتية. في هذه الهندسة الجديدة (في ذلك الوقت)، والتي تسمى الآن الهندسة الديكارتية، يتم تمثيل النقاط بواسطة الإحداثيات الديكارتية، وهي متتاليات من ثلاثة أرقام حقيقية (في حالة الفضاء ثلاثي الأبعاد المعتاد). يتم تمثيل الكائنات الأساسية للهندسة، وهي خطوط و مستويات بواسطة معادلات خطية. وبالتالي، فإن حساب تقاطعات الخطوط والمستويات يرقى إلى حل أنظمة المعادلات الخطية. كان هذا أحد الدوافع الرئيسية لتطوير الجبر الخطي.

تعمل معظم التحويلات الهندسية، مثل النقل، الدوران، الانعكاسات، التحريكات الجامدة، تشابه القياس، و الإسقاطات على تحويل الخطوط إلى خطوط. ويترتب على ذلك أنه يمكن تعريفها وتحديدها ودراستها من حيث المخططات الخطية. هذا هو الحال أيضًا في التجانسات و تحويلات موبيوس، عند اعتبارها تحولات في الفضاء الإسقاطي.

حتى نهاية القرن التاسع عشر، عُرفت الفضاءات الهندسية بواسطة بديهيات النقاط والخطوط والمستويات المرتبطة (بالهندسة التركيبية). في هذا التاريخ تقريباً، تبين أنه يمكن أيضاً تعريف الفضاءات الهندسية من خلال الإنشاءات التي تتضمن فضاءات متجهة (انظر، على سبيل المثال، فضاء الإسقاط و الفضاء الأفقي). لقد ثبت أن النهجين متكافئان بشكل أساسي.[17]في الهندسة الكلاسيكية، الفضاءات المتجهية المتضمنة هي فضاءات متجهية على الواقع، ولكن قد تمتد الإنشاءات إلى فضاءات متجهة على أي مجال، مما يسمح بالنظر إلى الهندسة على المجالات العشوائية، بما في ذلك المجالات المحدودة.

في الوقت الحاضر، تقدم معظم الكتب المدرسية فضاءات هندسية من الجبر الخطي، وغالباً ما يتم تقديم الهندسة، في المستوى الابتدائي، كمجال فرعي للجبر الخطي.

الاستخدام والتطبيقات

يُستخدم الجبر الخطي في جميع مجالات الرياضيات تقريباً، مما يجعله وثيق الصلة بجميع المجالات العلمية التي تستخدم الرياضيات تقريباً. يمكن تقسيم هذه التطبيقات إلى عدة فئات واسعة.

هندسة الفضاء المحيط

تعتمد نمذجة الفضاء المحيط على الهندسة. حيث العلوم المعنية بهذا الفضاء الهندسة على نطاق واسع. هذا هو الحال مع الميكانيكا و الروبوتات، لوصف ديناميات الجسم الصلبة ؛ الجيوديسيا لوصف شكل الأرض ؛ المنظور، الرؤية الحاسوبية، و رسوميات الحاسب، لوصف العلاقة بين المشهد وتمثيله المستوي؛ والعديد من المجالات العلمية الأخرى.

في جميع هذه التطبيقات، غالبًا ما تُستخدم الهندسة التركيبية للأوصاف العامة والنهج النوعي، ولكن لدراسة المواقف الواضحة، يجب على المرء أن يحسب باستخدام الإحداثيات. وهذا ما يتطلب الاستخدام المكثف للجبر الخطي.

التحليل الدالّي

يدرس التحليل الدالّي فضاءات الدوال. فهي فضاءات متجهة لها بنية إضافية، مثل فضاءات هلبرت. فالجبر الخطي بالتالي هو جزء أساسي من التحليل الدالّي وتطبيقاته، والتي تشمل، على وجه الخصوص، ميكانيكا الكم (دالة الموجة).

دراسة النظم العقدية

يتم نمذجة معظم الظواهر الفيزيائية بواسطة معادلات تفاضلية جزئية. لحلها، عادةً ما يحلل المرء الفضاء الذي يتم فيه البحث عن الحلول إلى خلايا صغيرة ومتفاعلة بشكل متبادل. بالنسبة إلى النظم الخطية، يتضمن هذا التفاعل دالة خطية. وبالنسبة إلى النظم اللاخطية، غالباً ما يتم تقريب هذا التفاعل من خلال الدوال الخطية. [ب] في كلتا الحالتين، يتم تضمين المصفوفات الكبيرة جداً بشكل عام. فتوقعات الطقس هو مثال نموذجي، حيث يتم تقسيم الغلاف الجوي الأرضي بأكمله إلى خلايا يبلغ عرضها 100 كيلومتر وارتفاعها 100 متر، على سبيل المثال.

الحوسبة العلمية

تشتمل جميع الحسابات العلمية تقريباً على الجبر الخطي. وبالتالي، تم تحسين خوارزميات الجبر الخطي بشكل كبير. تعد BLAS و LAPACK هي أفضل التطبيقات المعروفة. لتحسين الكفاءة، يقوم بعضهم بتكوين الخوارزميات تلقائياً، في وقت التشغيل، لتكييفها مع خصائص الحاسب (حجم ذاكرة التخزين المؤقت، عدد النوى المتاح، ...).

تم تصميم بعض المعالجات، عادةً وحدات معالجة الرسومات (GPU)، ببنية مصفوفة، لتحسين عمليات الجبر الخطي.

الامتدادات والتعميمات

يقدم هذا القسم العديد من الموضوعات المرتبطة التي لا تظهر بشكل عام في الكتب المدرسية الابتدائية حول الجبر الخطي، ولكنها تعتبر بشكل عام، في الرياضيات المتقدمة، كأجزاء من الجبر الخطي.

نظرية الوحدة

إن وجود المعكوسات الضربية في المجالات لا يشارك في البديهيات التي تحدد فضاء المتجه. وبالتالي يمكن استبدال المجال العددي بواسطة حلقة R، وهذا يعطي بنية تسمى وحدة على R، أو وحدة-R.

يتم تعريف مفاهيم الاستقلال الخطي، والامتداد، والأساس، والخططات الخطية (وتسمى أيضاً تشابهات الوحدة للوحدات النمطية تماماً كما هو الحال بالنسبة للفضاءات المتجهة، مع الاختلاف الأساسي، إذا لم يكن مجال R، هناك وحدات ليس لها أي أساس. الوحدات التي لها أساس هي الوحدات الحرة، وتلك التي امتدت بواسطة مجموعة محدودة هي الوحدة التي تم إنشاؤها بشكل محدود. يمكن تمثيل تشابهات الوحدة النمطية بين الوحدات الحرة التي تم إنشاؤها بشكل محدود بواسطة المصفوفات. تتشابه نظرية المصفوفات على حلقة مع نظرية المصفوفات الموجودة على مجال، باستثناء أن المحددات لا توجد إلا إذا كانت الحلقة تبديلية ، وأن المصفوفة المربعة على حلقة تبديلية مقلوبة فقط إذا كان المحدد لها معكوس ضربي في الحلقة.

تتميز الفضاءات المتجهة تماماً بأبعادها (حتى تماثل الشكل). بشكل عام، لا يوجد مثل هذا التصنيف الكامل للوحدات، حتى لو كان المرء يقيد نفسه بالوحدات النمطية التي تم إنشاؤها بشكل محدود. ومع ذلك، فإن كل وحدة نمطية هي النواة المشتركة لتماثل الشكل للوحدات النمطية الحرة.

يمكن التعرف على الوحدات على الأعداد الصحيحة بـ المجموعات الأبيلية، لأن الضرب في عدد صحيح يمكن تحديده إلى إضافة متكررة. قد تمتد معظم نظرية مجموعات أبيليان إلى وحدات عبر المجال المثالي الرئيسي. على وجه الخصوص، عبر مجال مثالي رئيسي، تكون كل وحدة فرعية من وحدة حرة، ويمكن توسيع النظرية الأساسية لمجموعات أبليان المتولدة بشكل محدود بشكل مباشر إلى وحدات منتهية بشكل نهائي عبر حلقة رئيسية.

هناك العديد من الحلقات التي توجد لها خوارزميات لحل المعادلات الخطية وأنظمة المعادلات الخطية. ومع ذلك، فإن هذه الخوارزميات بشكل عام لها العقدية الحسابية أعلى بكثير من الخوارزميات المماثلة في المجال. لمزيد من التفاصيل، راجع المعادلة الخطية على حلقة.

الجبر متعدد الخطية الثنائية والموترات

في الجبر متعدد الخطية، يعتبر المرء التحويلات الخطية متعددة المتغيرات، أي التعيينات الخطية في كل عدد من المتغيرات المختلفة. يؤدي خط الاستفسار هذا بشكل طبيعي إلى فكرة الفضاء الثنائي، فضاء المتجه V الذي يتكون من مخططات خطية f: VF حيث F هو مجال العدديات. يمكن وصف المخططات متعددة الخطية T: VnF عبر جداءات الموترات من عناصر V.

إذا كان هناك، بالإضافة إلى إضافة المتجه والضرب العددي، جداء متجه ثنائي الخطي V × VV، نسمي فضاء المتجه الجبر ؛ على سبيل المثال، الجبر الترابطي عبارة عن جبر مع جداء متجه مرتبط (مثل جبر المصفوفات المربعة، أو جبر كثيرات الحدود).

فضاءات متجهية طبولوجية

غالباً ما تتطلب الفضاءات المتجهية غير المحدودة الأبعاد بنية إضافية يمكن تتبعها. الفضاء المتجهي المعياري هو فضاء متجه مع دالة تسمى المعيار، والتي تقيس حجم العناصر. يستحث المعيار قياساً، والذي يقيس المسافة بين العناصر، وتحث على طوبولوجيا، مما يسمح بتعريف المخططات المستمرة. يسمح المقياس أيضاً بتعريف نهايات و اكتمال - الفضاء القياسي الكامل والذي يُعرف باسم فضاء باناخ. يُعرف الفضاء المتري الكامل جنباً إلى جنب مع الهيكل الإضافي لـ الجداء الداخلي (شكل مترابطمتماثل ومترافق) باسم فضاء هلبرت، والتي تعتبر بمعنى ما ميزة خاصة لفضاء باناخ جيد السلوك. يطبق التحليل الدالي طرق الجبر الخطي جنباً إلى جنب مع التحليل الرياضي لدراسة الفضاءات الدالية المختلفة؛ الكائنات المركزية للدراسة في التحليل الدالي هي Lp spaces، والتي تسمى فضاءات باناخ، وخاصة L2 فضاءات دوال مربعة قابلة للتكامل، وهي فضاء هلبرت الوحيدة بينها. للتحليل الدالي أهمية خاصة لميكانيكا الكم ونظرية المعادلات التفاضلية الجزئية ومعالجة الإشارات الرقمية والهندسة الكهربائية. كما أنه يوفر الأساس والإطار النظري الذي يقوم عليه تحويل فورييه والطرق ذات الصلة.

الجبر المتماثل

انظر أيضاً

ملاحظات

  1. ^ This axiom is not asserting the associativity of an operation, since there are two operations in question, scalar multiplication: bv; and field multiplication: ab.
  2. ^ قد يكون لهذا نتيجة حذف بعض الحلول الفيزيائية الهامة.

الهامش

  1. ^ Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Texts in Statistical Science (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388 
  2. ^ Strang, Gilbert (July 19, 2005), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8 
  3. ^ Weisstein, Eric. "Linear Algebra". From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram. Retrieved 16 April 2012.
  4. ^ Hart, Roger (2010). The Chinese Roots of Linear Algebra. JHU Press. ISBN 9780801899584.
  5. ^ أ ب ت ث Vitulli, Marie. "A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory". Department of Mathematics. University of Oregon. Archived from the original on 2012-09-10. Retrieved 2014-07-08.
  6. ^ Benjamin Peirce (1872) Linear Associative Algebra, lithograph, new edition with corrections, notes, and an added 1875 paper by Peirce, plus notes by his son Charles Sanders Peirce, published in the American Journal of Mathematics v. 4, 1881, Johns Hopkins University, pp. 221–226, Google Eprint and as an extract, D. Van Nostrand, 1882, Google Eprint.
  7. ^ Roman (2005, ch. 1, p. 27)
  8. ^ Axler (2004, p. 55)
  9. ^ Axler (2004, p. 33)
  10. ^ Anton (1987, p. 2)
  11. ^ Beauregard & Fraleigh (1973, p. 65)
  12. ^ Burden & Faires (1993, p. 324)
  13. ^ Golub & Van Loan (1996, p. 87)
  14. ^ Harper (1976, p. 57)
  15. ^ P. K. Jain, Khalil Ahmad (1995). "5.1 Definitions and basic properties of inner product spaces and Hilbert spaces". Functional analysis (2nd ed.). New Age International. p. 203. ISBN 81-224-0801-X.
  16. ^ Eduard Prugovec̆ki (1981). "Definition 2.1". Quantum mechanics in Hilbert space (2nd ed.). Academic Press. pp. 18 ff. ISBN 0-12-566060-X.
  17. ^ Emil Artin (1957) Geometric Algebra Interscience Publishers

المصادر

للاستزادة

التاريخ

  • Fearnley-Sander, Desmond, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra", American Mathematical Monthly 86 (1979), pp. 809–817.
  • Grassmann, Hermann (1844), Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert, Leipzig: O. Wigand 

كتب دراسية مقدمة

  • Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International 
  • Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Texts in Statistical Science (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388 
  • Bretscher, Otto (2004), Linear Algebra with Applications (3rd ed.), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-145334-0 
  • Farin, Gerald; Hansford, Dianne (2004), Practical Linear Algebra: A Geometry Toolbox, AK Peters, ISBN 978-1-56881-234-2 
  • Hefferon, Jim (2020). Linear Algebra (4th ed.). Ann Arbor, Michigan: Orthogonal Publishing. ISBN 978-1-944325-11-4. OCLC 1178900366. OL 30872051M.
  • Kolman, Bernard; Hill, David R. (2007), Elementary Linear Algebra with Applications (9th ed.), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-229654-0 
  • Lay, David C. (2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7 
  • Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall, ISBN 978-0-13-185785-8, https://archive.org/details/linearalgebrawit00leon 
  • Murty, Katta G. (2014) Computational and Algorithmic Linear Algebra and n-Dimensional Geometry, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-4366-62-5. Chapter 1: Systems of Simultaneous Linear Equations
  • Poole, David (2010), Linear Algebra: A Modern Introduction (3rd ed.), Cengage – Brooks/Cole, ISBN 978-0-538-73545-2 
  • Ricardo, Henry (2010), A Modern Introduction To Linear Algebra (1st ed.), CRC Press, ISBN 978-1-4398-0040-9 
  • Sadun, Lorenzo (2008), Applied Linear Algebra: the decoupling principle (2nd ed.), AMS, ISBN 978-0-8218-4441-0 
  • Strang, Gilbert (2016), Introduction to Linear Algebra (5th ed.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6 
  • The Manga Guide to Linear Algebra (2012), by Shin Takahashi, Iroha Inoue and Trend-Pro Co., Ltd., ISBN 978-1-59327-413-9

كتب دراسية متقدمة

  • Bhatia, Rajendra (November 15, 1996), Matrix Analysis, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-94846-1 
  • Demmel, James W. (August 1, 1997), Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-389-3 
  • Dym, Harry (2007), Linear Algebra in Action, AMS, ISBN 978-0-8218-3813-6 
  • Gantmacher, Felix R. (2005), Applications of the Theory of Matrices, Dover Publications, ISBN 978-0-486-44554-0 
  • Gantmacher, Felix R. (1990), Matrix Theory Vol. 1 (2nd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1376-8 
  • Gantmacher, Felix R. (2000), Matrix Theory Vol. 2 (2nd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2664-5 
  • Gelfand, Israel M. (1989), Lectures on Linear Algebra, Dover Publications, ISBN 978-0-486-66082-0 
  • Glazman, I. M.; Ljubic, Ju. I. (2006), Finite-Dimensional Linear Analysis, Dover Publications, ISBN 978-0-486-45332-3 
  • Golan, Johnathan S. (January 2007), The Linear Algebra a Beginning Graduate Student Ought to Know (2nd ed.), Springer, ISBN 978-1-4020-5494-5 
  • Golan, Johnathan S. (August 1995), Foundations of Linear Algebra, Kluwer, ISBN 0-7923-3614-3 
  • Greub, Werner H. (October 16, 1981), Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (4th ed.), Springer, ISBN 978-0-8018-5414-9 
  • Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971), Linear algebra (2nd ed.), Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc. 
  • Halmos, Paul R. (August 20, 1993), Finite-Dimensional Vector Spaces, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-90093-3 
  • Friedberg, Stephen H.; Insel, Arnold J.; Spence, Lawrence E. (September 7, 2018), Linear Algebra (5th ed.), Pearson, ISBN 978-0-13-486024-4 
  • Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (February 23, 1990), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6 
  • Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (June 24, 1994), Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1 
  • Lang, Serge (March 9, 2004), Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-96412-6 
  • Marcus, Marvin; Minc, Henryk (2010), A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities, Dover Publications, ISBN 978-0-486-67102-4 
  • Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html 
  • Mirsky, L. (1990), An Introduction to Linear Algebra, Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7 
  • Shafarevich, I. R.; Remizov, A. O (2012), Linear Algebra and Geometry, Springer, ISBN 978-3-642-30993-9, https://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-3-642-30993-9 
  • Shilov, Georgi E. (June 1, 1977), Linear algebra, Dover Publications, ISBN 978-0-486-63518-7 
  • Shores, Thomas S. (December 6, 2006), Applied Linear Algebra and Matrix Analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-33194-2 
  • Smith, Larry (May 28, 1998), Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-98455-1 
  • Trefethen, Lloyd N.; Bau, David (1997), Numerical Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-898-71361-9 

إرشادات وملخصات للدراسة

  • Leduc, Steven A. (May 1, 1996), Linear Algebra (Cliffs Quick Review), Cliffs Notes, ISBN 978-0-8220-5331-6 
  • Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (December 6, 2000), Schaum's Outline of Linear Algebra (3rd ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-136200-9 
  • Lipschutz, Seymour (January 1, 1989), 3,000 Solved Problems in Linear Algebra, McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-038023-3 
  • McMahon, David (October 28, 2005), Linear Algebra Demystified, McGraw–Hill Professional, ISBN 978-0-07-146579-3 
  • Zhang, Fuzhen (April 7, 2009), Linear Algebra: Challenging Problems for Students, The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-9125-0 

وصلات خارجية

هناك كتاب ، Linear Algebra، في معرفة الكتب.


مصادر أونلاين

كتب أونلاين