إحصاء بوز-أينشتاين

(تم التحويل من Bose–Einstein statistics)
ميكانيكا إحصائية • ديناميكا حرارية
Bose Einstein condensate.png
ميكانيكا إحصائية
ديناميكا حرارية
 ع  ن  ت

إحصاء بوز-أينشتاين (بالإنجليزية Bose-Einstein Statistics) وإحصاء فرمي-ديراك Fermi-Dirac Statistics هي نظم لتوزيع الجسيمات الأولية في الإحصاء الكمومي. وتنتمي الپوزونات إلى إحصاء بوز-أينشتاين، وتنتمي الفرميونات إلى إحصاء فرمي-ديراك.

ويعطي كل نظام منها عدد الجسيمات التي لها نفس الرقم الكمومي ذو طاقة E في حالة التوازن الحراري عند درجة حرارة معينة T كلفن لجسيمات متماثلة : بوزونات أو فرميونات.

في حالة عدم وجود تآثر بين تلك الجسيمات تعطينا المعادلة الأتية توزيع البوزونات (تتميز البوزونات بعزم مغزلي 0 أو Spin=1):



حيث:

μ الجهد الكيميائي

تساوي عادة

kB ثابت بولتزمان

T درجة الحرارة كلفن

ويعتمد الجهد الكيميائي على درجة الحرارة.

تعطينا المعادلة عدد الجسيمات في الحالة الكمومية E. وإذا كانت الحالة E منفطرة (مفصصة طبقا لميكانيكا الكم ) فيجب ضرب درجة الانفطار gi في المعادلة السابقة.

إحصاء الجسيمات
إحصاء ماكسويل–بولتسمان
إحصاء بوز–أينشتاين
إحصاء فرمي–ديراك
Parastatistics
Anyonic statistics
Braid statistics
عدِّل

عند درجة الحرارة الحرجة المنخفضة جدا نحصل على الحالة الخاصة في عدم وجود تآثر بين الجسيمات، مع افتراض أن الجهد الكيميائي μ قريب من مستواه الأدنى، نحصل على تكثف بوز-أينشتاين.

وفي حالة توزيع فرمي-ديراك نحصل على المعادلة السابقة ولكن يكون المقام مجموع أجزائه (+) بدلا من الفرق بين جزئيه(-).

أي:

وبالنسبة للفرميونات فهي تتبع إحصاء فرمي-ديراك، وهي تتحول إلى عند الطاقات العالية E إلى توزيع بولتزمان، كما يتحول أيضا توزيع بوز-أينشتاين عند الطاقات العالية إلى توزيع بولتزمان. وكان توزيع بولتزمان أصلا يصف توزيع الذرات أو الجزيئات في نظام غازي في حالة توازن حراري.

تتميز الفرميونات أن لها عزم مغزلي 1/2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ملاحظات

Example n = 4, g = 3:

(there are elements in )

Subset is obtained by fixing all indices to , except for the last index, , which is incremented from to . Subset is obtained by fixing , and incrementing from to . Due to the constraint on the indices in , the index must automatically take values in . The construction of subsets and follows in the same manner.

Each element of can be thought of as a multiset of cardinality ; the elements of such multiset are taken from the set of cardinality , and the number of such multisets is the multiset coefficient


More generally, each element of is a multiset of cardinality (number of dice) with elements taken from the set of cardinality (number of possible values of each die), and the number of such multisets, i.e., is the multiset coefficient

(2)

which is exactly the same as the formula for , as derived above with the aid of a theorem involving binomial coefficients, namely

(3)

To understand the decomposition

(4)

or for example, and

let us rearrange the elements of as follows

Clearly, the subset of is the same as the set

.

By deleting the index (shown in red with double underline) in the subset of , one obtains the set

.

In other words, there is a one-to-one correspondence between the subset of and the set . We write

.

Similarly, it is easy to see that

(empty set).

Thus we can write

or more generally,

;

(5)

and since the sets

are non-intersecting, we thus have

,

(6)

with the convention that

.
(7)

Continuing the process, we arrive at the following formula

Using the convention (7)2 above, we obtain the formula

(8)

keeping in mind that for and being constants, we have

.

(9)

It can then be verified that (8) and (2) give the same result for , , , etc.


التطبيقات متداخلة المجالات

طالع أيضا

الهامش

المراجع

  • Annett, James F. (2004). Superconductivity, Superfluids and Condensates. New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-850755-0. Cite has empty unknown parameter: |coauthors= (help)
  • Carter, Ashley H. (2001). Classical and Statistical Thermodynamics. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-779208-5. Cite has empty unknown parameter: |coauthors= (help)
  • Griffiths, David J. (2005). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Upper Saddle River, NJ: Pearson, Prentice Hall. ISBN 0-13-191175-9. Cite has empty unknown parameter: |coauthors= (help)