إحصاء بوز-أينشتاين

ميكانيكا إحصائية • ديناميكا حرارية

ميكانيكا إحصائية ديناميكا حرارية إحصاء الجسيمات Maxwell-Boltzmann Bose-Einstein • Fermi-Dirac Parastatistics • Anyonic statistics Braid statistics طواقم Microcanonical • Canonical Grand canonical Isothermal–isobaric Isoenthalpic–isobaric ديناميكا حرارية Gas laws • Carnot cycle Dulong-Petit نماذج Debye • Einstein • Ising كمائن ثرموديناميكية طاقة داخلية • إنثالپيا طاقة هلمهولتس الحرة طاقة گيبس الحرة علماء Maxwell • Gibbs • Boltzmann

إحصاء بوز-أينشتاين (بالإنجليزية Bose-Einstein Statistics) وإحصاء فرمي-ديراك Fermi-Dirac Statistics هي نظم لتوزيع الجسيمات الأولية في الإحصاء الكمومي. وتنتمي الپوزونات إلى إحصاء بوز-أينشتاين، وتنتمي الفرميونات إلى إحصاء فرمي-ديراك.

ويعطي كل نظام منها عدد الجسيمات $\langle n(E)\rangle$ التي لها نفس الرقم الكمومي ذو طاقة E في حالة التوازن الحراري عند درجة حرارة معينة T كلفن لجسيمات متماثلة : بوزونات أو فرميونات.

في حالة عدم وجود تآثر بين تلك الجسيمات تعطينا المعادلة الأتية توزيع البوزونات (تتميز البوزونات بعزم مغزلي 0 أو Spin=1):

$\langle n(E)\rangle ={\frac {1}{e^{\beta (E-\mu )}-1}}$

حيث:

μ الجهد الكيميائي

$\beta$ تساوي عادة $1/(k_{B}T)$

k_B ثابت بولتزمان

T درجة الحرارة كلفن

ويعتمد الجهد الكيميائي على درجة الحرارة.

تعطينا المعادلة عدد الجسيمات في الحالة الكمومية E. وإذا كانت الحالة E منفطرة (مفصصة طبقا لميكانيكا الكم ) فيجب ضرب درجة الانفطار g_i في المعادلة السابقة.

عند درجة الحرارة الحرجة المنخفضة جدا $T_{\lambda }$ نحصل على الحالة الخاصة في عدم وجود تآثر بين الجسيمات، مع افتراض أن الجهد الكيميائي μ قريب من مستواه الأدنى، نحصل على تكثف بوز-أينشتاين.

وفي حالة توزيع فرمي-ديراك نحصل على المعادلة السابقة ولكن يكون المقام مجموع أجزائه (+) بدلا من الفرق بين جزئيه(-).

أي:

$\langle n(E)\rangle ={\frac {1}{e^{\beta (E-\mu )}+1}}$

وبالنسبة للفرميونات فهي تتبع إحصاء فرمي-ديراك، وهي تتحول إلى عند الطاقات العالية E إلى توزيع بولتزمان، كما يتحول أيضا توزيع بوز-أينشتاين عند الطاقات العالية إلى توزيع بولتزمان. وكان توزيع بولتزمان أصلا يصف توزيع الذرات أو الجزيئات في نظام غازي في حالة توازن حراري.

تتميز الفرميونات أن لها عزم مغزلي 1/2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ملاحظات

Example n = 4, g = 3:

$S(4,3)=\left\{\underbrace {(1111),(1112),(1113)} _{(a)},\underbrace {(1122),(1123),(1133)} _{(b)},\underbrace {(1222),(1223),(1233),(1333)} _{(c)},\right.$

$\left.\underbrace {(2222),(2223),(2233),(2333),(3333)} _{(d)}\right\}$

$\displaystyle w(4,3)=15$ (there are $\displaystyle 15$ elements in $\displaystyle S(4,3)$)

Subset $\displaystyle (a)$ is obtained by fixing all indices $\displaystyle m_{i}$ to $\displaystyle 1$, except for the last index, $\displaystyle m_{n}$, which is incremented from $\displaystyle 1$ to $\displaystyle g=3$. Subset $\displaystyle (b)$ is obtained by fixing $\displaystyle m_{1}=m_{2}=1$, and incrementing $\displaystyle m_{3}$ from $\displaystyle 2$ to $\displaystyle g=3$. Due to the constraint $\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}$ on the indices in $\displaystyle S(n,g)$, the index $\displaystyle m_{4}$ must automatically take values in $\displaystyle \left\{2,3\right\}$. The construction of subsets $\displaystyle (c)$ and $\displaystyle (d)$ follows in the same manner.

Each element of $\displaystyle S(4,3)$ can be thought of as a multiset of cardinality $\displaystyle n=4$; the elements of such multiset are taken from the set $\displaystyle \left\{1,2,3\right\}$ of cardinality $\displaystyle g=3$, and the number of such multisets is the multiset coefficient

$\displaystyle \left\langle {\begin{matrix}3\\4\end{matrix}}\right\rangle ={3+4-1 \choose 3-1}={3+4-1 \choose 4}={\frac {6!}{4!2!}}=15$

More generally, each element of $\displaystyle S(n,g)$ is a multiset of cardinality $\displaystyle n$ (number of dice) with elements taken from the set $\displaystyle \left\{1,\dots ,g\right\}$ of cardinality $\displaystyle g$ (number of possible values of each die), and the number of such multisets, i.e., $\displaystyle w(n,g)$ is the multiset coefficient

$\displaystyle w(n,g)=\left\langle {\begin{matrix}g\\n\end{matrix}}\right\rangle ={g+n-1 \choose g-1}={g+n-1 \choose n}={\frac {(g+n-1)!}{n!(g-1)!}}$

(2)

which is exactly the same as the formula for $\displaystyle w(n,g)$, as derived above with the aid of a theorem involving binomial coefficients, namely

$\sum _{k=0}^{n}{\frac {(k+a)!}{k!a!}}={\frac {(n+a+1)!}{n!(a+1)!}}.$

(3)

To understand the decomposition

$\displaystyle w(n,g)=\sum _{k=0}^{n}w(n-k,g-1)=w(n,g-1)+w(n-1,g-1)+\cdots +w(1,g-1)+w(0,g-1)$

(4)

or for example, $\displaystyle n=4$ and $\displaystyle g=3$

$\displaystyle w(4,3)=w(4,2)+w(3,2)+w(2,2)+w(1,2)+w(0,2),$

let us rearrange the elements of $\displaystyle S(4,3)$ as follows

$S(4,3)=\left\{\underbrace {(1111),(1112),(1122),(1222),(2222)} _{(\alpha )},\underbrace {(111{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(112{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(122{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(222{\color {Red}{\underset {=}{3}}})} _{(\beta )},\right.$

$\left.\underbrace {(11{\color {Red}{\underset {==}{33}}}),(12{\color {Red}{\underset {==}{33}}}),(22{\color {Red}{\underset {==}{33}}})} _{(\gamma )},\underbrace {(1{\color {Red}{\underset {===}{333}}}),(2{\color {Red}{\underset {===}{333}}})} _{(\delta )}\underbrace {({\color {Red}{\underset {====}{3333}}})} _{(\omega )}\right\}.$

Clearly, the subset $\displaystyle (\alpha )$ of $\displaystyle S(4,3)$ is the same as the set

$\displaystyle S(4,2)=\left\{(1111),(1112),(1122),(1222),(2222)\right\}$.

By deleting the index $\displaystyle m_{4}=3$ (shown in red with double underline) in the subset $\displaystyle (\beta )$ of $\displaystyle S(4,3)$, one obtains the set

$\displaystyle S(3,2)=\left\{(111),(112),(122),(222)\right\}$.

In other words, there is a one-to-one correspondence between the subset $\displaystyle (\beta )$ of $\displaystyle S(4,3)$ and the set $\displaystyle S(3,2)$. We write

$\displaystyle (\beta )\longleftrightarrow S(3,2)$.

Similarly, it is easy to see that

$\displaystyle (\gamma )\longleftrightarrow S(2,2)=\left\{(11),(12),(22)\right\}$

$\displaystyle (\delta )\longleftrightarrow S(1,2)=\left\{(1),(2)\right\}$

$\displaystyle (\omega )\longleftrightarrow S(0,2)=\varnothing$ (empty set).

Thus we can write

$\displaystyle S(4,3)=\bigcup _{k=0}^{4}S(4-k,2)$

or more generally,

$\displaystyle S(n,g)=\bigcup _{k=0}^{n}S(n-k,g-1)$;

(5)

and since the sets

$\displaystyle S(i,g-1)\ ,\ {\rm {for}}\ i=0,\dots ,n$

are non-intersecting, we thus have

$\displaystyle w(n,g)=\sum _{k=0}^{n}w(n-k,g-1)$,

(6)

with the convention that

$\displaystyle w(0,g)=1\ ,\forall g\ ,{\rm {and}}\ w(n,0)=1\ ,\forall n$.

(7)

Continuing the process, we arrive at the following formula

$\displaystyle w(n,g)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\sum _{k_{2}=0}^{n-k_{1}}w(n-k_{1}-k_{2},g-2)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\sum _{k_{2}=0}^{n-k_{1}}\cdots \sum _{k_{g}=0}^{n-\sum _{j=1}^{g-1}k_{j}}w(n-\sum _{i=1}^{g}k_{i},0).$

Using the convention (7)₂ above, we obtain the formula

$\displaystyle w(n,g)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\sum _{k_{2}=0}^{n-k_{1}}\cdots \sum _{k_{g}=0}^{n-\sum _{j=1}^{g-1}k_{j}}1,$

(8)

keeping in mind that for $\displaystyle q$ and $\displaystyle p$ being constants, we have

$\displaystyle \sum _{k=0}^{q}p=qp$.

(9)

It can then be verified that (8) and (2) give the same result for $\displaystyle w(4,3)$, $\displaystyle w(3,3)$, $\displaystyle w(3,2)$, etc.

طالع أيضا

• Bose–Einstein correlations
• بوزون
• بوزون هيگز
• Parastatistics
• Planck's law of black body radiation
• جسيم أولي
• إحصاء فرمي-ديراك
• إحصاء ماكسويل-بولتزمان
• توزيع بولتزمان
• ميكانيكا إحصائية

المراجع

• Annett, James F. (2004). Superconductivity, Superfluids and Condensates. New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-850755-0.
• Carter, Ashley H. (2001). Classical and Statistical Thermodynamics. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-779208-5.
• Griffiths, David J. (2005). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Upper Saddle River, NJ: Pearson, Prentice Hall. ISBN 0-13-191175-9.