تحويل لجاندر

(تم التحويل من Legendre transformation)
Diagram illustrating the Legendre transformation of the function , shown in red. is the value of the Legendre transform , where , and is found by the intersection of the tangent line at point (shown in blue) with the vertical axis at . Note that for any other point on the red curve, a line drawn through that point with the same slope as the blue line will have a y-intercept above the point , showing that is indeed a maximum. Alternatively, is the vertical distance at between the red line and the blue line shifted up to pass through the origin, i.e. the maximum value of .

في الرياضيات والفيزياء، تحويل ليجاندر Legendre transformation، هو تحويل رياضي ينتسب إلى عالم الرياضيات أدريان ليجاندر يختص بتحويل التماس ويشكل طريقة حسابية هامة لتحويل المتغيرات في الدوال الرياضية . فهو يحول دالة من نوع إلى دالة

حيث ينشأ المتغير من مشتقة الدالة .

أي أن:

وبالعكس:

.

ويمكن كتابة معادلات قبل وبعد التحويل كالآتي:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

استنباطه

الغرض من تحويل ليجاندر هو تغيير اعتماد دالة على المتغير إلى اعتمادها على متغير آخر حيث:

فعندما نصيغ الدالة المعتمدة على

,

يصبح الدالة أيضا معتمدة على المتغير .

وعندما نقوم بمعلية التفاضل الكلي ل نحصل على:

.

وبالمقارنة ب و

نحصل على:

.

أي أن:

,

وبعد إجراء التكامل نحصل على:

.

وتسمى الدالة دالة ليجاندر المحولة من الدالة . ولا أهمية لإشارة الدالة

لذلك يمكننا كتابة

oder

ويعتمد اختيار الإشارة على المعني الفيزيائي للدالة .


معناه الهندسي

سنوضح تحويل ليجاندر بواسطة الرسم المرسوم أعلاه : يمكن رسم المنحنى الأحمر عن طريق استبدال كل نقاطه بتحويلات ليجاندر التي تعطينا عددا كبيرا من المماسات التي تحيط وتمس المنحنى الأحمر. وهذا ما تقوم به تحيلات ليجاندر . فالدالة الناتجة ترتب ميل الممسات لكل نقطة بحسب تقاطع خط التماس مع المحور Y . إذاّ فتلك الممسات تصف المنحني وصفا كاملا - ولكن باستخدام إحداثية أخرى ، وهي بدلا من .

في حالة عدة متغيرات

يتغير اعتماد دالة تعتمد على المتغير إلى متغير آخر عن طريق التفاضل الجزئي للدالة بالنسبة إلى كالآتي:

.

ويمثل فيها الميل الهندسي في الاتجاه x من الدالة .

ذلك نتحدث عن تحويل ليجااندر بأنه "تحويل مماسات " . وتسمى الدالة

"دالة ليجراند المحولة" .

ويمكننا استنباط دالة ليجراند المحولة كالآتي: يمكن كتابة الدالة على الصورة :

وإذا عرّفنا , حصلنا على دالة ليجراند المحولة :

.

في أغلب أحوال توضع ونحصل على :

.

بالنسبة إلى التعريف الأخير يكون الجزء لنقطة المماس على مع اتخاذ المستوي هي دالة ليجراند المحولة . وتوصف الدالات في ذلك المستوي بأنها "مقطع المحور" .

أي ينشأ تبديل المتغيرات من خلال طرح حاصل ضرب الإحداثيات الأولية و الجديدة < math>u x</math> من الدالة الأصلية :

.

ويبدو ذلك واضحا عند مشاهدة إلى التفاضل الكلي لدالة ليجاندر المحولة :

.

تطبيقاته

يطبق تحويل ليجاندر في الفيزياء في مسائل الترموديناميكا الإحصائية ، مثل تحويل معادلات الانتقال بين الجهود الترموديناميكية تحت طروف معينة وكذلك عند الانتقال من دالة ليجاندر إلى ميكانيك هاميلتون أو إلى ميكانيك لاغرانج .

وفي علم الحركة الحرارية نستخدمها مع اختيار الإشارة السفلى ، أي بوضع ().

ويقوم تحويل ليجاندر - وكذلك تحويل نقاط الممسات بصفة عامة - بوظية هامة ي الميكانيكا و حساب التغيرات وفي نظرية المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى . وعند استخدام دالة ليجراندر المحولة في الميكانيكا نستخدم الإشارة العليا في المعادلة () طبقا للمتفق عليه.

مثـال دالة هاميلتون

في الميكانيكا نستنبط معادلة هاميلتون من معادلة لاغرانج عن طريق استخدام تحويل ليجاندر:

وفي الترموديناميكا يمكننا عن طريق تحويل ليجاندر استنباط الجهد الترمويناميكي من المعادلات الأساسية للترموديناميكا. عندئذ يمكن الانتقال من الطاقة الداخلية U (وهي تعتمد على الإنتروبيا) S إلى طاقة هيلمهولتز F التي تعتمد على درجة الحرارة T:

وهنا يختص تفاضل المعادلة (U(S,V,N بانسبة لإنتروبيا S, حيث نضع كلا من V و N كثوابت .

بالمثل نستخدمها عند دراسة جهد ترموديناميكي و تحوله إلى جهد آخر ، مثلما يحدث عند الانتقال من الإنثالبي H إلى طاقة جيبس G:

وبالمثل نستطيع الحصول على جهود ترموديناميكية أخرى أننا عن طريق تحويل ليجاندر نستطيع الانتقال إلى إحداثيات معممة والتي عن طريقها يمكننا استبدالها بالقوة الترموديناميكية المقترنة.

أمثلة الدالة الأسية

ملف:LegendreExample.png
رسم الرسم البياني للدالة ex بخط أحمر ، ورسمت دالة تحويل ليجاندر لها بنقاط زرقاء .

الدالة الأسية ex

لها دالة تحويل ليجاندر  x ln x − x&nbsp حيث أن مشتقاتها الأولى ex و  ln x معكوسة بالنسبة لبعضها . وهذا يبين أن ليس من الضروري أن يتفق الحيزين الرياضييين للدالتين مع بعضهما .

كذلك بالنسبة إلى الدالة التربيعية :

حيث A مصفوف متناظر غير متغير (مصفوف n-في-n) ودالة تحويل ليجاندر له هي:

انظر أيضاً

المصادر

  • Arnol'd, Vladimir Igorevich (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (second edition). Springer. ISBN 0-387-96890-3.
  • Rockafellar, R. Tyrrell (1996). Convex Analysis (paperback republication of 1970 ed.). Princeton University Press. ISBN 0-691-01586-4.
  • Zia, R. K. P.; et al. (2009). "Making Sense of the Legendre Transform". arXiv:0806.1147. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help); Explicit use of et al. in: |author= (help)

وصلات خارجية