منطق بولياني

المنطق البولياني هو نظام كامل للعمليات المنطقية. أخذ تسميته من العالم جورج بول الذي قام بتعريف النظام الجبري للمنطق في منتصف القرن التاسع عشر. للمنطق البولياني العديد من التطبيقات في الالكترونيات، أجهزة الحاسوب والبرامج الحاسوبية.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 خصائص

نعرف عمليتين منطقيتين رئيسيتن نرمز للأولى ·"·" أو $\land /\cap$، وهي تعبر عن عملية "و"، والعملية "+" أو $\lor /\cup$ وهي تعبر عن العملية "أو"، كما يستخدم الرمز 0 للدلالة على الحالة المنطقية "خطأ" FALSE (مجموعة خالية)، والرمز 1 يعبر عن الحالة المنطقية "صح" TRUE. ويحقق كل من المنطق البولياني ومنطق المجموعات الخصائص التالية:

$a\lor (b\lor c)=(a\lor b)\lor c$	$a\land (b\land c)=(a\land b)\land c$	التجميع
$a\lor b=b\lor a$	$a\land b=b\land a$	التبديل
$a\lor (a\land b)=a$	$a\land (a\lor b)=a$	الامتصاص
$a\lor (b\land c)=(a\lor b)\land (a\lor c)$	$a\land (b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)$	التوزيع
$a\lor \lnot a=1$	$a\land \lnot a=0$	الإتمام
$a\lor a=a$	$a\land a=a$	التماثل
$a\lor 0=a$	$a\land 1=a$	الإحاطة
$a\lor 1=1$	$a\land 0=0$
$\lnot 0=1$	$\lnot 1=0$	0 and 1 are complements
$\lnot (a\lor b)=\lnot a\land \lnot b$	$\lnot (a\land b)=\lnot a\lor \lnot b$	قوانين دي مورگان
$\lnot \lnot a=a$		involution

The first three properties define a lattice; the first five define a Boolean algebra. The remaining five are a consequence of the first five.

 عمليات مشابهة للعمليات الجبرية العادية

A.1 = A

A.0 = 0

A+0 = A

A.B = B.A

A+B+C = (A+B)+C = A+(B+C)

A.B.C = (A.B).C = A.(B.C)

A(B+C) = A.B+A.C

 قوانين غير متطابقة مع الجبر العادي: A+1 = 1

A+A = A A.A = A A+Ā = 1 A. Ā = 0 A+(B.C) = (A+B)(A+C) A+A.B = A A(A+B) = A

 لبديهيات

0.0 = 0 1.0 = 0 0+0 = 0 0+1 = 1 1.1 = 1 بالإضافة إلى نظريتي ديمورغان.

 الجبر البولوني في وصف الدوائر الإلكتروني

لاستنتاج التعبير البولوني لأي دائرة إلكترونية، نبدأ من أقصى اليسار للدائرة الإلكترونية متجهين للخرج النهائي وذلك بكتابة الخرج لكل بوابة. وكمثال على ما سبق الشكل التالي: مثال: ليكن لدينا التابع التالي: F = A.E.I+Ā.E.Ī+ Ā.E.I+A.Ē.Ī+A.Ē.I F = A.E(I+ Ī)+A.Ē(I+ Ī)+ Ā.E.I نخرج عوامل مشترك F = A.E.1 + A.Ē.1 + Ā.E.I حسب الخواص نعوض القيم كما هو موضح F = A.E + A.Ē + Ā.E.I لدينا التابع الجديد وهو F = A.(E+Ē) + Ā.E.I نخرج عوامل مشتركة مرة أخرى F = A.1 + Ā.E.I نعوض القيم F = A + Ā.E.I التابع الجديد F = (A+ Ā) (A+E.I) والآن وفي هذه المرحلة نقوم بتوزيع الجداء على الجمع F = A+E.I فيكون هذا التابع وهو بأبسط صورة ممكنة

 انظر أيضاً

• Boolean algebra topics
• Boolean domain
• Boolean function
• Boolean-valued function
• Laws of Form
• Logic minimization
• Logic gate
• Logical graph
• Venn diagram
• Ternary logic

 روابط خارجية

• The Calculus of Logic, by George Boole, Cambridge and Dublin Mathematical Journal Vol. III (1848), pp. 183–98.
• Logical Formula Evaluator (for Windows), a software which calculates all possible values of a logical formula
• Maiki & Boaz BDD-PROJECT, a Web Application for BDD reduction and visualization.