مثلث پاسكال

في مثلث پاسكال، كل عدد هو حاصل جمع العددين فوقه مباشرة.

في الرياضيات مثلث باسكال هو منظومة هندسية لمكافئ ثنائي في المثلث. سميت على اسم بليز باسكال على الرغم من قيام العديد من العلماء بدراسته قبل باسكال في الهند، بلاد فارس، الصين، وإيطاليا. يتم ترقيم الصفوف في مثلث باسكال بدءًا من الصفر، وغالبًا ما تتوسط الأعداد في الصفوف ذات الأرقام الأعداد الموجودة في الصفوف الزوجية في المكان. يتم إنشاء المثلث ببساطة على النحو التالي:

  1. في الصف ذو الرقم صفر، اكتب فقط الرقم 1
  2. من أجل إنشاء عناصر الصف الثاني، اجمع العدد الموجود في أعلى ويمين العدد إلى العدد الموجود في أعلى ويسار العدد فينتج قيمة العنصر الجديد
  3. إذا لم يوجد عنصر في أعلى ويمين (أو أعلى أو يسار العدد) اجمع صفر إلى العدد الآخر.


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

مميزات مثلث باسكال:

  • الأرقام التي على حافة المثلث هي كلها 1.
  • الرقم الذي بجانب الحافة في السطر n (الترقيم يبدأ من 0) هو n
  • مجموع الأرقام في السطر رقم n (الترقيم يبدأ من 0) هو
  • مجموع الارقام في الأماكن الزوجية في السطر مساو لمجموع الأرقام في الأماكن الفردية في نفس السطر.
  • الأرقام الموجودة في كل سطر هي عبارة عن: حيث n هو عبارة عن ترتيب (رقم) السطر، علماً أن السطر الأول ترتيبه (الصفر)، أي أن: .
  • مجموع الأرقام بشكل مائل حتى الخط المنصف، يساوي إلى الرقم المحاذي لها بشكل مائل (الشكل ((*)) يوضح ذلك).
الشكل ((*))
في الصورة على اليمين (1+3=4)
وفي الصورة على اليسار (1+2=3)


التاريخ

Yang Hui's triangle, as depicted by the Chinese using rod numerals, appears in a mathematical work by Zhu Shijie, dated 1303. The title reads "The Old Method Chart of the Seven Multiplying Squares" (Chinese: 古法七乘方圖; the fourth character 椉 in the image title is archaic).
Blaise Pascal's version of the triangle


امتدادات

مثلث پاسكال يمكن مده إلى صف الأعداد السالبة.

First write the triangle in the following form:

m = 0 m = 1 m = 2 m = 3 m = 4 m = 5 ...
n = 0 1 0 0 0 0 0 ...
n = 1 1 1 0 0 0 0 ...
n = 2 1 2 1 0 0 0 ...
n = 3 1 3 3 1 0 0 ...
n = 4 1 4 6 4 1 0 ...

Next, extend the column of 1s upwards:

m = 0 m = 1 m = 2 m = 3 m = 4 m = 5 ...
n = −4 1 ...
n = −3 1 ...
n = −2 1 ...
n = −1 1 ...
n = 0 1 0 0 0 0 0 ...
n = 1 1 1 0 0 0 0 ...
n = 2 1 2 1 0 0 0 ...
n = 3 1 3 3 1 0 0 ...
n = 4 1 4 6 4 1 0 ...

Now the rule:

can be rearranged to:

which allows calculation of the other entries for negative rows:

m = 0 m = 1 m = 2 m = 3 m = 4 m = 5 ...
n = −4 1 −4 10 −20 35 −56 ...
n = −3 1 −3 6 −10 15 −21 ...
n = −2 1 −2 3 −4 5 −6 ...
n = −1 1 −1 1 −1 1 −1 ...
n = 0 1 0 0 0 0 0 ...
n = 1 1 1 0 0 0 0 ...
n = 2 1 2 1 0 0 0 ...
n = 3 1 3 3 1 0 0 ...
n = 4 1 4 6 4 1 0 ...

This extension preserves the property that the values in the mth column viewed as a function of n are fit by an order m polynomial, namely

.

This extension also preserves the property that the values in the nth row correspond to the coefficients of (1 + x)n:

For example:

When viewed as a series, the rows of negative n diverge. However, they are still Abel summable, which summation gives the standard values of 2n. (In fact, the n = -1 row results in Grandi's series which "sums" to 1/2, and the n = -2 row results in another well-known series which has an Abel sum of 1/4.)

Another option for extending Pascal's triangle to negative rows comes from extending the other line of 1s:

m = −4 m = −3 m = −2 m = −1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3 m = 4 m = 5 ...
n = −4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
n = −3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
n = −2 1 0 0 0 0 0 0 0 ...
n = −1 1 0 0 0 0 0 0 ...
n = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ...
n = 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 ...
n = 2 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 ...
n = 3 0 0 0 0 1 3 3 1 0 0 ...
n = 4 0 0 0 0 1 4 6 4 1 0 ...

Applying the same rule as before leads to

m = −4 m = −3 m = −2 m = −1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3 m = 4 m = 5 ...
n = −4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
n = −3 −3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
n = −2 3 −2 1 0 0 0 0 0 0 0 ...
n = −1 −1 1 −1 1 0 0 0 0 0 0 ..
n = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ...
n = 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 ...
n = 2 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 ...
n = 3 0 0 0 0 1 3 3 1 0 0 ...
n = 4 0 0 0 0 1 4 6 4 1 0 ...

Note that this extension also has the properties that just as

we have

Also, just as summing along the lower-left to upper-right diagonals of the Pascal matrix yields the Fibonacci numbers, this second type of extension still sums to the Fibonacci numbers for negative index.

Either of these extensions can be reached if we define

and take certain limits of the gamma function, .

انظر أيضاً

الهامش

وصلات خارجية