في الرياضيات، قاعدة پاسكال هي متطابقة توافيقية عن معاملات ثنائيات الحدود. وتنص على أنه لأي عدد طبيعي n يكون لدينا
![{\displaystyle {n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}={n \choose k}\quad {\text{for }}1\leq k\leq n}](https://www.marefa.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314c258eda815fbae8fd7f80f80484c361bbc02b)
حيث
هو معامل لثنائية الحدود. ويشيع كتابة ذلك كالتالي
![{\displaystyle {n \choose k}+{n \choose k-1}={n+1 \choose k}\quad {\text{for }}1\leq k\leq n+1}](https://www.marefa.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d78613a72744616026c0089b0dba1c13426cb35f)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
برهان جبري
نحتاج أن نُظهـِر
![{\displaystyle {n \choose k}+{n \choose k-1}={n+1 \choose k}.}](https://www.marefa.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9df880ec8838a359cfbd2c4f9e93ffd5f0864f96)
ولنبدأ بكتابة الطرف الأيسر
![{\displaystyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}+{\frac {n!}{(k-1)!(n-(k-1))!}}.}](https://www.marefa.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6242de41233073838ebfa3c6f73e92cc81a9acac)
وبتوحيد المقامات ثم التبسيط، نحصل على
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\qquad {\frac {n!}{k!(n-k)!}}+{\frac {n!}{(k-1)!(n-k+1)!}}\\\\&={\frac {(n-k+1)n!}{(n-k+1)k!(n-k)!}}+{\frac {kn!}{k(k-1)!(n-k+1)!}}\\\\&={\frac {(n-k+1)n!+kn!}{k!(n-k+1)!}}\\\\&={\frac {(n+1)n!}{k!((n+1)-k)!}}\\\\&={\frac {(n+1)!}{k!((n+1)-k)!}}\\\\&={n+1 \choose k}.\end{aligned}}}](https://www.marefa.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66dc1c222d15094d1dc53252b476d8d3e3feff80)
تعميم
فلنفترض
و
. ثم
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {n-1 \choose k_{1}-1,k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}+{n-1 \choose k_{1},k_{2}-1,k_{3},\dots ,k_{p}}+\cdots +{n-1 \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}-1}\\&={\frac {(n-1)!}{(k_{1}-1)!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+{\frac {(n-1)!}{k_{1}!(k_{2}-1)!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+\cdots +{\frac {(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots (k_{p}-1)!}}\\&={\frac {k_{1}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+{\frac {k_{2}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+\cdots +{\frac {k_{p}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={\frac {(k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{p})(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}\\&={\frac {n(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}.\end{aligned}}}](https://www.marefa.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8181b5b6f5ae89882fdc12cdecf32f4aae037f84)
انظر أيضاً
المصادر
وصلات خارجية
|
---|
التجارب والاختراعات وعمله | |
---|
أعماله | |
---|
أسرته | |
---|