مبرهنة ولسون

في الرياضيات، تنص مبرهنة ولسون على أن عدداً صحيحاً طبيعياً ما n > 1 هو عدد أولي إذا وفقط إذا توفر ما يلي :

$(n-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {n}}$

وبتعبير آخر، إذا وفقط إذا كان $(n-1)!\ +1$ مضاعفا ل n.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 التاريخ

توصل ابن الهيثم لهذه المبرهنة في العصور الوسطى، لكنها نسبت إلى جون ولسون تلميذ الرياضياتي الإنگليزي إدوارد ويرنگ الذي صاغها في القرن الثامن عشر. أعلن ويرنگ تلك المبرهنة في عام 1770، على الرغم من أنه لا هو ولا ولسون أمكنهم إثبات ذلك. استطاع جوزيف لاگرانج في عام 1773، أن يقدم أول إثبات للمبرهنة. هناك أدلة على أن لايبنتس كان على علم أيضًا بتلك المبرهنة قبل ذلك بنحو قرن، لكنه لم ينشر ذلك.

 مثال

يبين الجدول التالي في عموده الأول قيم n من 2 حتي 30، وقيم $(n-1)!$ في عموده الثاني. أما العمود الثالث فيحتوي على الباقي عند قسمة $(n-1)!$ على n. لُونت السطور حيث n عدد أولي باللون الودي بينما لُونت السطور حيث n غير أولي باللون الأخضر.

جدول تطابق (الباقي قياس ن)

$n$	$(n-1)!$	$(n-1)!\ {\bmod {\ }}n$
2	1	1
3	2	2
4	6	2
5	24	4
6	120	0
7	720	6
8	5040	0
9	40320	0
10	362880	0
11	3628800	10
12	39916800	0
13	479001600	12
14	6227020800	0
15	87178291200	0
16	1307674368000	0
17	20922789888000	16
18	355687428096000	0
19	6402373705728000	18
20	121645100408832000	0
21	2432902008176640000	0
22	51090942171709440000	0
23	1124000727777607680000	22
24	25852016738884976640000	0
25	620448401733239439360000	0
26	15511210043330985984000000	0
27	403291461126605635584000000	0
28	10888869450418352160768000000	0
29	304888344611713860501504000000	28
30	8841761993739701954543616000000	0

 تطبيقات

هذه المبرهنة لا تستعمل من أجل تحديد أولية عدد ما لأنه سرعان ما يصير !(n-1) كبيرا جدا بمجرد ما يصير n كبيرا شيئا ما.

باستخدام مبرهنة ولسون، for any odd prime p = 2m + 1 ويمكننا اعادة ترتيب الطرف الأيسر من

$1\cdot 2\cdots (p-1)\ \equiv \ -1\ {\pmod {p}}$

للحصول على المتساوية

$1\cdot (p-1)\cdot 2\cdot (p-2)\cdots m\cdot (p-m)\ \equiv \ 1\cdot (-1)\cdot 2\cdot (-2)\cdots m\cdot (-m)\ \equiv \ -1{\pmod {p}}.$

وهذا يصبح

$\prod _{j=1}^{m}\ j^{2}\ \equiv (-1)^{m+1}{\pmod {p}}.$

يمكننا استخدام هذه الحقيقة لإثبات جزء من نتيجة شهيرة: لأي عدد أولي p بحيث p ≡ 1 (قياس 4) العدد (−1) هو مربع (الراسب التربيعي) قياس p. لأنه بافتراض p = 4k + 1 لبعض الأعداد الصحيحة k. فإنه بذلك يمكننا أخذ m = 2k فوق، ونستنتج

${\biggl (}\prod _{j=1}^{2k}\ j{\biggr )}^{2}=\prod _{j=1}^{2k}\ j^{2}\ \equiv (-1)^{2k+1}\ =-1{\pmod {p}}.$

وقد أُستُخدِمت مبرهنة ولسون لإنشاء صيغ للأعداد الأولية، إلا أنها بطيئة جداً لكي تكون ذات قيمة عملية.

 تعميم گاوس

گاوس أثبت that if m > 2

$\prod _{k=1 \atop \gcd(k,m)=1}^{m}\!\!k\ \equiv {\begin{cases}-1{\pmod {m}}&{\text{if }}m=4,\;p^{\alpha },\;2p^{\alpha }\\\;\;\,1{\pmod {m}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

حيث p هي عدد أولي فردي، و $\alpha$ is a positive integer. قيم m التي يكون لها حاصل الضرب −1 هي بدقة القيم حيث يوجد جذر بدائي (قياس m).

وهذا يقوم بتعميم أوسع إلى حقيقة أنه في أي مجموعة أبلية محدودة، إما أن حاصل ضرب كل العناصر يكون هو الوحدة identity، أو أن هنالك بالتحديد عنصر واحد a من الرتبة 2 (ولكن ليس كلاهما). في الحالة اللاحقة، فإن حاصل ضرب كل العناصر يساوي a.

 انظر أيضاً

• جذر بدائي قياس ن
• الحساب النمطي
• مبرهنة اويلر
• مبرهنة فيرما الصغرى
• عدد ولسون الأولي
• ابن الهيثم
• جدول تطابق

 المراجع

• Ore, Oystein (1988). Number Theory and its History. Dover. pp. 259–271. ISBN 0-486-65620-9.

 وصلات خارجية

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Wilson theorem", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• Eric W. Weisstein, Wilson's Theorem at MathWorld.