مبرهنة أويلر

في نظرية الأعداد، مبرهنة أويلر لصاحبها ليونهارد أويلر هي كما يلي :

إذا كان n عدد طبيعي و a أولي مع n، إذن
حيث الدالة مؤشر أويلر

هذه المبرهنة هي توسيع لمبرهنة فيرما الصغرى.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

البرهان

1. يمكن برهنة مبرهنة اويلر باستخدام مفاهيم من نظرية المجموعات:[1]

لو كان a هو أي number coprime to n حيث a is in one of these residue classes, and its powers a, a2, ..., ak ≡ 1 (mod n) are a subgroup. Lagrange's theorem says k must divide φ(n), i.e. there is an integer M such that kM = φ(n). ولكن حينئذ،

2. كما يوجد أيضاً برهان مباشر:[2][3] Let R = {x1, x2, ..., xφ(n)} be a reduced residue system (mod n) وافرض أن a هو أي integer coprime to n.

وباستخدام قانون الشطب لشطب xis فيعطي مبرهنة اويلر:


انظر أيضاً

الهامش

  1. ^ Ireland & Rosen, corr. 1 to prop 3.3.2
  2. ^ Hardy & Wright, thm. 72
  3. ^ Landau, thm. 75

وصلات خارجية