فضاء شعاعي

الفضاء الشعاعي ( الفضاء الخطي ) هو كائن أساسي في دراسة الجبر الخطي.

فعندما نعتبر المتجهات مع العمليات المطبقة عليها من جمع متجهات و ضرب قياسي و بعض العمليات الأخرى مثل الانغلاق لهذه العمليات ، تجميعية هذه العمليات فإننا نصل لوصف كائن رياضي ندعوه (فضاءا شعاعيا) .

المتجهات في الفضاء السعاعي لا تمثل تحديدا متجهات هندسية بل يمكن ان تكون أي كائن رياضي يحقق بدهيات الفضاء الشعاعي . فكثيرات الحدود من الرتبة ≤n مع معاملات حقيقية تشكل فضاءا شعاعيا على سبيل المثال.

يشكل الفضاء الشعاعي كائنا رياضيا تجريديا عظيم الفائدة في فروع الرياضيات الحديثة .

 التعريف

افتضر أن Ｆ هو حقل (مثل الأعداد الحقيقية، الأعداد العقدية) والذي عناصره تدعى كمية عددية. يعرف الفضاء الشعاعي في الحقل Ｆ على أنه مجموعة V هي مع عمليتين ثنائيتين

• جمع الأشعة.

v + w حيث v, w ∈ V

• ضرب قياسي (بعدد سلمي حقيقي).

av حيث a ∈ F و v ∈ V

1. جمع الأشعة هو عملية تجميعية:

من أجل u, v, w ∈ V لدينا u + (v + w) = (u + v) + w

1. جمع الأشعة هو عملية تبديلية:

من أجل v, w ∈ V لدينا v + w = w + v.

1. لعملية جمع الأشعة يوجد عنصر حيادي:

يوجد عنصر 0 ∈ V يدعى الشعاع الصفري بحيث v + 0 = v من أجل جميع الأشعة v ∈ V.

1. لعملية جمع الأشعة عنصر مقلوب:

من أجل جميع الأشعة v ∈ V يوجد عنصر w ∈ V يدعى الشعاع العكسي بحيث v + w = 0.

1. من الممكن تنفيذ عملية توزيع جداء القيم السلمية (العددية) على جمع الأشعة:

من أجل a ∈ F و v, w ∈ V لدينا a (v + w) = a v + a w.

1. من الممكن تنفيذ عملية توزيع جداء القيم السلمية على جمع الحقول:

من أجل a, b ∈ F و v ∈ V لدينا (a + b) v = a v + b v.

1. هناك عنصر حيادي لعملية الجداء السلمي:

من أجل v ∈ V لدينا 1 v = v حيث 1 هو العنصر الحيادي لعملية الجداء في الحقل الشعاعي F.