صيغة كوشي التكاملية

يجب ألا يـُخلـَط بينها وبين مبرهنة كوشي التكاملية or صيغة كوشي لتكامل مكرَّر.

في الرياضيات، صيغة كوشي التكاملية Cauchy's integral formula ، المسماة على اسم أوگوستان-لوي كوشي، هي بيان مركزي في التحليل المركب. وتعبر عن حقيقة أن الدالة تامة الشكل المعرّفة على قرص تـُحدَّد بالكامل بقيمها على حدود القرص، وتعطي صيغاً تكاملية لكل مشتقات الدالة تامة الشكل. وتبين صيغة كوشي أنه، في التحليل المركب، "التفاضل هو مكافئ للتكامل": فالتفاضل المركب، مثل التكامل، يتصرف جيداً تحت حدود منتظمة -- وهي نتيجة لا تسري في حالة التحليل الحقيقي.

تنص على أنه يمكن تحديد قيمة التابع التحليلي، المعرف على قرص، في أي نقطة داخل القرص بواسطة قيم هذا التابع على محيط هذا القرص، أي

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 المبرهنة

$f(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{C}{f(z) \over z-a}\,dz\!$

ومن هذه الصيغة يمكن استنتاج قابلية هذا التابع للمفاضلة بعدد لا نهائي من المرات

$f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\oint _{C}{f(z) \over (z-a)^{n+1}}\,dz.$

 مثال

Surface of the real part of the function g(z) = z² / (z² + 2z + 2) and its singularities, with the contours described in the text.

خذ في الاعتبار المعادلة:

$g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}}$

and the contour described by |z| = 2, call it C.

To find the integral of g(z) around the contour, we need to know the singularities of g(z). Observe that we can rewrite g as follows:

$g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}$

حيث $z_{1}=-1+i,$ $z_{2}=-1-i.$

 انظر أيضاً

• معادلات كوشي-ريمان
• Methods of contour integration
• Nachbin's theorem
• Morera's theorem
• Mittag-Leffler's theorem
• Green's function generalizes this idea to the non-linear setup
• Schwarz integral formula
• Parseval–Gutzmer formula

 المراجع

• Ahlfors, Lars (1979), Complex analysis (3rd ed.), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-000657-7 .
• [1] [2] D. Pompeiu, Sur la continuité des fonctions de variables complexes, Annales de la faculté des sciences de Toulouse Sér. 2, 7 no. 3 (1905), p. 265–315
• Titchmarsh, E.C. (1939), Theory of functions (2nd ed.), Oxford University Press 
• Hörmander, Lars (1966), An introduction to complex analysis in several variables, Van Nostrand 
• Hörmander, Lars (1983), The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Springer, ISBN 3-540-12104-8 
• Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2003), Geometric Algebra for Physicists, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-71595-9 

 وصلات خارجية

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Cauchy integral", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• Eric W. Weisstein, Cauchy Integral Formula at MathWorld.
• Cauchy Integral Formula Module by John H. Mathews