مشكلة أپولونيوس
في الهندسة المستوية الإقليدية، مشكلة أپولونيوس Apollonius's problem هي كيف تنشئ دوائر مماسة ثلاث دوائر معطاة في مستوى (الشكل 1). أپولونيوس من پرگا (ح. 262 ق.م. – ح. 190 ق.م.) طرح وحل هذه المسألة الشهيرة في كتابه Ἐπαφαί (Epaphaí، "تماسات Tangencies")؛ هذا العمل قد فُقِد، إلا أن تقريراً من القرن الرابع بنتائجه كتبه پاپوس من الإسكندرية قد بقي. فثلاث دوائر معطاة يكون لها عموماً ثمان دوائر مختلفة تماسهم (الشكل 2) وكل دائرة من دوائر الحل تحيط أو تستبعد الثلاث دوائر المعطاة بشكل مختلف: ففي كل حل، فإن فئة جزئية مختلفة من الدوائر الثلاث تتم احاطتها (ومتممها مستبعَد) ويوجد 8 فئات جزئية من فئة أصليتها هي 3، إذ أن 8 = 23.
في القرن 16، أدريان ڤان رومن حل المسألة باستخدام قطوع زائدة متقاطعة، إلا أن هذا الحل لا يستخدم فقط إنشاءات مسطرة وفرجار. وقد وجد فرانسوا ڤييت مثل ذلك الحل باستغلال حالات تحده: لو أن أي من الدوائر الثلاث المعطاة يمكن انكماشها إلى نصف قطر صفر (نقطة) أو أن تتمدد إلى نصف قطر لانهائي (خط). مقاربة ڤييت، التي تستخدم حالات محدِدة أبسط لحل الحالات الأكثر تعقيداً، تعتبر اعادة إنشاء معقولة لطريقة أپولونيوس. طريقة ڤان رومن بسّطها اسحق نيوتن، الذي بيّن أن مشكلة أپولونيوس تماثل العثور على موقع من فروق مسافاته من ثلاث نقاط معروفة. وهذه المسألة لها تطبيقات واسعة في الملاحة ونظم التموضع مثل LORAN.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
تاريخ
مشكلة أبولونيوس الشهيرة ": أعطيت ثلاث دوائر ، ربما متدهورة ، يُطلب ايجاد جميع الدوائر الماسة الدوائر المعطية. الدوائر المتدهورة تعني تلك التي نصف قطرها صفر (نقطة) او لانهائي (خط المستقيم).
في حالة الثلاث نقاط أو الثلاثة خطوط ، المشكلة اقترحت وحلت من قبل اقليدس (الكتاب الثالث من العناصر 1570). أبولونيوس اقترح المشكلة بشكل عام لتشمل ايضاً الدوائر. أبولونيوس ، بالاضافة الى كتابة عن المخروطيات (conics) هناك العديد من الكتب الأخرى ، من بينها كتاب عن المماس (tangent)، ولكنة للأسف فقد، ويمكننا جزئيا إعادة محتوياتة من خلال كتب بابو(Pappus).
صعوبة المشكلة جعلت الكثير من المحاولات تلوذ بالفشل, حتى القرن السادس عشر ، وعتقد الرياضيين ان أبولونيوس لم يحل المشكلة التي اعتبرها الكثيرون تحديا حقيقيا لقدراتهم.
الرياضيين العرب ، وخصوصا إبراهيم بن سنان (909-946) وابن الهيثم (965-1041) وجدوا حلا جبريا لهذة المسالة. في القرن السادس عشر جيركونة (Johannes Müller von Königsberg) حاول إيجاد حل لها عن طريق المقاطع المخروطية. في وقت لاحق بحوث هامة ، شملت انشاءات بالمسطرة والفرجار, مثل عمل فييت (أبولونيوس جالوس ، باريس ( 1600 وعمل ب فيرمات (De contactibus sphaericis (1679 ), نيوتن (Philosophiae naturalis principia mathematica, London, 1687)) والكثير غيرهم من الرياضيين : ليونهارد أويلر ، سيميون دينيس بويسون ، فوس (N.Fuss) ، غاسبر مونج ،. جاك فيليب ماري بينيه (J.Binet), هاشيت (P.Hachette) ، غوتييه (L.Gaultier),بونسيليه (J.V.Poncelet), جوزيف دياز Gergonne , شتاينر (J.Steiner). مناقشة مثيرة للاهتمام في معالجة بعض الحالات وجدت في رسائل بعثها ديكارت في نوفمبر 1643 الى تلميذته المفضلة ، الأميرة اليزابيث ، ابنة الملك فريدريك بوهيميا. دراسات بشأن هذه القضية أثارت الكثير من الأبحاث والاكتشافات في علم الهندسة ، سواء الوصفية والرياضية.
حالات خاصة
عشرة توافيق من النقاط والدوائر والخطوط
في المستوى. هناك 10 توافيق للمعطيات الثلاثة: دائرة, خط ونقطة
| دليل | Code | العناصر المعطاة | عدد الحلول (عموماً) |
مثال (الحل بالوردي؛ الدوائر المعطاة بالأسود) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | PPP | three points | 1 | 
|
| 2 | LPP | one line and two points | 2 | 
|
| 3 | LLP | two lines and a point | 2 | 
|
| 4 | CPP | one circle and two points | 2 | 
|
| 5 | LLL | three lines | 4 | 
|
| 6 | CLP | one circle, one line, and a point | 4 | 
|
| 7 | CCP | two circles and a point | 4 | 
|
| 8 | CLL | one circle and two lines | 8 | 
|
| 9 | CCL | two circles and a line | 8 | 
|
| 10 | CCC | three circles (the classic problem) | 8 | 
|
تعميمات
مشكلة أپولونيوس يمكن مدها لإنشاء كل الدوائر التي تتقاطع مع ثلاث دوائر معطاة بزاوية محدَدة θ، أو على ثلاث زوايا تقاطع محددة θ1, θ2 , θ3؛[1] مشكلة أپولونيوس الاعتيادية تمثل حالة خاصة تكون فيها زاوية التقاطع هي صفر لكل الدوائر الثلاث المعطاة. وثمة تعميم آخر هو القرين dual التمديد الأول، أي لإنشاء دوائر ذات ثلاث مسافات تماسية محددة من الثلاث دوائر المعطاة.[2]
مسألة أپولونيوس يمكن مدها من المستوى إلى الكرة وسطوح الدرجة الثانية الأخرى. فللكرة، تكون المسألة هي إنشاء كل الدوائر (حدود spherical caps) المماسة للدوائر الثلاث المعطاة على الكرة.[3][4][5] هذه المسألة الكرية يمكن التعبير عنها بالمسألة المستوية المناظرة باستخدام اسقاط مجسم. وبمجرد التوصل للحلول المستوية، فإن الحلول المناظرة للمسألة الكرّية يمكن تحديدها بقلب الاسقاط المجسم. وحتى للمزيد من التعميم، بإمكان المرء أن يعتبر مسألة المنحنيات الماسة الأربع التي تنتج عن تقاطع سطح من الدرجة الثانية عشوائي وأربع مستويات، وهي مشكلة كان أول من اعتبرها شارل دوپان.[6]
الغطاء الأپولوني وصفه گوتفريد لايبنتس لأول مرة في القرن 17، وكان السابق المنحني لمثلث سيرپنسكي الذي اُكتُشِف في القرن العشرين.[7] الغطاء الأپولوني له أيضاً صلات عميقة بحقول أخرى في الرياضيات؛ فعلى سبيل المثال، فإنه فئة نهاية المجموعات الكلاينية.[8]
انظر أيضاً
الهامش
- ^ خطأ استشهاد: وسم
<ref>غير صحيح؛ لا نص تم توفيره للمراجع المسماةsteiner_1826 - ^ خطأ استشهاد: وسم
<ref>غير صحيح؛ لا نص تم توفيره للمراجع المسماةzlobec_2001 - ^ خطأ استشهاد: وسم
<ref>غير صحيح؛ لا نص تم توفيره للمراجع المسماةgergonne_1814 - ^ Carnot L (1803). Géométrie de position. Paris: Unknown publisher. pp. 415, §356.
- ^ Vannson (1855). "Contact des cercles sur la sphère, par la geométrie". Nouvelles Annales de Mathématiques. XIV: 55–71. (بالفرنسية)
- ^ خطأ استشهاد: وسم
<ref>غير صحيح؛ لا نص تم توفيره للمراجع المسماةaltshiller-court_1961 - ^ Mandelbrot B (1983). The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman. p. 170. ISBN 978-0-7167-1186-5.
Aste T, Weaire D (2008). In Pursuit of Perfect Packing (2nd ed.). New York: Taylor and Francis. pp. 131–138. ISBN 978-1-4200-6817-7. - ^ Mumford D, Series C, Wright D (2002). Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 196–223. ISBN 0-521-35253-3.
{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
وصلات خارجية
- "Ask Dr. Math solution". Mathforum. Retrieved 2008-05-05.
- Eric W. Weisstein, Apollonius' problem at MathWorld.
- "Apollonius' Problem". Cut The Knot. Retrieved 2008-05-05.
- Kunkel, Paul. "Tangent Circles". Whistler Alley. Retrieved 2008-05-05.
- Austin, David (2006). "When kissing involves trigonometry". Feature Column at the American Mathematical Society website. Retrieved 2008-05-05.
{{cite web}}: Unknown parameter|month=ignored (help) - "Solution of Apollonious Circles". Mathschool. Retrieved 2011-01-01.