مصفوفة تحويل

في نظرية النظم و علم الضبط و في تعاملنا مع نظم ذات عدة مداخل و عدة مخارج أي نظم من نوع ميمو (mimo = multiple input multiple output) فإن مفهوم مصفوفة التحويل transfer matrix يحل محل مفهوم دالة تحويل. وهي صياغة على شاكلة مصفوفة بلوك-توپلتس لمعادلة في متغيرين، تميّز refinable functions. Refinable functions تلعب دوراً هاماً في نظرية المويجات ونظرية العناصر المتناهية.

For the mask $h$, which is a vector with component indexes from $a$ to $b$, the transfer matrix of $h$, we call it $T_h$ here, تـُعرَّف كالتالي

$(T_h{)}_{j,k}=h_{2\cdot j-k}.$

وحرفياً

$T_h=\left(\begin{array}{cccccc}{h}_a& & & & & \\ h_{a+2}& h_{a+1}& h_a& & & \\ h_{a+4}& h_{a+3}& h_{a+2}& h_{a+1}& h_a& \\ \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots \\ & h_b& h_{b-1}& h_{b-2}& h_{b-3}& h_{b-4}\\ & & & h_b& h_{b-1}& h_{b-2}\\ & & & & & h_b\end{array}\right).$

The effect of $T_h$ can be expressed in terms of the downsampling operator "$\downarrow$":

$T_h\cdot x=(h*x)\downarrow 2.$

 الخصائص

Actually not $n-2$ convolutions are necessary, but only $2\cdot {\log }_{2}n$ ones, when applying the strategy of efficient computation of powers. Even more the approach can be further sped up using the Fast Fourier transform.

• From the previous statement we can derive an estimate of the spectral radius of $\varrho (T_h)$. It holds

$\varrho (T_h)\ge \frac{a}{\sqrt{\#h}}\ge \frac{1}{\sqrt{3\cdot \#h}}$

where $\#h$ is the size of the filter and if all eigenvalues are real, it is also true that

$\varrho (T_h)\le a$,

where $a=\Vert C_{2}h{\Vert }_2$.

 انظر أيضاً

• محددة هورويتس Hurwitz determinant

 المراجع

• Strang, Gilbert (1996). "Eigenvalues of $(\downarrow 2)H$ and convergence of the cascade algorithm". IEEE Transactions on Signal Processing. Vol. 44. pp. 233–238.
• Thielemann, Henning (2006). Optimally matched wavelets (PhD thesis). (contains proofs of the above properties)