مصفوفة تحويل

في نظرية النظم و علم الضبط و في تعاملنا مع نظم ذات عدة مداخل و عدة مخارج أي نظم من نوع ميمو (mimo = multiple input multiple output) فإن مفهوم مصفوفة التحويل transfer matrix يحل محل مفهوم دالة تحويل. وهي صياغة على شاكلة مصفوفة بلوك-توپلتس لمعادلة في متغيرين، تميّز refinable functions. Refinable functions تلعب دوراً هاماً في نظرية المويجات ونظرية العناصر المتناهية.

For the mask $h$, which is a vector with component indexes from $a$ to $b$, the transfer matrix of $h$, we call it $T_{h}$ here, تـُعرَّف كالتالي

$(T_{h})_{j,k}=h_{2\cdot j-k}.$

وحرفياً

$T_{h}={\begin{pmatrix}h_{a}&&&&&\\h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&&&\\h_{a+4}&h_{a+3}&h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&\\\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}&h_{b-3}&h_{b-4}\\&&&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}\\&&&&&h_{b}\end{pmatrix}}.$

The effect of $T_{h}$ can be expressed in terms of the downsampling operator "$\downarrow$":

$T_{h}\cdot x=(h*x)\downarrow 2.$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 الخصائص

Actually not $n-2$ convolutions are necessary, but only $2\cdot \log _{2}n$ ones, when applying the strategy of efficient computation of powers. Even more the approach can be further sped up using the Fast Fourier transform.

• From the previous statement we can derive an estimate of the spectral radius of $\varrho (T_{h})$. It holds

$\varrho (T_{h})\geq {\frac {a}{\sqrt {\#h}}}\geq {\frac {1}{\sqrt {3\cdot \#h}}}$

where $\#h$ is the size of the filter and if all eigenvalues are real, it is also true that

$\varrho (T_{h})\leq a$,

where $a=\Vert C_{2}h\Vert _{2}$.

 انظر أيضاً

• محددة هورويتس Hurwitz determinant

 المراجع

• Strang, Gilbert (1996). "Eigenvalues of $(\downarrow 2){H}$ and convergence of the cascade algorithm". IEEE Transactions on Signal Processing. Vol. 44. pp. 233–238.
• Thielemann, Henning (2006). Optimally matched wavelets (PhD thesis). (contains proofs of the above properties)