مبرهنة أپيري

في الرياضيات، مبرهنة أپيري Apéry's theorem هي نتيجة في نظرية الأعداد تقول أن ثابت أپيري ζ(3) يكون عدد لا كسري. أي أن العدد

$\zeta (3)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3}=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\dots =1.2020569\dots$

لا يمكن كتابته ككسر p/q حيث p و q رقمان صحيحان.

 التاريخ

أثبت اويلر في القرن 18 أنه إذا كانت n عدداً صحيحاً موجباً فإنه يكون لدينا

$\frac{1}{1^{2n}}+\frac{1}{2^{2n}}+\frac{1}{3^{2n}}+\frac{1}{4^{2n}}+\dots =\frac{p}{q}{\pi }^{2n}$

لبعض الأعداد الكسرية p/q. وبالتحديد، فإن كتابة المتسلسلة اللانهائية إلى اليسار في صيغة ζ(2n) فقد بيـَّن

$\zeta (2n)=(-1{)}^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi {)}^{2n}}{2(2n)!}$

حيث B_n هي أعداد برنولي كسرية. وبمجرد اثبات لمرة واحدة أن πⁿ هي دوماً لا كسرية، فإن ذلك يبيـِّن أن ζ(2n) هي غير كسرية لكل الأعداد الصحيحة الموجبة n.