خريطة كارنو فايتش

جدول أو خريطة أو مخطط كارنو فايتش أو مخطط كارنو كما يسمى عادة هي خريطة تستعمل في الرياضيات الثنائية أو ما يسمى أيضا بالجبر المنطقي و ذلك لإختصار بعض الجمل أو التعابير المنطقية. عادة ما يستعمل جدول كارنو في المعادلات التي تحتوي بين متغيران و أربع متغيرات. نظريا طبعا يمكن إستعماله لعدد أكبر من المتغيرات و لكن ذلك ليس متداولا حيث أنه في هذه الحالات هناك طرق أكثر فعالية للإختزال.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 شرح تطبيقي و مثال في كيفية إستعمال الجدول

لنعتبر الدالة المنطقية $Y=Y\left(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\right)$ و كذلك الدالة المنطقية $Y=Y\left(X_{1},X_{2}\right)$. و لنفترض أنه لدينا جدول الحقيقة لكل من الدالتين كما هو مبين في الجدولين أسفله:

جدول الدالة Y بأربع متغيرات

Y	$X_{1}$	$X_{2}$	$X_{3}$	$X_{4}$	رقم السطر
1	0	0	0	0	0
1	1	0	0	0	1
1	0	1	0	0	2
1	1	1	0	0	3
1	0	0	1	0	4
0	1	0	1	0	5
0	0	1	1	0	6
0	1	1	1	0	7
1	0	0	0	1	8
0	1	0	0	1	9
0	0	1	0	1	10
1	1	1	0	1	11
1	0	0	1	1	12
0	1	0	1	1	13
0	0	1	1	1	14
1	1	1	1	1	15

جدول الدالة G بثلاث متغيرات

Y	$X_{1}$	$X_{2}$	$X_{3}$	$X_{4}$	رقم السطر
0	0	0	0	0	0
1	1	0	0	0	1
0	0	1	0	0	2
1	1	1	0	0	3
1	0	0	1	0	4
0	1	0	1	0	5
1	0	1	1	0	6
0	1	1	1	0	7

يمكن أن نفهم الجدولين أعلاه بهذه الطريقة: أنه لدينا مثلا جهاز إلكتروني بأربع متغيرات أو متغيرين إثنين أي مداخل. مثلا أربع أزرار يمكن أن تكون مضغوطة (أي تساوي 1) أو غير مضغوطة (تساوي 0). نسمي هذه الأزرار $X_{1}...X_{4}$ كما يمكن فهم $Y$ على أنه مخرج هذا الجهاز الإلكتروني مثلا ديود مضيئ حيث 1 = مضيء و 0 = منطفئ.
السطر الأول في الجدول الأول (أي الجهاز ذو أربع أزرار) يقول أنه إذا كانت كل المتغيرات $X_{i}$ صفرا أي إذا كانت كل الأزرار غير مضغوطة فإن الديود يكون مضيئا. الآن نطرح السؤال ما هي العلاقة بين مداخل النظام أي المتغيرات X و مخرجه Y ? العلاقة مبينة في الجداول أعلاه و لكننا نريد أن نكتب جملة أو معادلة تعتمد على الجبر البولي و تصف لنا هذه العلاقة. يمكن في هذه الحالة مباشرة من الجدول كتابة المعادلة أو التعبير و ذلك بطريقتين تسمي الأشكال النمطية أو القياسية Normalformen:

• إما أن نكتبها بنمط صيغة التقاطع القياسية أو الصيغة القياسية للتقاطع konjunktive Normalform
• أو نكتبها بنمط صيغة الاجتماع القياسية أو الصيغة القياسية للاجتماع disjunktive Normalform

المشكلة في هذين النمطين هو أن المعادلات و التعبيرات قابلة للإختزال.
لسائل أن يسأل لماذا يشكل ذلك مشكلة? و لماذا نريد الحصول على معادلة مختزلة قدر الإمكان? أحد الأسباب هو ،إن عدنا إلى جهازنا الإلكتروني, أن كل عملية ضرب أو جمع في المعادلة تقابلها في الجهاز وحدة تقوم بذلك (قلابات أو معالج بيانات أو دائرة كهربائية مثلا). و إستعمال عدد كبير من هذه الوحدات يفضي إلى بناء أجهزة غير مربحة تجاريا لكثر المكونات المستعملة كما أنها تكون معرضة أكثر للعطب و كبيرة الحجم و هذه كلها خصائص لا نريدها في أجهزتنا الرقمية الحديثة.
عن طريق جدول كارنو فايتش يمكننا مباشرة كتابة تعبير أو معادلة (في الحقيقة هي ليست معادلة بالمعنى الرياضي للكلمة) مختصرة.
ما يجب الإنتباه إليه عند إستعمال جدول كارنو:

• جدول كارنو لا يعطينا معادلة مختزلة لأقصى حد. أي أنه من الممكن أنه بعد إستعمال هذه الطريقة أنه يكون هناك قابلية للإختزال
• ترتيب المتغيرات يجب أن يكون مثل ما هو في جدول الحقيقة حتى يقابل ذلك الترتيب في مخطط كارنو أو جدول كارنو.( الأسباب تعود إلى بنية المخطط و الجبر البولي). في حالة تغيير تسلسل المتغيرات أي مثلا X1 X2 X3 X4 عوض X4 X3 X2 X1 فإن مخطط كارنو يتغير (ترقيم الخانات الأزرق) و لكن يمكن فهم ذلك بشيء من التأمل.
• لا يمكن إختزال أو تجميع إلا عدد يساوي قوات 2 من الخانات أو المربعات أي 1,2,4,8 إلخ...

هذه المقالة عبارة عن بذرة تحتاج للنمو والتحسين؛ فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.