حجم

A measuring cup can be used to measure volumes of liquids. This cup measures volume in units of cups, fluid ounces, and litres.

الحجم (Volume) هو مقياس فيزيائي لقياس الحيز الذي يشغله جسم ما حقيقي أو تخيلي . ويقاس الحجم بوحدات خاصة، فيقال متر مكعب أو سم مكعب، أو مليميتر مكعب دلالة على أن جسما ما حجمه يساوي حجم مكعب طول ضلعه متر أو سم واحد.

هناك وحدات خاصّة أخرى تستخدم لقياس الحجم، كاللتر والكوب والجالون ، ولكنها في الغالب مشتقة من وحدات الطول بشكل أو بآخر، فاللتر مثلا، هو عبارة عن حجم مكعب طول ضلعه ديسيمتر واحد، والديسيمتر هو عبارة عن 10 سم.

حجم المكعب يقاس بثلاثة أبعاد الطول والعرض والإرتفاع،ويستخدم الحجم في التعبير عن أشياء حقيقية مثل الصناديق والأبنية والبحيرات مثلا، وكل هذه الأشياء لها طول وعرض وارتفاع.

• حجم المكعب = الطول × العرض × الإرتفاع أو الطول^3
• حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الإرتفاع
• حجم الهرم = ( مساحة القاعدة ÷ 3 ) × الإرتفاع

 معادلات الحجم

Shape	Volume formula	Variables
Any figure (calculus required)	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V=\int A(h) \,dh}	h = any dimension of the figure, A(h) = area of the cross-sections perpendicular to h described as a function of the position along h. (This will work for any figure if its cross-sectional area can be determined from h).
Cube	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^3\;}	a = length of any side (or edge)
Cylinder	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi r^2 h\;}	r = radius of circular face, h = height
Prism	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B \cdot h}	B = area of the base, h = height
Rectangular prism	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle l \cdot w \cdot h}	l = length, w = width, h = height
Sphere	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{4}{3} \pi r^3}	r = radius of sphere which is the integral of the Surface Area of a sphere
Ellipsoid	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{4}{3} \pi abc}	a, b, c = semi-axes of ellipsoid
Pyramid	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{3}Bh}	B = area of the base, h = height of pyramid
Cone	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{3} \pi r^2 h}	r = radius of circle at base, h = distance from base to tip
Tetrahedron	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sqrt{2}\over12}a^3 \,}	edge length خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a}
Parallelpiped	خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V= a b c \sqrt{K} } خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} K =& 1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma) \\ & - \cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma) \end{align} }	a, b, and c are the parallelepiped edge lengths, and α, β, and γ are the internal angles between the edges

 Volume formula derivations

 Sphere

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = \sqrt{r^2-x^2}}

or

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z = \sqrt{r^2-x^2}}

where y or z can be taken to represent the radius of a slab at a particular x value.

Using y as the slab radius, the volume of the sphere can be calculated as $\int _{-r}^{r}\pi y^{2}\,dx=\int _{-r}^{r}\pi (r^{2}-x^{2})\,dx.$

Now خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{-r}^r \pi r^2\,dx - \int_{-r}^r \pi x^2\,dx = \pi (r^3 + r^3) - \frac{\pi}{3}(r^3 + r^3) = 2\pi r^3 - \frac{2\pi r^3}{3}.}

Combining yields gives خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3.}

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_0^r 4\pi u^2 \,du} = خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3.}

 مخروط

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r\frac{(h-x)}{h}.}

The surface area of the circular slab is then خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi \left(r\frac{(h-x)}{h}\right)^2 = \pi r^2\frac{(h-x)^2}{h^2}. }

The volume of the cone can then be calculated as خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{0}^h \pi r^2\frac{(h-x)^2}{h^2} dx, }

and after extraction of the constants: خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\pi r^2}{h^2} \int_{0}^h (h-x)^2 dx}

Integrating gives us خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\pi r^2}{h^2}\left(\frac{h^3}{3}\right) = \frac{1}{3}\pi r^2 h.}

 انظر أيضا

• Orders of magnitude (volume)
• طول
• Perimeter
• مساحة
• كتلة
• وزن
• Conversion of units
• Dimensional weight
• Dimensioning
• Volume form
• Volume (thermodynamics)
• Banach–Tarski paradox

 وصلات خارجية

• Volume calculator - Javascript automatic calculator.