تكعيبية تشيرنهاوز، حالة
a = 1
في الهندسة ، تكعيبية تشيرنهاوز Tschirnhausen cubic أو تكعيبية تشيرنهاوزن Tschirnhausen cubic هي منحنى مستوي مُعـَرَّف في صيغته المنفتحة من اليسار، بالمعادلة القطبية
r
=
a
sec
3
(
θ
/
3
)
{\displaystyle r=a\sec ^{3}(\theta /3)}
حيث sec هي دالة القاطع) .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
التاريخ المنحنى درسه فون تشيرنهاوز و دى لوپيتال ، و كتلان . وقد أُعطِيت الاسم "تكعيبية تشيرنهاوز" في ورقة بحثية سنة كتبها R C Archibald، إلا أنها أحياناً تُعرف بإسم "تكعيبية دى لوپيتال" أو القواطع الثلاث لكتلان trisectrix of Catalan .
معادلات أخرى Put
t
=
tan
(
θ
/
3
)
{\displaystyle t=\tan(\theta /3)}
triple-angle formulas يعطي
x
=
a
cos
θ
sec
3
θ
3
=
a
(
cos
3
θ
3
−
3
cos
θ
3
sin
2
θ
3
)
sec
3
θ
3
=
a
(
1
−
3
tan
2
θ
3
)
{\displaystyle x=a\cos \theta \sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a(\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}\sin ^{2}{\frac {\theta }{3}})\sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(1-3\tan ^{2}{\frac {\theta }{3}}\right)}
=
a
(
1
−
3
t
2
)
{\displaystyle =a(1-3t^{2})}
y
=
a
sin
θ
sec
3
θ
3
=
a
(
3
cos
2
θ
3
sin
θ
3
−
sin
3
θ
3
)
sec
3
θ
3
=
a
(
3
tan
θ
3
−
tan
3
θ
3
)
{\displaystyle y=a\sin \theta \sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(3\cos ^{2}{\frac {\theta }{3}}\sin {\frac {\theta }{3}}-\sin ^{3}{\frac {\theta }{3}}\right)\sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(3\tan {\frac {\theta }{3}}-\tan ^{3}{\frac {\theta }{3}}\right)}
=
a
t
(
3
−
t
2
)
{\displaystyle =at(3-t^{2})}
giving a parametric form for the curve. The parameter t can be eliminated easily giving the Cartesian equation
27
a
y
2
=
(
a
−
x
)
(
8
a
+
x
)
2
{\displaystyle 27ay^{2}=(a-x)(8a+x)^{2}}
If the curve is translated horizontally by 8a and the signs of the variables are changed, the equations of the resulting right-opening curve are
x
=
3
a
(
3
−
t
2
)
{\displaystyle x=3a(3-t^{2})}
y
=
a
t
(
3
−
t
2
)
{\displaystyle y=at(3-t^{2})}
and in Cartesian coordinates
x
3
=
9
a
(
x
2
−
3
y
2
)
{\displaystyle x^{3}=9a\left(x^{2}-3y^{2}\right)}
This gives the alternative polar form
r
=
9
a
(
sec
θ
−
3
sec
θ
tan
2
θ
)
{\displaystyle r=9a\left(\sec \theta -3\sec \theta \tan ^{2}\theta \right)}
المراجع J. D. Lawrence, A Catalog of Special Plane Curves . New York: Dover, 1972, pp. 87-90. وصلات خارجية قالب:Algebraic-geometry-stub
