منحنى الزمن الأقصر

منحنى النسب الأسرع ليس خط مستقيم أو متعدد الأضلاع (أزرق) ولكن دائري (أحمر).

في الرياضيات والفيزياء، منحنى الزمن الأقصر (brachistochrone curve ؛ من يونانية قديمة βράχιστος χρόνος (brákhistos khrónos)، وتعني "أقصر زمن")،^[1] أو منحنى أسرع نزول، هو الذي يقع في المستوى بين نقطة A ونقطة أسفل منها B، حيث B لا تقع مباشرةً أسفل A، والذي عليه تنزلق خرزة بلا احتكاك تحت تأثير مجال تثاقلي منتظم إلى نقطة نهاية معطاة، في أقصر وقت. اقام بصياغة المشكلة يوهان برنولي في عام 1696.

منحنى الزمن الأقصر هو نفس شكل منحنى الزمن المتساوي tautochrone curve؛ كلاهما دويري. ومع ذلك، فالجزء المستخدم من الدويري لكلٍ من الإثنين يختلف. وبشكل أكثر تحديداً، فإن منحني الزمن الأقصر قد يستخدم ما قد يصل إلى دورة كاملة من الدويري (عند الحد الأقصى عندما يكون A و B على نفس المستوى)، ولكن يبدأ دائمًا عند نتوء. في المقابل، فإن مسألة الزمن المتساوي قد تستخدم ما لا يزيد عن نصف الدوران الأول، وتنتهي دائمًا في الوضع الأفقي.^[2] يمكن حل المسألة باستخدام أدوات من حساب الاختلافات و التحكم الأمثل.^[3]

المنحني مستقل عن كل من كتلة اختبار الجسم والقوة المحلية للجاذبية. يتم اختيار متغير واحد بحيث يناسب المنحني نقطة البداية A ونقطة النهاية B.^[4] إذا تم إعطاء الجسم سرعة ابتدائية عند A أو إذا تم أخذ الاحتكاك بعين الاعتبار ، فإن المنحني الذي سيقلل من الزمن سيختلف عن منحني الزمن المتساوي.

ففي 29 يناير 1697، تلقى إسحق نيوتن نسخة من تحدي يوهان برنولي، مشكلة منحنى أقصر وقت العصية الحل لزمن بعيد. وقد حلها نيوتن في نفس يوم وصولها إليه. هدية العام الجديد من برنولي في 1 يناير 1697 لعالَم الرياضيات كان المشكلة: “لتحديد الخط المنحنى الذي يصل نقطتين معلومتين، وتقعان على مسافتين مختلفتين من الخط الأفقي وليستا على نفس الخط الرأسي، الذي على امتداده يمضي الجسم المتحرك، لأسفل بتأثير وزنه وبادئاً الحركة من النقطة الأعلى، سوف ينزل بأسرع طريقة إلى النقطة الأسفل.” (صاغ برنولي الاسم من الكلمة اليونانية brachistos، أقصر؛ و chronos، "وقت".) وقد أحال نيوتن حله إلى الجمعية الملكية—بدون ذكر اسمه. وعندما قرأ برنولي الحل، فقد خمن على الفور أنه من عمل نيوتن. ويُعتقد أن برنولي قال ”لقد تعرفت على الأسد من مخلبه.“^[5]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

التاريخ

طرح يوهان برنولي مسألة منحني الزمن الأقصر لقراء آكتا إيروديتورم Acta Eruditorum في يونيو 1696.^[6]^[7] فقال:

أنا يوهان برنولي أخاطب أروع علماء الرياضيات في العالم. ليس هناك ما هو أكثر جاذبية للأشخاص الأذكياء من مسألة صريحة ومثيرة للتحدي ، حيث يمنح حلها المحتمل الشهرة ويظل بمثابة نصب دائم. باتباع المثال الذي وضعه پاسكال وفرما وما إلى ذلك، آمل أن أحظى بامتنان المجتمع العلمي بأسره من خلال وضع أمام أرقى علماء الرياضيات في عصرنا مسألة ستختبر أساليبهم وقوة تفكيرهم. إذا أبلغني أحدهم بحل المسألة المقترحة، فسأعلن أنه يستحق الثناء علانية.

فكتب برنولي طرح المسألة على الشكل التالي:

بالنظر إلى النقطتين A و B في المستوي العمودي ، ما هو المنحني الذي تتبعه نقطة تعمل فقط بالجاذبية ، والتي تبدأ من A وتصل إلى B في أقصر زمن.

استنتج يوهان وشقيقه ياكوب برنولي نفس الحل، ولكن اشتقاق يوهان كان غير صحيح، وحاول أن يتخذ من حل ياكوب حلاً خاص به.^[8] نشر يوهان الحل في المجلة في شهر مايو من العام التالي، وأشار إلى أن الحل هو نفس منحني هويگنز الزمن المتساوي. بعد استخلاص المعادلة التفاضلية للمنحني بالطريقة الموضحة أدناه ، تابع ليوضح أنه ينتج عنه خط دائري.^[9]^[10] ومع ذلك ، فإن إثباته يشوبه استخدام ثابت واحد بدلاً من ثلاثة ثوابت , v_m, 2g و D, أدناه.

سمح برنولي بستة أشهر لتقديم الحلول ولكن لم يتم استلام أي منها خلال هذه الفترة. بناءً على طلب لايبنتس، تم تمديد المدة الزمنية علنًا لمدة عام ونصف.^[11] في الرابعة عصر يوم 29 يناير 1697 عندما وصل إلى منزله من دار السك الملكية، وجد إسحاق نيوتن التحدي في رسالة من يوهان برنولي.^[12] بقي نيوتن مستيقظًا طوال الليل لإيجاد حل له وأرسل الحل بالبريد الإلكتروني من خلال المنشور التالي. عند قراءة الحل، تعرف برنولي على الفور على مؤلفه، قائلاً أنه "يتعرف على الأسد من مخلبه". تعطي هذه القصة فكرة عن قوة نيوتن، حيث استغرق يوهان برنولي أسبوعين لحلها.^[4]^[13] كتب نيوتن أيضًا ، "أنا لا أحب أن أكون مزعجاً و [مضايقًا] ومبتزَّاً من قبل الأجانب حول الأشياء الرياضية ..." ، وقد حل نيوتن بالفعل مسألة مقاومة نيوتن الدنيا ، والتي تعتبر الأولى من نوعها في اِنـْـظِـمـَالُ التـَّـغـَـايـُـر (variational calculus).
في النهاية، استجاب خمسة علماء رياضيات بالحلول: نيوتن، ياكوب برنولي، گوتفريد لايبنتس، إرن‌فريد ڤالتر فون تشيرن‌هاوز و گي‌يوم دى لوپيتال. نُشرت أربعة من الحلول (باستثناء لوپيتال) في نفس الطبعة من المجلة التي نشرها يوهان برنولي. في ورقته ، قدم يعقوب برنولي دليلًا على الحالة لأقل زمناً مماثلاً للزمن الموضح أدناه قبل أن يوضح أن الحل هو منحني دائري.^[9] وفقًا للباحث توم وايتسايد من المدرسة النيوتونية، في محاولة للتغلب على أخيه، ابتكر ياكوب برنولي نسخة أصعب من مسألة منحني الزمن الأقصر. في حلها، طور أساليب جديدة تم تنقيحها بواسطة ليونارد أويلر فيما أطلق عليه الأخير (في 1766) اسم "حساب التفاضل والتكامل". قام جوزيف-لوي لاگرانج بمزيد من العمل الذي أدى إلى حساب غير متناهي الصغر حديث.

في وقت سابق، في عام 1638، حاول گاليليو حل مشكلة مماثلة لمسار أسرع نزول من نقطة إلى جدار في "اثنين من العلوم الجديدة". ويخلص إلى أن قوس الدائرة أسرع من أي عدد من أوتارها,^[14]

من كل مما سبق، من الممكن أن نستنتج أن أسرع مسار لكل [lationem omnium velocissimam] ، من نقطة إلى أخرى، ليس أقصر طريق، أعني خط مستقيم، ولكن قوس دائرة. ... وبالتالي، كلما اقترب المضلع المدرج من دائرة، كلما كان الزمن الأقصر مطلوبًا للنسب من A إلى C. ما يثبت بالنسبة إلى الربع ينطبق أيضًا على الأقواس الأصغر؛ فالمنطق هو نفسه.

مباشرة بعد المبرهنة 6 في كتاب "عِلمان جديدان"، حذّر گاليليو من مغالطات محتملة والحاجة إلى "عِلم أعلى". وفي هذا الحوار، استعرض جاليليو عمله. الحل الفعلي لمسألة گاليليو كان نصف دويري. درس گاليليو الدويري وأعطاه الاسم "دويري Cycloid"، إلا أن العلاقة بين الدويري وبين مسألة گاليليو كان عليها أن تنتظر حتى يتحقق تقدم في الرياضيات.

حل يوهان برنولي

الطريقة المباشرة

في رسالة إلى هنري باسناج، المحفوظة في المكتبة العامة لجامعة بازل، بتاريخ 30 مارس 1697، ذكر يوهان برنولي أنه قد وجد طريقتين (أشار إليهما دائمًا بالاسمين "المباشرة" و "غير المباشرة") لإظهار أن منحني الزمن الأقصر كان "دويرياً مشتركاً" ، ويسمى أيضًا "الروليت roulette". بناءً على نصيحة من لايبنتس ، فقد قام بتضمين الطريقة غير المباشرة فقط في مجلة Acta Eruditorum Lipsidae في مايو 1697. كاتباً ذلك بشكل جزئي لأنه اعتقد أنه كان كافياً لإقناع أي مشكك في الاستنتاج ، ويرجع ذلك جزئيًا إلى أنه قام أيضًا بحل مسألتين مشهورتين في البصريات الذي أثارها "الراحل السيد هويگنز" في أطروحته على علم الضوئيات. فانتقده نيوتن في نفس الرسالة لإخفائه الطريقة.

بالإضافة إلى أسلوبه غير المباشر ، قام أيضًا بنشر الردود الخمسة الأخرى على المسألةالتي تلقاها.

تعتبر طريقة يوهان برنولي المباشرة ذات أهمية تاريخية لأنها كانت أول دليل على أن منحني الزمن الأقصر هو دويري. تتمثل الطريقة في تحديد انحناء المنحني في كل نقطة. وتستند جميع البراهين الأخرى ، بما في ذلك نيوتن (والتي لم يتم الكشف عنها في ذلك الوقت) على إيجاد التدرج في كل نقطة.

فقد كان العام 1718 م حين شرح برنولي كيف قام بحل مسألة منحني الزمن الأقصر من خلال طريقته المباشرة.^[15]^[16]

وأوضح أنه لم ينشرها في عام 1697 ، لأسباب لم تعد مطبقة في عام 1718. فقد تم تجاهل هذه الورقة إلى حد كبير حتى عام 1904 عندما تم تقدير عمق الطريقة لأول مرة من قبل قسطنطين كاراثيودوري ، الذي ذكر أنه يوضح أن الدويرية هي المنحني الوحيد الممكن لأسرع هبوط. وفقًا له ، فإن الحلول الأخرى تعني ببساطة أن زمن الهبوط ثابت بالنسبة للدويرية، ولكن ليس بالضرورة الحد الأدنى الممكن.

الحل التحليلي

يُنظر إلى جسم متحرك على طول أي قوس دائري صغير Ce بين أنصاف الأقطار KC و Ke ، مع مركز K ثابت. تتضمن المرحلة الأولى من الإثبات العثور على قوس دائري معين ، Mm والذي يجتازه الجسم في أقل زمن ممكن.

يتقاطع الخط KNC مع AL عند N ، والخط Kne يتقاطع مع n ، ويصنعون زاوية صغيرة CKe عند K. لبكن NK = a ، ويحدد نقطة متغيرة ، C على KN الممددة. من بين جميع الأقواس الدائرية الممكنة Ce ، من الضروري إيجاد القوس Mm الذي يتطلب الحد الأدنى من الوقت للتنقل بين نصفي القطرين و KM و Km. للعثور على Mm ناقش برنولي ذلك على النحو التالي.

ليكنMN = x. و عرّف m بحيث MD = mx, و n بحيث Mm = nx + na ويلاحظ أن x هو المتغير الوحيد وأن m محدود وأن n متناهي الصغر. الزمن القصير للتنقل على طول القوس Mm هو ${\frac {Mm}{MD^{\frac {1}{2}}}}={\frac {n(x+a)}{(mx)^{\frac {1}{2}}}}$ الذي يجب أن يكون الحد الأدنى (‘أصغر’). فهو لا يوضح أنه نظرًا لأن Mm صغير جدًا ، يمكن افتراض أن السرعة على طوله هي M ، وهي الجذر التربيعي لـ MD ، وهي المسافة العمودية لـ M أسفل الخط الأفقي AL.

ويترتب على ذلك ، فعندها يجب أن يعطي التفاضل

{\frac {(x-a)dx}{2x^{\frac {3}{2}}}}=0

بحيث x = a.

تحدد هذه الحالة المنحني الذي ينزلق به الجسم في أقصر زمن ممكن. لكل نقطة ، M على المنحني ، فنصف قطر الانحناء ، يتم قطع MK في جزأين متساويين بواسطة محورها AL. هذه الخاصية ، التي يقول برنولي أنها كانت معروفة منذ فترة طويلة ، هي فريدة من نوعها بالنسبة للدويرية.

أخيرًا ، يعتبر الحالة الأكثر عمومية حيث تكون السرعة تابع عشوائي X(x) ، وبالتالي فإن الزمن الذي يتم تقليله هو ${\frac {(x+a)}{X}}$ . عندها يصبح الشرط الأدنى $X={\frac {(x+a)dX}{dx}}$ عندها يكتب : $X=(x+a)\Delta x$ والذي يعطي MN (= x) كتابع لـ NK (= a). من هذا ، يمكن الحصول على معادلة المنحني من حساب التكامل ، على الرغم من أنه لا يوضح ذلك.

الحل التخليقي

ثم يتابع ما أسماه "الحل التخليقي" ، الذي كان إثباتاً هندسيًا كلاسيكيًا ، على أنه لا يوجد سوى منحني واحد يمكن للجسم أن ينزلق فيه بأقل زمن ممكن ، وهذا المنحني هو الدويري.

افترض أن AMmB هو جزء من الدويري الذي يربط من A إلى B ، والذي ينزلق عليه الجسم في أقل زمن ممكن. اجعل ICcJ جزءاً من منحني آخر يصل من A إلى B والذي يمكن أن يكون أقرب إلى AL من AMmB. إذا كان القوس Mm يقابل الزاوية MKm في مركز انحنائها ، K ، لندع القوس الموجود على IJ والذي يرمز لنفس الزاوية هو Cc. القوس الدائري من خلال C مع مركز K هو Ce. النقطة D على AL أعلى رأسياً من M. رابطاً K إلى D والنقطة H هي حيث يتقاطع CG مع KD ، و نمدد إذا لزم الأمر.

لندع $\tau$ ويكون الزمن الذي يستغرقه الجسم للهبوط على طول Mm و Ce على التوالي.

\tau \propto {\frac {Mm}{MD^{\frac {1}{2}}}}

,

t\propto {\frac {Ce}{CG^{\frac {1}{2}}}}

,

نمدد CG للنقطة F حيث, $CF={\frac {CH^{2}}{MD}}$ و عندما ${\frac {Mm}{Ce}}={\frac {MD}{CH}}$ , فهو يتبع

{\frac {\tau }{t}}={\frac {Mm}{Ce}}.\left({\frac {CG}{MD}}\right)^{\frac {1}{2}}=\left({\frac {CG}{CF}}\right)^{\frac {1}{2}}

عندما MN = NK, من أجل الدويري:

GH={\frac {MD.HD}{DK}}={\frac {MD.CM}{MK}}

,

CH={\frac {MD.CK}{MK}}={\frac {MD.(MK+CM)}{MK}}

, و

CG=CH+GH={\frac {MD.(MK+2CM)}{MK}}

إذا كان Ce أقرب إلى K من Mm فإنه

CH={\frac {MD.(MK-CM)}{MK}}

و

CG=CH-GH={\frac {MD.(MK-2CM)}{MK}}

في كلتا الحالتين,

CF={\frac {CH^{2}}{MD}}>CG

, و يتبع ذلك

\tau <t

إذا كان القوس ، Cc الذي تم مقابلته بالزاوية المتناهية في الصغر للزاوية MKm على IJ و التي هي ليس دائرية ، فيجب أن يكون أكبر من Ce ، لأن Cec يصبح مثلثًا صحيحًا في الحد مع اقتراب الزاوية MKm من الصفر.

ملاحظة ، يثبت برنولي أن CF> CG بواسطة برهان مماثل ولكن مختلف أيضاً.

نستنتج من ذلك إلى أن الجسم يجتاز AMB الدويرية في زمن أقل من أي منحني ACB آخر.

الطريقة غير المباشرة

وفقًا لـ مبدأ فرما ، فإن المسار الفعلي بين نقطتين مأخوذة بواسطة حزمة من الضوء هو الطريق الذي يستغرق زمناً أقل. في عام 1697 استخدم يوهان برنولي هذا المبدأ لاشتقاق منحني الزمن الأقصر من خلال النظر في مسار شعاع الضوء في وسط تزداد فيه سرعة الضوء بعد تسارع رأسي ثابت (سرعة الجاذبية g).^[17]

بواسطة مبدأ انحفاظ الطاقة ، تُعطى السرعة الآنية للجسم v بعد سقوط من ارتفاع y في حقل جاذبية موحد بواسطة:

v={\sqrt {2gy}}

,

لا تعتمد سرعة حركة الجسم على طول منحني عشوائي على الانزياح الأفقي.

أشار برنولي إلى أن قانون الانكسار يعطي ثابتًا للحركة من أجل شعاع من الضوء في وسط الكثافة المتغيرة:

{\frac {\sin {\theta }}{v}}={\frac {1}{v}}{\frac {dx}{ds}}={\frac {1}{v_{m}}}

,

حيث v_m الثابت و $\theta$ يمثل زاوية المسار فيما يتعلق بالعمودية.

المعادلات أعلاه تؤدي إلى استنتاجين:

في البداية ، يجب أن تكون الزاوية صفرية عندما تكون سرعة الجسيمات صفرية. وبالتالي ، فإن منحني الزمن الأقصر هو الظل إلى العمودية في الأصل.
تصل السرعة إلى أقصى قيمة عندما يصبح المسار أفقيًا والزاوية θ = 90°.

بافتراض بساطة أن الجسيم (أو الحزمة) مع الإحداثيات (x,y) يغادر من النقطة (0،0) ويصل إلى السرعة القصوى بعد سقوط المسافة العمودية D :

v_{m}={\sqrt {2gD}}

.

إعادة ترتيب الشروط في قانون الانكسار والتربيع يعطي:

v_{m}^{2}dx^{2}=v^{2}ds^{2}=v^{2}(dx^{2}+dy^{2})

والتي يمكن حلها ل dx من ناحية dy:

dx={\frac {v\,dy}{\sqrt {v_{m}^{2}-v^{2}}}}

.

باستبدال التعبيرات لـ v و v_m أعلاه يعطي:

dx={\sqrt {\frac {y}{D-y}}}\,dy

وهو معادلة تفاضلية ل دويرية مقلوبة تم إنشاؤها بواسطة دائرة قطرها D.

حل ياكوب برنولي

أظهر ياكوب شقيق يوهان كيف يمكن استخدام الاشتقاق من الدرجة الثانية للحصول على الحالة لأقصر زمن. فالنسخة الحديثة من البرهان على النحو التالي. إذا قمنا بإنحراف ضئيل عن مسار أقل زمن ، إذن ، للمثلث التفاضلي الذي تشكله الإزاحة على طول المسار و لإزاحة الأفقية و العمودية،

ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}

.

بالتفاضل ب dy الثابت نحصل علي,

2ds\ d^{2}s=2dx\ d^{2}x

.

وأخيرا إعادة ترتيب الحدود يعطي ،

{\frac {dx}{ds}}d^{2}x=d^{2}s=v\ d^{2}t

حيث الجزء الأخير هو الإزاحة لتغيير معين في الزمن بالاشتقاق من الدرجة الثانية. الآن ، لنأخذ بعين الاعتبار التغييرات على المسارين المجاورين في الشكل أدناه والتي يكون الفصل الأفقي بين المسارات على طول الخط المركزي فيها d²x (نفس الأمر بالنسبة إلى المثلثات التفاضلية العلوية والسفلية). على طول المسارات القديمة والجديدة ، والأجزاء التي تختلف,

d^{2}t_{1}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}d^{2}x

d^{2}t_{2}={\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}d^{2}x

بالنسبة لمسار أقل الأزمنة، تكون هذه الأزمنة متساوية مع اختلافهم ، نجد

d^{2}t_{2}-d^{2}t_{1}=0={\bigg (}{\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}-{\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}{\bigg )}d^{2}x

و الشرط لأقصر زمن هو :

{\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}

حل نيوتن

مقدمة

في يونيو عام 1696، استخدم يوهان برنولي صفحات "Acta Eruditorum Lipsidae" لتشكيل تحدٍ للمجتمع الرياضي الدولي: لإيجاد شكل المنحني الذي ينضم إلى نقطتين ثابتتين بحيث تنزلق كتلة على طوله ، تحت تأثير الجاذبية وحدها ، في الحد الأدنى من الزمن. كان الحل في الأصل سيقدم في غضون ستة أشهر. بناءً على اقتراح لايبنس ، فمدد برنولي التحدي حتى عيد الفصح 1697 ، عن طريق نص مطبوع يسمى "Programma" ، الذي نُشر في Groningen ، في هولندا.

يعود تاريخ "Programma" إلى ١ يناير ١٦٩٧ في التقويم الميلادي. كان هذا في 22 ديسمبر 1696 في التقويم اليولياني ، المستخدم في بريطانيا. بحسب ابنة أخت نيوتن ، كاثرين كوندويت ، علم نيوتن بالتحدي في الساعة الرابعة مساء يوم 29 يناير وقام بحله بحلول الساعة 4 من صباح اليوم التالي. حله ، الذي تم إيصاله بالجمعية الملكية ، مؤرَّخ في 30 يناير. هذا الحل ، الذي نُشر لاحقًا دون الكشف عن هويته في "المعاملات الفلسفية" ، صحيح ولكنه لا يشير إلى الطريقة التي وصل بها نيوتن إلى نهايته. أشار برنولي ، الذي كتب إلى هنري باسناج في مارس 1697 ، إلى أنه على الرغم من أن مؤلفه ، "مع كثير من التواضع" ، لم يكشف عن اسمه ، إلا أنه حتى من التفاصيل الهزيلة المقدمة ، فإنه يمكن التعرف عليه كعمل نيوتن "، بمعرفة الأسد من قبل مخلبها "(في اللاتينية ، 'tanquam ex ungue leonem' '). جون واليس, الذي كان يبلغ من العمر 80 عامًا في ذلك الوقت ، كان قد علم بالمسألة في سبتمبر 1696 من أخ يوهان برنولي الأصغر هيرونيموس ، وقضى ثلاثة أشهر في محاولة لحلها قبل تمريرها إلى ديڤيد گريگوري في ديسمبر ، الذي فشل أيضا في حلها. بعد أن قدم نيوتن حله ، سأله گريگوري للحصول على التفاصيل وقدم ملاحظات من محادثتهم. يمكن العثور عليها في مكتبة جامعة أدنبرة, مخطوطة A $78^{1}$ , بتاريخ ٧ مارس 1697. إما أن گريگوري لم يفهم برهان نيوتن ، أو أن تفسير نيوتن كان مختصراً جداً. ومع ذلك ، من الممكن ، مع درجة عالية من الثقة ، بناء إثبات نيوتن من ملاحظات گريگوري ، عن طريق القياس مع طريقته لتحديد صلابة الحد الأدنى من المقاومة (Principia ، Book 2 ، Proposition 34 ، Scholium 2). تم تضمين وصف تفصيلي لحله لهذه المسألة الأخيرة في مسودة خطاب في 1694 ، أيضًا إلى ديڤيد گريگوري.^[18] بالإضافة إلى مسألة منحني الزمن الأقصر ، كانت هناك مسألة ثانية حلها نيوتن أيضًا في نفس الوقت. ظهر كلا الحلين بشكل مجهول في المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية ، في يناير 1697.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

مسألة الزمن الأقصر Brachistochrone

يُظهر الشكل 1 مخطط گريگوري (باستثناء السطر الإضافي IF غير موجود منه ، و Z ، تمت إضافة نقطة البداية). منحني ZVA هو دويري و CHV هو دائرة توليد. نظرًا بأن الجسم يبدو متحركاً صعودًا من e إلى E ، يجب افتراض أن جسمًا صغيرًا يتم إطلاقه من Z وينزلق على طول المنحنى إلى A ، دون احتكاك ، تحت تأثير الجاذبية.

لنأخذ بعين الاعتبار القوس eE الصغيرة التي يصعدها الجسم. لنفترض أنه يجتاز الخط المستقيم eL إلى النقطة L ، و المزاح أفقياً من E بمسافة صغيرة ، o ، بدلاً من القوس eE. نلاحظ أن eL ليس هو الظل في e ، وأن o سيكون سالبًا عندما تكون L بين B و E. لنرسم الخط عبر E الموازي لـ CH ، و نقطع eL على n. من خاصية الدويرية ، تعتبر En طبيعية في الظل في E ، وبالمثل فإن الظل في E يكون موازيًا لل VH.

بما أن الإزاحة ، EL صغيرة ، فإنها تختلف قليلاً في الاتجاه عن الظل في E بحيث تكون الزاوية EnL قريبة من الزاوية اليمنى. في الحد الذي يقترب فيه قوس eE من الصفر ، يصبح eL موازياً لـ VH ، بشرط أن يكون o صغيرًا مقارنةً بـ eE مما يجعل المثلثين EnL و CHV متشابهين.

كما يقترب en من طول الوتر eE، والزيادة في الطول, $eL-eE=nL={\frac {o.CH}{CV}}$ , تجاهل الشروط في $o^{2}$ والأعلى ، والتي تمثل الخطأ بسبب التقريب أن eL و VH متوازيان يمكن اعتبار السرعة على طول eE أو eL كما هي في E ، بما يتناسب مع ${\sqrt {CB}}$ وهو CH, عندما $CH={\sqrt {CB.CV}}$

يبدو أن هذا هو كل ما تحتويه مذكرة گريگوري.

لندع t يكون الزمن الإضافي للوصول إلى L ،

$t\propto {\frac {nL}{\sqrt {CB}}}={\frac {o.CH}{CV.{\sqrt {CB}}}}={\frac {o}{\sqrt {CV}}}$

لذلك ، تعتمد الزيادة في الزمن اللازم لاجتياز قوس صغير يتم إزاحته عند نقطة نهاية واحدة فقط على الإزاحة عند نقطة النهاية وهي مستقلة عن موضع القوس. ومع ذلك ، وفقًا لطريقة نيوتن ، هذا هو الشرط المطلوب لاجتياز المنحني في أقل زمن ممكن. لذلك ، يخلص إلى أن الحد الأدنى منحني يجب أن يكون دويرياً.

وقد جادل كالتالي.

بافتراض أن الشكل 1 هو الحد الأدنى للمنحني الذي لم يتم تحديده بعد ، مع المحور العمودي CV ، وإزالة الدائرة CHV ، ويظهر الشكل 2 جزءًا من المنحني بين القوس اللانهائي الأدنى والقوس اللانهائي الإضافي Ff مسافة محددة على طول منحني. الزمن الإضافي ، t ، لاجتياز eL (بدلاً من eE) هو nL مقسومًا على السرعة في E (يتناسب مع √CB), ، مع تجاهل المصطلحات في $o^{2}$ و الأعلى:

$t\propto {\frac {o.DE}{eE.{\sqrt {CB}}}}$ ,

في L ، يستمر الجسيم على طول LM ، بالتوازي مع EF الأصلي ، إلى نقطة عشوائية M. نظرًا لأن له نفس السرعة عند L كما في E ، فإن زمن اجتياز LM هو نفسه كما كان سيكون على طول الأصل منحنى EF. عند M ، تعود إلى المسار الأصلي عند النقطة f. من نفس المنطق ، فإن تقليل الزمن ، T ، للوصول إلى f من M بدلاً من F هو

$T\propto {\frac {o.FG}{Ff.{\sqrt {CI}}}}$

الفرق (t – T) هو الزمن الإضافي الذي يستغرقه طول المسار eLMf مقارنةً بـ eEFf الأصلي :

$(t-T)\propto \left({\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}-{\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}\right).o$ بالإضافة إلى الشروط في $o^{2}$ و الأعلى (1)

لأن eEFf هو الحد الأدنى للمنحني , (t – T) يجب أن تكون أكبر من الصفر ، سواء أكانت موجبة أم سلبية. ويترتب على ذلك أن يكون معامل o في (1) صفراً:

${\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}$ (2) في الحد مثل eE و fF يقتربان من الصفر. نلاحظ أن eEFf هو الحد الأدنى لمنحني يجب أن يفترض أن معامل $o^{2}$ أكبر من الصفر.

من الواضح أنه يجب أن يكون هناك إزاحتان متساويتان ومعاكستان ، وإلا فلن يعود الجسم إلى نقطة النهاية ، A ، في المنحني.

إذا كانت e ثابتة ، وإذا كانت f تعتبر نقطة متغيرة أعلى المنحنى ، فعندئذٍ لجميع هذه النقاط, f, ${\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}$ ثابت (يساوي ${\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}$ ). بالحفاظ على f ثابت وجعل e متغير فمن الواضح أن ${\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}$ أيضاً ثابت

ولكن ، بما أن النقطتين ، e و f عشوائيتان ، فإن المعادلة (2) يمكن أن تكون صحيحة فقط إذا ${\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}=constant$ , في كل مكان ، وهذا الشرط يميز المنحني المطلوب. هذه هي نفس التقنية التي يستخدمها للعثور على شكل المقاومة الأقل صلابة. For the cycloid, ${\frac {DE}{eE}}={\frac {BH}{VH}}={\frac {CH}{CV}}$ , لذلك ${\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\frac {CH}{CV.{\sqrt {CB}}}}$ الذي أظهر أعلاه أن يكون ثابتاً ، و منحني الزمن الأقصر هو دويري.

لم يقدم نيوتن أي إشارة إلى كيفية اكتشافه أن الدويري يحقق هذه العلاقة الأخيرة. قد يكون ذلك عن طريق التجربة والخطأ ، أو ربما يكون قد أدرك فورًا أنه مفهوماً ضمنياً أن المنحني هو دويري.

انظر أيضاً

المراجع

^ Chisholm, Hugh, ed. (1911). "Brachistochrone" . دائرة المعارف البريطانية (eleventh ed.). Cambridge University Press. {{cite encyclopedia}}: Cite has empty unknown parameter: |coauthors= (help)
^ Stewart, James. "Section 10.1 - Curves Defined by Parametric Equations." Calculus: Early Transcendentals. 7th ed. Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole, 2012. 640. Print.
^ Ross, I. M. The Brachistochrone Paradigm, in Primer on Pontryagin's Principle in Optimal Control, Collegiate Publishers, 2009. ISBN 978-0-9843571-0-9.
^ ^أ ^ب Hand, Louis N., and Janet D. Finch. "Chapter 2: Variational Calculus and Its Application to Mechanics." Analytical Mechanics. Cambridge: Cambridge UP, 1998. 45, 70. Print.
^ 29 يناير هو حسب التقويم اليوليوسي الذي كان مستخدماً آنذاك في إنگلترة. بالنسبة لبرنولي، في فرنسا التي تستخدم التقويم الگريگوري، فقد كانت 8 فبراير. السنة 1697 هي نفس السنة كما نستخدمها اليوم. ولكن بالنسبة لنيوتن فقد كانت السنة المدنية 1696. ففي إنگلترة في ذلك الحين، السنة لم تزد حتى النة المدنية الجديدة في 25 مارس. ولذلك فإن أي شيء كتبه نيوتن حتى 25 مارس، فقد كان يؤرخه بسنة 1696. هذا الغموض حول تاريخ استلام نيوتن الرسالة تم توضيحه على أنه 29 يناير 1696/7.
^ Johann Bernoulli (June 1696) "Problema novum ad cujus solutionem Mathematici invitantur." (A new problem to whose solution mathematicians are invited.), Acta Eruditorum, 18 : 269. From p. 269: "Datis in plano verticali duobus punctis A & B (vid Fig. 5) assignare Mobili M, viam AMB, per quam gravitate sua descendens & moveri incipiens a puncto A, brevissimo tempore perveniat ad alterum punctum B." (Given in a vertical plane two points A and B (see Figure 5), assign to the moving [body] M, the path AMB, by means of which — descending by its own weight and beginning to be moved [by gravity] from point A — it would arrive at the other point B in the shortest time.)
^
Solutions to Johann Bernoulli's problem of 1696:
- إسحق نيوتن (يناير 1697) "De ratione temporis quo grave labitur per rectam data duo puncta conjungentem, ad tempus brevissimum quo, vi gravitatis, transit ab horum uno ad alterum per arcum cycloidis" (On a proof [that] the time in which a weight slides by a line joining two given points [is] the shortest in terms of time when it passes, via gravitational force, from one of these [points] to the other through a cycloidal arc), Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 19 : 424-425.
- G.G.L. (گوتفريد ڤلهلم لايبنتس) (مايو 1697) "Communicatio suae pariter, duarumque alienarum ad edendum sibi primum a Dn. Jo. Bernoullio, deinde a Dn. Marchione Hospitalio communicatarum solutionum problematis curva celerrimi descensus a Dn. Jo. Bernoullio Geometris publice propositi, una cum solutione sua problematis alterius ab eodem postea propositi." (His communication together with [those] of two others in a report to him first from Johann Bernoulli, [and] then from the Marquis de l'Hôpital, of reported solutions of the problem of the curve of quickest descent, [which was] publicly proposed by Johann Bernoulli, geometer — one with a solution of his other problem proposed afterwards by the same [person].), Acta Eruditorum, 19 : 201–205.
- Johann Bernoulli (May 1697) "Curvatura radii in diaphanis non uniformibus, Solutioque Problematis a se in Actis 1696, p. 269, propositi, de invenienda Linea Brachystochrona, id est, in qua grave a dato puncto ad datum punctum brevissimo tempore decurrit, & de curva Synchrona seu radiorum unda construenda." (The curvature of [light] rays in non-uniform media, and a solution of the problem [which was] proposed by me in the Acta Eruditorum of 1696, p. 269, from which is to be found the brachistochrone line [i.e., curve], that is, in which a weight descends from a given point to a given point in the shortest time, and on constructing the tautochrone or the wave of [light] rays.), Acta Eruditorum, 19 : 206–211.
- Jacob Bernoulli (May 1697) "Solutio problematum fraternorum, … " (A solution of [my] brother's problems, … ), Acta Eruditorum, 19 : 211–214.
- Marquis de l'Hôpital (May 1697) "Domini Marchionis Hospitalii solutio problematis de linea celerrimi descensus" (Lord Marquis de l'Hôpital's solution of the problem of the line of fastest descent), Acta Eruditorum, 19 : 217-220.
- أعيد طبعها: Isaac Newton (May 1697) "Excerpta ex Transactionibus Philos. Anglic. M. Jan. 1697." (مقتطف من Philosophical Transactions الإنگليزية لشهر يناير من عام 1697)، Acta Eruditorum, 19 : 223–224.
^ Livio, Mario (2003) [2002]. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number (First trade paperback ed.). New York City: Broadway Books. p. 116. ISBN 0-7679-0816-3.
^ ^أ ^ب Struik, J. D. (1969), A Source Book in Mathematics, 1200-1800, Harvard University Press, ISBN 0-691-02397-2
^ Herman Erlichson (1999), "Johann Bernoulli's brachistochrone solution using Fermat's principle of least time", Eur. J. Phys. 20 (5): 299–304, doi:10.1088/0143-0807/20/5/301
^ Sagan, Carl (2011). Cosmos. Random House Publishing Group. p. 94. ISBN 9780307800985. Retrieved 2 June 2016.
^ Katz, Victor J. (1998). A History of Mathematics: An Introduction (2nd ed.). Addison Wesley Longman. p. 547. ISBN 978-0-321-01618-8.
^ D.T. Whiteside, Newton the Mathematician, in Bechler, Contemporary Newtonian Research, p. 122.
^ Galileo Galilei (1638), "Third Day, Theorem 22, Prop. 36", Discourses regarding two new sciences, p. 239 This conclusion had appeared six years earlier in Galileo's Dialogue Concerning the Two Chief World Systems (Day 4).
^ Bernoulli, Johann. Mémoires de l'Académie des Sciences (French Academy of Sciences) Vol. 3, 1718, pp. 135–138
^ The Early Period of the Calculus of Variations, by P. Freguglia and M. Giaquinta, pp. 53–57, ISBN 978-3-319-38945-5.
^ Babb, Jeff; Currie, James (July 2008), "The Brachistochrone Problem: Mathematics for a Broad Audience via a Large Context Problem", The Montana Mathematics Enthusiast 5 (2&3): 169–184, Archived from the original on 2011-07-27, https://web.archive.org/web/20110727210743/http://www.math.umt.edu/tmme/vol5no2and3/TMME_vol5nos2and3_a1_pp.169_184.pdf
^ Dubois, Jacques (1991). "Chute d'une bille le long d'une gouttière cycloïdale; Tautochrone et brachistochrone; Propriétés et historique" (PDF). Bulletin De L'Union Des Physiciens. 85 (737): 1251–1289.

وصلات خارجية

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Brachistochrone", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
Eric W. Weisstein, Brachistochrone Problem at MathWorld.
Brachistrochrone ( at MathCurve, with excellent animated examples)
The Brachistochrone, Whistler Alley Mathematics.
Table IV from Bernoulli's article in Acta Eruditorum 1697
Brachistochrones by Michael Trott and Brachistochrone Problem by Okay Arik, Wolfram Demonstrations Project.
The Brachistochrone problem at MacTutor
Geodesics Revisited — Introduction to geodesics including two ways of derivation of the equation of geodesic with brachistochrone as a special case of a geodesic.
Optimal control solution to the Brachistochrone problem in Python.
The straight line, the catenary, the brachistochrone, the circle, and Fermat Unified approach to some geodesics.

الكلمات الدالة:

[1] Chisholm, Hugh, ed. (1911). "Brachistochrone" . دائرة المعارف البريطانية (eleventh ed.). Cambridge University Press. {{cite encyclopedia}}: Cite has empty unknown parameter: |coauthors= (help)

[Stewart-2] Stewart, James. "Section 10.1 - Curves Defined by Parametric Equations." Calculus: Early Transcendentals. 7th ed. Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole, 2012. 640. Print.

[3] Ross, I. M. The Brachistochrone Paradigm, in Primer on Pontryagin's Principle in Optimal Control, Collegiate Publishers, 2009. ISBN 978-0-9843571-0-9.

[Hand-4] أ ^ب Hand, Louis N., and Janet D. Finch. "Chapter 2: Variational Calculus and Its Application to Mechanics." Analytical Mechanics. Cambridge: Cambridge UP, 1998. 45, 70. Print.

[5] 29 يناير هو حسب التقويم اليوليوسي الذي كان مستخدماً آنذاك في إنگلترة. بالنسبة لبرنولي، في فرنسا التي تستخدم التقويم الگريگوري، فقد كانت 8 فبراير. السنة 1697 هي نفس السنة كما نستخدمها اليوم. ولكن بالنسبة لنيوتن فقد كانت السنة المدنية 1696. ففي إنگلترة في ذلك الحين، السنة لم تزد حتى النة المدنية الجديدة في 25 مارس. ولذلك فإن أي شيء كتبه نيوتن حتى 25 مارس، فقد كان يؤرخه بسنة 1696. هذا الغموض حول تاريخ استلام نيوتن الرسالة تم توضيحه على أنه 29 يناير 1696/7.

[6] Johann Bernoulli (June 1696) "Problema novum ad cujus solutionem Mathematici invitantur." (A new problem to whose solution mathematicians are invited.), Acta Eruditorum, 18 : 269. From p. 269: "Datis in plano verticali duobus punctis A & B (vid Fig. 5) assignare Mobili M, viam AMB, per quam gravitate sua descendens & moveri incipiens a puncto A, brevissimo tempore perveniat ad alterum punctum B." (Given in a vertical plane two points A and B (see Figure 5), assign to the moving [body] M, the path AMB, by means of which — descending by its own weight and beginning to be moved [by gravity] from point A — it would arrive at the other point B in the shortest time.)

[7] Solutions to Johann Bernoulli's problem of 1696:
إسحق نيوتن (يناير 1697) "De ratione temporis quo grave labitur per rectam data duo puncta conjungentem, ad tempus brevissimum quo, vi gravitatis, transit ab horum uno ad alterum per arcum cycloidis" (On a proof [that] the time in which a weight slides by a line joining two given points [is] the shortest in terms of time when it passes, via gravitational force, from one of these [points] to the other through a cycloidal arc), Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 19 : 424-425.

G.G.L. (گوتفريد ڤلهلم لايبنتس) (مايو 1697) "Communicatio suae pariter, duarumque alienarum ad edendum sibi primum a Dn. Jo. Bernoullio, deinde a Dn. Marchione Hospitalio communicatarum solutionum problematis curva celerrimi descensus a Dn. Jo. Bernoullio Geometris publice propositi, una cum solutione sua problematis alterius ab eodem postea propositi." (His communication together with [those] of two others in a report to him first from Johann Bernoulli, [and] then from the Marquis de l'Hôpital, of reported solutions of the problem of the curve of quickest descent, [which was] publicly proposed by Johann Bernoulli, geometer — one with a solution of his other problem proposed afterwards by the same [person].), Acta Eruditorum, 19 : 201–205.

Johann Bernoulli (May 1697) "Curvatura radii in diaphanis non uniformibus, Solutioque Problematis a se in Actis 1696, p. 269, propositi, de invenienda Linea Brachystochrona, id est, in qua grave a dato puncto ad datum punctum brevissimo tempore decurrit, & de curva Synchrona seu radiorum unda construenda." (The curvature of [light] rays in non-uniform media, and a solution of the problem [which was] proposed by me in the Acta Eruditorum of 1696, p. 269, from which is to be found the brachistochrone line [i.e., curve], that is, in which a weight descends from a given point to a given point in the shortest time, and on constructing the tautochrone or the wave of [light] rays.), Acta Eruditorum, 19 : 206–211.

Jacob Bernoulli (May 1697) "Solutio problematum fraternorum, … " (A solution of [my] brother's problems, … ), Acta Eruditorum, 19 : 211–214.

Marquis de l'Hôpital (May 1697) "Domini Marchionis Hospitalii solutio problematis de linea celerrimi descensus" (Lord Marquis de l'Hôpital's solution of the problem of the line of fastest descent), Acta Eruditorum, 19 : 217-220.

أعيد طبعها: Isaac Newton (May 1697) "Excerpta ex Transactionibus Philos. Anglic. M. Jan. 1697." (مقتطف من Philosophical Transactions الإنگليزية لشهر يناير من عام 1697)، Acta Eruditorum, 19 : 223–224.

[8] إسحق نيوتن (يناير 1697) "De ratione temporis quo grave labitur per rectam data duo puncta conjungentem, ad tempus brevissimum quo, vi gravitatis, transit ab horum uno ad alterum per arcum cycloidis" (On a proof [that] the time in which a weight slides by a line joining two given points [is] the shortest in terms of time when it passes, via gravitational force, from one of these [points] to the other through a cycloidal arc), Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 19 : 424-425.

[9] G.G.L. (گوتفريد ڤلهلم لايبنتس) (مايو 1697) "Communicatio suae pariter, duarumque alienarum ad edendum sibi primum a Dn. Jo. Bernoullio, deinde a Dn. Marchione Hospitalio communicatarum solutionum problematis curva celerrimi descensus a Dn. Jo. Bernoullio Geometris publice propositi, una cum solutione sua problematis alterius ab eodem postea propositi." (His communication together with [those] of two others in a report to him first from Johann Bernoulli, [and] then from the Marquis de l'Hôpital, of reported solutions of the problem of the curve of quickest descent, [which was] publicly proposed by Johann Bernoulli, geometer — one with a solution of his other problem proposed afterwards by the same [person].), Acta Eruditorum, 19 : 201–205.

[10] Johann Bernoulli (May 1697) "Curvatura radii in diaphanis non uniformibus, Solutioque Problematis a se in Actis 1696, p. 269, propositi, de invenienda Linea Brachystochrona, id est, in qua grave a dato puncto ad datum punctum brevissimo tempore decurrit, & de curva Synchrona seu radiorum unda construenda." (The curvature of [light] rays in non-uniform media, and a solution of the problem [which was] proposed by me in the Acta Eruditorum of 1696, p. 269, from which is to be found the brachistochrone line [i.e., curve], that is, in which a weight descends from a given point to a given point in the shortest time, and on constructing the tautochrone or the wave of [light] rays.), Acta Eruditorum, 19 : 206–211.

[11] Jacob Bernoulli (May 1697) "Solutio problematum fraternorum, … " (A solution of [my] brother's problems, … ), Acta Eruditorum, 19 : 211–214.

[12] Marquis de l'Hôpital (May 1697) "Domini Marchionis Hospitalii solutio problematis de linea celerrimi descensus" (Lord Marquis de l'Hôpital's solution of the problem of the line of fastest descent), Acta Eruditorum, 19 : 217-220.

[13] أعيد طبعها: Isaac Newton (May 1697) "Excerpta ex Transactionibus Philos. Anglic. M. Jan. 1697." (مقتطف من Philosophical Transactions الإنگليزية لشهر يناير من عام 1697)، Acta Eruditorum, 19 : 223–224.

[8] Livio, Mario (2003) [2002]. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number (First trade paperback ed.). New York City: Broadway Books. p. 116. ISBN 0-7679-0816-3.

[Struik-9] أ ^ب Struik, J. D. (1969), A Source Book in Mathematics, 1200-1800, Harvard University Press, ISBN 0-691-02397-2

[10] Herman Erlichson (1999), "Johann Bernoulli's brachistochrone solution using Fermat's principle of least time", Eur. J. Phys. 20 (5): 299–304, doi:10.1088/0143-0807/20/5/301

[11] Sagan, Carl (2011). Cosmos. Random House Publishing Group. p. 94. ISBN 9780307800985. Retrieved 2 June 2016.

[12] Katz, Victor J. (1998). A History of Mathematics: An Introduction (2nd ed.). Addison Wesley Longman. p. 547. ISBN 978-0-321-01618-8.

[13] D.T. Whiteside, Newton the Mathematician, in Bechler, Contemporary Newtonian Research, p. 122.

[14] Galileo Galilei (1638), "Third Day, Theorem 22, Prop. 36", Discourses regarding two new sciences, p. 239 This conclusion had appeared six years earlier in Galileo's Dialogue Concerning the Two Chief World Systems (Day 4).

[15] Bernoulli, Johann. Mémoires de l'Académie des Sciences (French Academy of Sciences) Vol. 3, 1718, pp. 135–138

[16] The Early Period of the Calculus of Variations, by P. Freguglia and M. Giaquinta, pp. 53–57, ISBN 978-3-319-38945-5.

[17] Babb, Jeff; Currie, James (July 2008), "The Brachistochrone Problem: Mathematics for a Broad Audience via a Large Context Problem", The Montana Mathematics Enthusiast 5 (2&3): 169–184, Archived from the original on 2011-07-27, https://web.archive.org/web/20110727210743/http://www.math.umt.edu/tmme/vol5no2and3/TMME_vol5nos2and3_a1_pp.169_184.pdf

[Dubois-18] Dubois, Jacques (1991). "Chute d'une bille le long d'une gouttière cycloïdale; Tautochrone et brachistochrone; Propriétés et historique" (PDF). Bulletin De L'Union Des Physiciens. 85 (737): 1251–1289.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]