مبرهنة پيانو للوجود

في الرياضيات، وبالتحديد في دراسة المعادلات التفاضلية العادية, مبرهنة الوجود لبيانو أو مبرهنة بيانو أو مبرهنة كوشي-بيانو، المسماة هكذا نسبة إلى كل من جيوسيبي بيانو و أوگوستان لوي كوشي، هي مبرهنة أساسية تضمن وجود حلول لمشاكل القيمة الابتدائية.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 التاريخ

نشر پيانو المبرهنة لأول مرة في 1886 ببرهان غير كامل. وفي 1890 نشر برهان صحيح جديد باستخدام تقريبات متتابعة.

 المبرهنة

افترض D هي الفئة الجزئية المفتوحة R × R بحيث

$f\colon D\to \mathbb {R}$

دالة متصلة و

$y'(x)=f\left(x,y(x)\right)$

a continuous, explicit first-order differential equation defined on D, then every initial value problem

$y\left(x_{0}\right)=y_{0}$

for f with $(x_{0},y_{0})\in D$ has a local solution

$z\colon I\to \mathbb {R}$

where $I$ is a neighbourhood of $x_{0}$ in $\mathbb {R}$, such that $z'(x)=f\left(x,z(x)\right)$ for all $x\in I$.

The solution need not be unique: one and the same initial value (x₀,y₀) may give rise to many different solutions z.