جسيم في حلقة

جسيم في حلقة في ميكانيكا الكم (بالإنجليزية: particle in a ring ) هو أحد النماذج المسخدمة في ميكانيكا الكم تؤدي إلى كمومية الطاقة (أي أن تتخذ الطاقة كمات محددة منفصلة) . ويعتبر هذا المثال مشابها لحالة الجسيم في صندوق والمحلولة هناك بإسهاب . ولذلك يسمى هذا النموذج أحيانا " جسيم في صندوق جهدي حلقي " .

تنشأ على محيط الدائرة عددا صحيحا فقط من أنصاف طول الموجة وتكوّن موجة ساكنة ، كما يمكن تكوّن ترددات خاصة معينة تفي بهذا الشرط ، وبالتالي عدة مستويات طاقة منفصلة.

والاختلاف عن حالة الجسيم في صندوق هو أن الجسيم هنا يتحرك دائريا وليس في خط مستقيم في حلقة جهد حول نقطة معينة .

وتصاغ معادلة شرودنگر لهذه الحالة كالآتي :

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2mr^{2}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\psi (\mathbf {\phi } )\;=\;E\psi (\mathbf {\phi } )$

حيث :

E طاقة الجسيم

m كتلة الجسيم

r نصف قطر الحلقة الجهدية

$\psi (\mathbf {\phi } )$ الدالة الموجية للجسيم .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 الصياغة الرياضية

لكي نحصل عل الدوال الموجية و ومستويات الطاقة لجسيم في الحلقة نستخدم معادلة شرودنغر في الحالة المستقرة (التي لا تعتمد على الزمن) في الجهد الموجود . ويمثل الجهد بالعلاقة:

$V(\phi )={\begin{cases}V_{0},&{\text{when }}r=\rho \\\infty ,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

ويمكن كتابة معامل هاميلتون في نظام الإحداثيات الكروية في مسألتنا كالآتي:

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m\rho ^{2}}}{\frac {d^{2}}{d\phi ^{2}}}+V_{0}$

فتنتج معادلة شرودنجر التي نريد حلها :

$\psi ''(\phi )=-{\frac {2m\rho ^{2}}{\hbar ^{2}}}(E-V_{0})\psi (\phi ).$

وهي معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية ، وفيها طاقة E الجسيم ، وحل المعادلة يعطينا الدالة الموجية للجسيم :

$\psi _{M}(\phi )=\alpha e^{iM\phi }.\!\,$

وبالتعويض عنها في معادلة شرودنجر نحصل على :

$M={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}\rho .\!\,$

ولكي نصل إلى حل واضح المعنى لا بد من اختيار شرط هام ، وهو أنه بعد إتمام دورة كاملة في الحلقة لابد وأن تتخذ الدالة الموجية قيمتها الابتدائية ثانيا:

$\psi (\phi )=\psi (\phi +2\pi ),\!\,$

وهذا يؤدي إلى الشرط التالي:

${\begin{aligned}\alpha e^{iM\phi }&=\alpha e^{iM(\phi +2\pi )}\\e^{iM\phi }&=e^{iM\phi }e^{2\pi iM}\\e^{2\pi iM}&=1.\end{aligned}}\!\,$

وهذا الشرط يتحقق عندما تكون $M$ عددا صحيحا . ونحصل على الطاقات التي يمكن للجسيم امتلاكها في الحلقة عن طريق اعادة تشكيل المعادلة:

$E={\frac {M^{2}\hbar ^{2}}{2m\rho ^{2}}}+V_{0},\quad M\in \mathbb {Z} .\!\,$

والآن نقوم بتوحيد الدالة الموجية ، عن طريق إجراء تكامل على مربع مقدار الدالة الموجية بين $0$ و $2\pi$ (التوحيد معناه أن الدالة الموجية موجودة في الحلقة بنسبة 100%) .

ويمكن كتابة الدالة الموجية ب صيغة أويلر التي تحول الدالة الأسية المركبة إلى دالة مثلثية بالطريقة التالية:

$\alpha e^{iM\phi }=\alpha (i\sin {(M\phi )}+\cos {(M\phi )})\!\,$

وبما أن مقدار العدد المركب $z$ معرف بالعلاقة $|z|={\sqrt {{\text{Im}}(z)^{2}+{\text{Re}}(z)^{2}}}$

فنحصل على:

$\alpha ^{2}\int _{0}^{2\pi }\underbrace {\sin ^{2}{(M\phi )}+\cos ^{2}{(M\phi )}} _{=1}\mathrm {d} \phi =1,$

بذلك نحصل على قيمة $\alpha ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ .

بذلك نكون قد توصلنا إلى الدالة الموجية لجسيم في الحلقة :

$\psi _{M}(\phi )={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{iM\phi }\quad M\in \mathbb {Z} ,&{\text{when }}r=\rho \\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

حيث $\rho \!\,$ هو نصف قطر الحلقة الذي يستقر فيه الجسيم .

كما حصلنا أعلاه على الطاقات E التي يمكن للجسيم امتلاكها وهي تعتمد على $M^{2}$ حيث M لا تأخذ سوى أعدادا صحيحة ، وهذ هو معنى كمومية الطاقة ، فالطاقة التي يمكن للجسيم امتلاكها تكون منفصلة descret.

 الانفطار

بين حل مسألة حركة جسيم في حلقة جهدية أن طاقة الجسيم تتخذ مقادير كمومية منفصلة ، وبجانب تلك النتيجة الهامة يشير المثال إلى تواجد صفة افطار أو انشقاق مستويات الطاقة . فحل مسألة الجسيم في حلقة أتي بقيم ل $M$ ذات إشارة موجبة وذات إشارة سالبة ، أي تمثل حالتين مختلفتين حيث $M^{2}$ تمثل نفس الطاقة . هذا معناه أنه توجد لكل مستوي طاقة حالتين ، ويسمى ذلك أن النظام منفطر انفطارا ثنائيا .

ونشاهد ظاهرة انفطار مستويات طاقة الإلكترون في الذرات عند تعرض الذرة إلى مجال مغناطيسي خارجي شديد كما في تأثير زيمان ، أو تعرض الذرة إلى مجال كهربائي خارجي شديد مثلما في تأثير شتارك. وتظهر عمليا في هيئة انشقاق خطوط الطيف لها .

 توحيد الدالة الموجية للزخم الزاوي

للحصول على القيم $A$ للزخم الزاوي نستخدم عملية التوحيد وهي أحد شروط حل الدالة الموجية لجسيم . والتوحيد معناه أن الجسيم موجود فعلا في الحلقة .

للحصول على قيمة الدالة الموجية نضرب الدالة الموجية في مرافقها $\psi ^{*}$ ، ونأخذ الجذر التربيعي منها.

نحصل على ثابت التوحيد $A$ بإجراء تكامل المعادلة:

بذلك نحصل على الدالة الموجية الموحدة :

وتتحقق المعادلة عندما يكون ثابت التوحيد عددا حقيقيا (أي عندما يكون طور الموجة مساويا للصفر ، $\beta =0$).

وبالتعويض عنها في معادلة مربع الدالة الموجية أعلاه , نحصل على الكثافة الاحتمالية :

وهي نتيجة تتفق مع الميكانيكا الكلاسيكية .

 انظر أيضاً

• معادلة شرودنگر
• جهد يوكاوا
• ميكانيكا الكم
• هزاز توافقي
• هزاز توافقي (ميكانيكا الكم)
• جسيم في صندوق