أنظمة العد

 تعريف

هي مجموعة طرق تمثيل الأعداد وكتابتها بـ أنظمة العد

وضع قواعد هذه الأنظمة العالم العربي :الخوارزمي

من أشهر نظم العد: الثنائي والثماني والعشري والسداسي عشر ولكنها غير محصورة في هذه النظم.

إن اشهر نظام عددي هو النظام العربي- الهندي الذي ينتشر بشكل واسع في العالم .

 مقدمة

في أي نظام عددي هناك عدة أمور يجب فهمها ومراعاتها :

1. مجال الأرقام التي يمكن التمثيل بها Domain
2. الأساس Base ولتوضيح هذا المفهوم نأخذ المثال التالي:

يمكن تمثيل أي عدد بشكل معادلة من الشكل لتأخذ شكل عشري

$a{x}^{n-1}+b{x}^{n-2}+c{x}^{n-3}+d{x}^{n-4}...$

حيث n يمثل عدد الخانات، x أساس نظام العد.

بحيث يكون لكل حد :رقم أحد الخانات مضروباً بالعدد الأس (القاعدة) مرفوعا لقوة معينة

1. يوضع بجانب كل عدد , رقم صغير يدل على نظام العد. أمثلة:

• $0101_2$ يدل على النظام الثنائي
• $18596_{10}$ النظام العشري
• $1576_8$ يدل على النظام الثماني
• $A3F45_{16}$ النظام السداسي عشري

 فوائد أنظمة العد

 الثنائي

يستعمل من قبل الحاسب والدارات الكهربائية بشكل مباشر لفهم التعليمات البرمجية حيث يتميز بكونه يأخذ قيمتين 0و 1 بحيث تتميز دارة إلكترونية بحالتين للجسيم حالة مرور تيار كهربائي او عدمه وتتميز كما هو حال الديود و الترانزستور ,و دارة كهربائية بحالة مغنطة الجسم او عدمه كما هو حال القرص الصلب .

 السداسي عشري

يستعمل لعنونة أماكن ذاكرة الوصول العشوائي RAM حيث يأخذ كل قسم من الذاكرة رقم سداسي عشري.

 العشري

مهم كونه النظام المتداول بالعالم وكونه يعتمد على عدد أصابع اليدين (كون الإنسان القديم اخترع نظام العد العشري اعتماداً على عدد أصابعه )

 لمحة عامة عن أنظمة العد

 النظام العشري Decimal System

1. المجال : (0-1-2-3-4-5-6-7-8-9)
2. الأساس 10 أي أن أي عدد مكتوب بالنظام العشري يكتب بدلالة $10^x$

مثال على ذلك العدد $1234.21_{10}$ أو يكتب كالتالي: $1234.21_d$

بشكل سلسلة كالتالي  :

$1\times 10^3+2\times 10^2+3\times 10^1+4\times 10^0+2\times 10^{-1}+1\times 10^{-2}$

$1234.21=1000+200+30+4+0.2+0.01$

 النظام الثنائي Binary System

 التمثيل الموجب

ان التمثيل التالي يدعى التمثيل الموجب للاعداد الثنائية بحيث يمكن فقط تمثيل الاعداد الموجبة فقط . بحيث يتم تمثيل العدد على n خانة تمثل كل خانة مضاعفات العدد 2 مضروبة برقم خانتها مطروحاً منها واحد , فالخانة الاولى تدل على $2^0$ بينما الخانة رقم 10 تمثل $2^9$

1. المجال : (0-1)
2. يعتمد الأساس 2 أي أن العدد $1011_2$ أو $1011_B$ يكتب بشكل سلسلة :

$1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0$

$8+0+2+1=11_{10}$

 تمثيل المطال والإشارة Sign Magnitutde

يعتمد نفس التمثيل السابق ولكن لتميل الاعداد السالبة التي لا يستطيع التمثيل السابق تمثيلها نخصص خانة لتدل على اشارة الرقم في حال كان الرقم موجب تملك القيمة 0 وفي حال كان سالب تملك قيمة 1 تكون تلك الخانة عادة الخانة الاخيرة من الرقم . ان الترميز السابق لا يعتمد من قبل الحاسب وانما هناك نظم ترميز اخرى .

مثال لتمثيل العدد 3 ممثلاً على 5 خانات

3 =$(2^0)*1+(2^1)*1+(2^2)*0+(2^3)*0+(2^4)*0$

مثال لتمثيل العدد 3- ممثلاً على 5 خانات

3 - =$(2^0)*1+(2^1)*1+(2^2)*0+(2^3)*0+(2^4)*1$

 الاتمام الى 2 complement 2's

ان النظام المتبع في تمثيل الاعداد على الحاسب هي الاتمام الى 2 . يتم تمثيل كل خانة كما في التمثيل الثنائي الموجب ولكن الخانة الاخيرة يتم ضربها باشارة سالبة وذلك لتمثيل الاعداد الموجبة والسالبة .

مثال : لتمثيل العدد 3 على 5 خانات

3 =$(2^0)*1+(2^1)*1+(2^2)*0+(2^3)*0+(2^4)*0$

3- =$(2^0)*1+(2^1)*0+(2^2)*1+(2^3)*1+(-2^4)*1$

استخدامات: يستخدم الترميز الثنائي بشكل اساسي في الحاسب اكثر من غيره من انظمة العد الاخرى .

 النظام الست عشري Hexadecimal System

1. المجال (0-1-2-3-4-5-6-7-8-9-F-E-D-C-B-A)
2. قاعدة هذا النظام هي 16

الأرقام من الصفر حتى 9 كما هي لكن بدءاً من 10 إلى 15 يرمز لها بالحروف من A إلى F كالتالي:

$A=10$ , $B=11$ , $C=12$ , $D=13$ , $E=14$ , $F=15$

مثال توضيحي الرقم التالي يكتب  :$3AD{1}_{16}$ أو $3AD{1}_h$ يكتب كالتالي

استخدامات : من اهم استخدامات الترميز السداسي عشري هو ترميز عناوين الذاكرة .

 النظام الثماني Octal System

1. لمجال (0-1-2-3-4-5-6-7)
2. القاعدة 8 بحيث يعتمد النظام الثماني على الأساس 8

مثال : العدد $1753_8$ أو $1753_o$ يكتب :

$1\times 8^3+7\times 8^2+5\times 8^1+3\times 8^0=1003$

استخدامات : يستخدم نظام الثماني في الحوسبة عوضاً عن النظام السداسي العشري ببعض الاحيان كما في ترميز UTF-8