معادلة تفاضلية خطية

في الرياضيات، المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة n هي معادلة من الشكل العام

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_{n}(x)y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+ \cdots +p_{1}(x)y^{\prime}+p_{0}(x)y=q(x)\qquad (1) }

حيث خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_{i}(x) \!} و خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {q(x)}\! } هي توابع (أو دالات ) معلومة وحيث خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_{n}(x)\ne 0 } ، و خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y(x)\! } هو تابع مجهول وايجاد هذا التابع هو بمثابة حل لهذه المعادلة حيث هنا يكمن محور بحث نطرية المعادلات التفاضلية بشكل عام.

عندما خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q(x)=0 \!} تسمى المعادلة بالمتجانسة Homogeneous حيث ايجاد حل المعادلة المتجانسة هو خطوة أولى نحو الحل العام للمعادلة اللامتجانسة.

عندما تكون المعاملات خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_{i}(x)\!} مجرد أعداد نقول أن المعادلة هي ذات معاملات ثابته.

 تمثيلات أخرى

أحياناً قد يمثل الشكل العام للمعادلة (1) بطريقة أخرى حيث نستبدل المعامل التفاضلي من الدرجةin بالرمز خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D^i} أي

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y^{(i)}=\frac{d^iy}{dx^i}=D^iy \!}

وتصبح المعادلة (1) كالتالي

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (p_{n}(x)D^{n}+p_{n-1}(x)D^{n-1}+ \cdots +p_{1}(x)D+p_{0}(x))y=q(x)}

أو خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i=0}^{n}p_i(x)D^iy=q(x) \!}

 حل المعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة

هذه المعادلة هي من الشكل خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_{n}y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+ \cdots +p_{1}y^{\prime}+p_{0}y=0 }

وتحل باستخدام الوسيط خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=e^{\lambda}\! }

فنحصل على معادلة جبرية من الشكل خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {p_{n}\lambda^n +p_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+p_1\lambda+p_0 = 0}} لها عدد n من الحلول خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda=s_0, s_1, \dots, s_{n-1}}

يقابلها نفس العدد من الحلول للمعادلة التفاضلية

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_i(x)=e^{s_i x}}

من الممكن برهنة أن هذه الحلول مستقلة خطياً. فيكون الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة من الشكل خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_H(x)=C_0(x)y_0(x)+C_1(x) y_1+\cdots+C_{n-1}(x) y_{n-1}}

حيثخطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_i(x) \!} قد تكون أعدادا أو دالات.

 حل المعادلة التفاضلية اللامتجانسة ذات المعاملات الثابتة

خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_{n}y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+ \cdots +p_{1}y^{\prime}+p_{0}y=q(x)\! }