مبرهنة بايز

مبرهنة بايز هي إحدى نتائج نظرية الإحتمالات الهامة التي تعطي التوزيع الاحتمالي الشرطي للمتغير العشوائي A مع العلم بالمتغير العشوائي B, وذلك بدلالة التوزيع الاحتمالي الشرطي للمتغير العشوائي B مع العلم ب A والتوزع الاحتمالي للمتغيرين A وB.

برهان مبدئي لمبرهنة بايز

لنفرض أن الأحداث A1 و A2 و A3 و A4 و A5 ... تشكل تجزيئا لفضاء العينة S . أي أن A1 و A2 و A3 و A4 و A5 مجموعات جزئية من فضاء العينة S متنافية مثنى مثنى (لا يوجد تقاطع بين أي اثنين منها, واجتماعها جميعها يشكل فضاء العينة بكامله). لنفرض أن حدثا ضمن فضاء العينة B (المنطقة المظللة) فإن :

B = (S \cap B) = () \cap B = (A 1 \cap B) \cup (A 2 \cap B) \cup (A 3 \cap B) \cup (A 4 \cap B) \cup (A 5 \cap B)

و بما أن A1 و A2 و A3 و A4 و A5 متنافية مثنى مثنى فإن الأحداث $B \cap A i$ متنافية أيضا مثنى :

P (B) = P (A 1 \cap B) + P (A 2 \cap B) + P (A 3 \cap B) + P (A 4 \cap B) + P (A 5 \cap B)

باستخدام علاقة الاحتمال الشرطي :

P (B) = P (B | A 1) P (A 1) + P (B | A 2) P (A 2) + P (B | A 3) P (A 3) + P (B | A 4) P (A 4) + P (B | A 5) P (A 5)

مقولات مبرهنة بايز

تقوم مبرهنة بايز بربط الاحتمالات الشرطية conditional و الاحتمالات الحافية marginal probabilities, لكي نقوم باستنتاج هذه المبرهنة, لا بد لنا أن نبدأ من تعريف الاحتمال الشرطي:

P (A | B) P (B) = P (A \cap B) = P (B | A) P (A)

و هو ما يقرأ(جداء الاحتمال الشرطي ل A بمعرفة B في احتمال B) يعطي احتمال حدوث A وB معا وهو يساوي أيضا (جداء الاحتمال الشرطي ل B بمعرفة A في احتمال A).

باعتبار P(B) ليس معدوما نقوم بقسمة طرفي المعادلة السابقة عليه:

P (A | B) = \frac{P (B | A) P (A)}{P (B)}

و هو نص ما يعرف عادة بمبرهنة بايز .

تقرأ : " الاحتمال الشرطي للحدث A بمعرفة الحدث B يساوي إلى احتمال B بمعرفة A مضروبا باحتمال A مقسوما على احتمال B . "

قالب:بذرة احصاء واحتمالات