تكامل

مواضيع في التحليل الرياضي

المبرهنة الأساسية للتكامل | دالة رياضية | نهاية دالة | دالة مستمرة | التكامل مع كثيرات الحدود | مبرهنة القيمة الوسطى | التكامل الشعاعي | تكامل الموترات

التفاضل

قاعدة الجداء | قاعدة كيوتنت | قاعدة التسلسل | التفاضل الضمني | مبرهنة تايلور | المعدل المرتبط

تكامل

قاعدة الاستبدال | التكامل بالتجزئة | التكامل بالاستبدال المثلثي | التكامل بالأقراص | التكامل بالأسطوانات | التكامل غيرالمتلائم | قائمة التكاملات

A definite integral of a function can be represented as the signed area of the region bounded by its graph.

في علم الرياضيات، تعتبر مكاملة الدالة نوعاً من التعميم لكميات قابلة للتجزئة مثل :المساحة أو الحجم أو الكتلة أو أي مجموع لعناصر متناهية في الصغر.
بالرغم من تعدد التعاريف المستخدمة للتكامل وتعدد طرق استخدامه فإن نتيجة هذه الطرق جميعها متشابهة وجميع التعاريف تؤدي في النهاية إلى المعنى ذاته. يمكن اعتبار تكامل دالة حقيقية مستمرة ذات قيم موجبة لمتغير حقيقي بين قيمة حدية دنيا و قيمة حدية عليا هي المساحة المحصورة بين المستقيمين الرأسيين : x=a, x=b و المحور x و المنحني المحدد بالدالة ، يمكن صياغة ذلك بشكل رياضي:

 S= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2:a \leq x \leq b ,0 \leq y \leq f(x)\},

ويرمز لهذه العملية حسب اصطلاح لورينتز :

\int_a^b f(x)\,dx.

النقطة الأساسية في التكامل تأتي من المبرهنة الأساسية في التكامل و التي تنص على أن مشتق تابع المساحة تحت منحني الدالة هو الدالة نفسها . بالتالي اذا عرفنا دالة تربط القيمة x يقيمة المساحة المحدودة بين منحني الدالة  f(x) و محور السينات و من الجهة الخرى محدودة بمحور العينات و المستقيم X=x ، تدعى هذه الدالة ب دالة المساحة و مشتقها هو الدالة  f(x) نفسها ، لذلك ندعو تابع المساحة عكس الإشتقاق أو التابع الأصلي للدالة  f(x) .

يقوم حساب التكامل على ايجاد التابع الأصلي للدالة التي نريد القيام بمكاملتها .

Contents

التاريخ

التكامل قبل اكتشاف التفاضل

نيوتون ولايبنتس

وقد عرض جوتفريد لايبنتز، في 13 نوفمبر 1675، أول عملية تكامل لحساب المساحة تحت منحنى الدالة ص = د(س).

يوجد عدة انواع للتكامل منها: التكامل بالتجزيء، التكامل بالتعويض، التحويل إلى الكسور الجزئية، الاختزال المتتالي.


خصائص التكامل

الخطية

Numerical quadrature

The goals of numerical integration are accuracy, reliability, efficiency, and generality. Sophisticated methods can vastly outperform a naive method by all four measures (Dahlquist & Björck 2008; Kahaner, Moler & Nash 1989; Stoer & Bulirsch 2002). Consider, for example, the integral

 \int_{-2}^{2} \tfrac15 \left( \tfrac{1}{100}(322 + 3 x (98 + x (37 + x))) - 24 \frac{x}{1+x^2} \right) dx ,

which has the exact answer 9425 = 3.76. (In ordinary practice the answer is not known in advance, so an important task — not explored here — is to decide when an approximation is good enough.) A “calculus book” approach divides the integration range into, say, 16 equal pieces, and computes function values.

Spaced function values
x −2.00 −1.50 −1.00 −0.50  0.00  0.50  1.00  1.50  2.00
f(x)  2.22800  2.45663  2.67200  2.32475  0.64400 −0.92575 −0.94000 −0.16963  0.83600
x   −1.75 −1.25 −0.75 −0.25  0.25  0.75  1.25  1.75
f(x)  2.33041  2.58562  2.62934  1.64019 −0.32444 −1.09159 −0.60387  0.31734
Numerical quadrature methods:  Rectangle,  Trapezoid,  Romberg,  Gauss


Quadrature method cost comparison
الطريقة Trapezoid رومبرگ Rational گاوس
Points 1048577 257 129 36
Rel. Err. −5.3×10−13 −6.3×10−15 8.8×10−15 3.1×10−15
القيمة \textstyle \int_{-2.25}^{1.75} f(x)\,dx = 4.1639019006585897075\ldots


انظر أيضاً

المصادر


وصلات خارجية

هناك كتاب ، Calculus، في معرفة الكتب.


Online books

قالب:Integral