الطوبولوجيا التفاضلية

(تم التحويل من Differential geometry)
نظرية مورس لدالة الارتفاع على torus يمكن أن تصف its homotopy type.

في الرياضيات، الطوبولوجيا التفاضلية هي الحقل الذي يتعامل مع دالة قابلة للمفاضلة differentiable على متعدد فروع Manifold قابل للمفاضلة أيضا ، يظهر طبيعياً مِنْ دراسة نظرية المعادلات التفاضلية .

أما الهندسة التفاضلية فهي دراسة الهندسة بإستعمال حساب التفاضل والتكامل. هذه الحقولِ مترابطة ، ولها العديد من التطبيقاتِ في الفيزياء، بشكل خاص في نظرية النسبية. وهم سوية يكونون النظرية الهندسية لمتعددات الفروع القابلة للمفاضلة - الذي يمكّن أيضاً من دراستهم مباشرة من وجهة نظر نظام ديناميكي .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

جوهري مقابل عرضيِ

منذ البداية وحتى منتصف القرن التاسع عشر، درِست الهندسة التفاضلية من وجهة نظر عرضية  : حيث يتم اعتبار المنحنى والسطح واقعين في فضاء إقليدي ذو أبعاد أكثر (على سبيل المثال سطح في فضاءِ بيئيِ مِنْ ثلاثة أبعاد). إنّ النَتائِجَ الأسهلَ تلك في هندسة تفاضلية للأقواسِ. كانت البداية بعملِ ريمان، حيث طُوّرتْ وجهة نظر الجوهرية ، وفيها لا يمكن الكَلام عن نقلخارج' الجسمِ الهندسيِ خارجا لأنه يعتَبَرُ أساسا معرفا بشكل حر .

إنّ وجهةَ النظر الجوهرية أكثر مرونة، فهو على سبيل المثال مفيدة في النسبيةِ حيث لا يمكن أَن يؤخذ الزمكان بشكل عرضي. وفق وجهة النظر الجوهرية من الصعب تعريف التقوس وتراكيب أخرى مثل الإتصال الرياضي، لذا هناك صعوبات تفرضها وجهة النظر هذه .

وجهتي النظر هاتين يُمْكِنُ أَنْ تُصالحا، وبمعنى آخر: الهندسة العرضية يُمْكِنُ أَنْ تعتَبر كإضافة تركيبِ إلى الجوهريةِ .


الطبولوجيا التفاضلية مقابل الهندسة التفاضلية

Differential topology and differential geometry are first characterized by their similarity. They both study primarily the properties of differentiable manifolds, sometimes with a variety of structures imposed on them.

تحريك لقدح قهوة يتحول إلى شكل دونـَت

One major difference lies in the nature of the problems that each subject tries to address. In one view,[1] differential topology distinguishes itself from differential geometry by studying primarily those problems that are inherently global. Consider the example of a coffee cup and a donut. From the point of view of differential topology, the donut and the coffee cup are the same (in a sense). This is an inherently global view, though, because there is no way for the differential topologist to tell whether the two objects are the same (in this sense) by looking at just a tiny (local) piece of either of them. They must have access to each entire (global) object.

From the point of view of differential geometry, the coffee cup and the donut are different because it is impossible to rotate the coffee cup in such a way that its configuration matches that of the donut. This is also a global way of thinking about the problem. But an important distinction is that the geometer does not need the entire object to decide this. By looking, for instance, at just a tiny piece of the handle, they can decide that the coffee cup is different from the donut because the handle is thinner (or more curved) than any piece of the donut.

To put it succinctly, differential topology studies structures on manifolds that, in a sense, have no interesting local structure. Differential geometry studies structures on manifolds that do have an interesting local (or sometimes even infinitesimal) structure.

More mathematically, for example, the problem of constructing a diffeomorphism between two manifolds of the same dimension is inherently global since locally two such manifolds are always diffeomorphic. Likewise, the problem of computing a quantity on a manifold that is invariant under differentiable mappings is inherently global, since any local invariant will be trivial in the sense that it is already exhibited in the topology of . Moreover, differential topology does not restrict itself necessarily to the study of diffeomorphism. For example, symplectic topology—a subbranch of differential topology—studies global properties of symplectic manifolds. Differential geometry concerns itself with problems—which may be local or global—that always have some non-trivial local properties. Thus differential geometry may study differentiable manifolds equipped with a connection, a metric (which may be Riemannian, pseudo-Riemannian, or Finsler), a special sort of distribution (such as a CR structure), and so on.

This distinction between differential geometry and differential topology is blurred, however, in questions specifically pertaining to local diffeomorphism invariants such as the tangent space at a point. Differential topology also deals with questions like these, which specifically pertain to the properties of differentiable mappings on (for example the tangent bundle, jet bundles, the Whitney extension theorem, and so forth).

The distinction is concise in abstract terms:

  • Differential topology is the study of the (infinitesimal, local, and global) properties of structures on manifolds that have only trivial local moduli.
  • Differential geometry is such a study of structures on manifolds that have one or more non-trivial local moduli.

هندسة المنحنيات التفاضلية

هندسة السطوح التفاضلية

الحسبان على متعددات التفرع Gauss-Bonnet theorem

طوبولوجيا تفاضلية

حزم ليفية Fiber bundles

هندسة ريمانية

بنى متعددة

انحناء Curvature

المقالة الرئيسية : انحناء متعدد تفرع ريماني


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

مواضيع أخرى

وصلات خارجية


  1. ^ خطأ استشهاد: وسم <ref> غير صحيح؛ لا نص تم توفيره للمراجع المسماة hirsch
الكلمات الدالة: