اشتقاق عكسي

لمعلومات عن قوائم المشتقات العكسية أو الدوال الأولية، انظر قوائم التكاملات.

حقل الميل للدالة ƒ(x) = (x3/3)-(x2/2)-x+c يُظهر ثلاث من عدد لا نهائي من الحلول التي يمكن التوصل إليها باستخدام الثابت العشوائي c.

مواضيع في التحليل الرياضي المبرهنة الأساسية للتكامل | دالة رياضية | نهاية دالة | دالة مستمرة | التكامل مع كثيرات الحدود | مبرهنة القيمة الوسطى | التكامل الشعاعي | تكامل الموترات التفاضل قاعدة الجداء | قاعدة كيوتنت | قاعدة التسلسل | التفاضل الضمني | مبرهنة تايلور | المعدل المرتبط تكامل قاعدة الاستبدال | التكامل بالتجزئة | التكامل بالاستبدال المثلثي | التكامل بالأقراص | التكامل بالأسطوانات | التكامل غيرالمتلائم | قائمة التكاملات

في التحليل الرياضي، المشتق العكسي Antiderivative أو التكامل غير المحدود Indefinite Integral، أو الدالة الأصلية Primitive Function لدالة حقيقية f هي دالة F مشتقه تساوي : f ، أي أن F′ = f.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 القواعد الرياضياتية

يعبر عن التكامل غير المحدود رياضياتياً بالصيغة:

$\int f(x)dx=F(x)+C$

حيث

$F'\!(x)={\frac {d}{dx}}F(x)=f(x)$

استُعمل الرمز $\textstyle \int$ للدلالة على التكامل وهو مشتق من الرمز الأصلي s بالإنكليزية من مجموع sum و مع الوقت اعتاد الرياضياتيون على مد الحرف ليصبح بالشكل الذي هو علية الآن. التعبير F(x) + C هو الاشتقاق العكسي العام للدالة لأن مشتقة الثابت C هي صفرf. إن سبب ضرورة إضافة ثابت في التكامل هو عدم معرفة القيمة الأصلية له قبل الاشتقاق.

تشتق قواعد التكامل الغير محدود من قواعد الاشتقاق نفسها كون العملية عكسية.

فمثلا عند وجود ثابت مضروب في الدالة فبالإمكان مكاملة الدالة ثم ضرب التكامل في الثابت, أي:

$\int af(x)dx=a\int f(x)dx$

كذلك الحال لمجموع دالتين f و g أو الفرق بينهما:

$\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$

 الطرائق المختلفة لايجاد التكامل

ليست كل العمليات أو القواعد الممكنة في الدالة الاصلية يمكن تنفيذها مباشرة في المعكوس. فمثلا لايمكن ايجاد تكامل حاصل ضرب أو قسمة دالتين مباشرة و لكن يمكن الاستعانة بالتعريف الاصلي في التفاضل و خواصه لايجاد قاعدة شبيهه.

هنا بعض الطرق المستخدمة في ايجاد الاشتقاق العكسي للتابع:

العلاقة الخطية:

$\int (af(x)+bg(x))\,dx=a\int f(x)\,dx+b\int g(x)\,dx.$

التكامل بالتعويض:

•  مقالة مفصلة: تكامل بالتعويض

$\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=\int _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,dx.$

التكامل بالتجزيء:

•  مقالة مفصلة: تكامل بالتجزئة

$\int u\,dv=uv-\int v\,du.\!$

التكامل بالنشر قالب:رئيس يمكن نشر الدالة قبل مكاملتها باستخدام مفكوك تايلور و ماكلورين ثم مكاملتها.

باستخدام مفكوك تايلور

$\int f(x)dx=\int \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!(n+1)}}\,(x-a)^{n+1}+C$

باستخدام مفكوك ماكلورين

$\int f(x)dx=\int \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!(n+1)}}\,x^{n+1}+C$

التكامل بالتحليل العددي:

•  مقالة مفصلة: تكامل عددي

تستخدم هذه الطريقة لحساب التكاملات المحدودة بواسطة الحاسوب حيث يتم عمل خوارزمية مناسبة لحساب التكامل في برنامج و تنفيذه. تستطيع الحواسيب في الوقت الحاضر حساب تكاملات غاية في التعقيد في زمن صغير جدا.

تعتبر طريقة شبه المنحرف المركب من أشهر الطرق المستخدمة في التحليل العددي وتلخص بالصيغة:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{n}}\left({f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right)$

حيث تأخذ الفترات الفرعية الشكل [k h, (k+1) h], مع h = (b−a)/n وk = 0, 1, 2, ..., n−1

 انظر ايضا

• اضتقاق عكسي (تحليل معقد)
• تكامل رمزي
• قائمة التكاملات

 وصلات خارجية

• Wolfram Integrator — Free online symbolic integration with Mathematica
• Mathematical Assistant on Web — symbolic computations online. Allows to integrate in small steps (with hints for next step (integration by parts, substitution, partial fractions, application of formulas and others), powered by Maxima
• Function Calculator from WIMS
• Integral
• "The Indefinite Integral or Anti-derivative " at the Khan Academy
• "Free online integral calculator with step by step solution "