مجسم دوراني

منحنى الدوران.

محور الدوران (Axis of Revolution)، إذا دارت منطقة مستوية حول مستقيم في مستواها دورة كاملة (Complete Revolution)، تكون من دورانها مجسم دوراني (Solid of Revolution)، وكان الخط المستقيم الذي دارت حوله هذه المنطقة هو محور الدوران. وهو محور تماثل بالنسبة إلى المجسم الدوراني الناشيء.

Contents

حساب الحجم

رموز :

r = نصف القطر
h = الارتفاع
A = المساحة أو مساحة القاعدة
V = الحجم


يتم حساب الحجم بعدة طرق ,منها :

تقوم الطريقة على تقسيم الجسم إلى أقراص غير متناهية.[1]

محور الدوران هو المحور السيني

إذا كان المجسم الدوراني ينتج عن دوران منطقة مستوية حول محور السينات فإنه حجمه يعطى بالمعادلة :
V = \pi \int_a^b {\left[R(x)\right]}^2\ \mathrm{d}x
حيث R هي المساحة بين الدالة ومحور الدوران .

محور الدوران هو المحور الصادي

إذا كان المجسم الدوراني ينتج عن دوران منطقة مستوية حول محور الصادات فإنه حجمه يعطى بالمعادلة :
V = \pi \int_a^b {\left[R(y)\right]}^2\ \mathrm{d}y
حيث R هي المساحة بين الدالة ومحور الدوران .

التكامل الطبقات الاسطوانية

التكامل بالأقراص

تكامل بالأقراص.

x=a and x=b about the x-axis is given by

V = \pi \int_a^b \vert f^2(x) - g^2(x)\vert\,dx

If g(x) = 0 (e.g. revolving an area between curve and x-axis), this reduces to:

V = \pi \int_a^b f^2(x) \,dx \qquad (1)


تكامل الطبقات الإسطوانية

Shell integration.


The volume of the solid formed by rotating the area between the curves of f(x) and g(x) and the lines x=a and x=b about the y-axis is given by

V = 2\pi \int_a^b x\vert f(x) - g(x)\vert\,dx

If g(x) = 0 (e.g. revolving an area between curve and x-axis), this reduces to:

V = 2\pi \int_a^b x \vert f(x) \vert \,dx


بعض أنواع المجسمات الدورانية

الأجسام الدورانية متنوعة بتنوع منحنيات الدوال , ولكن هناك أجسام مشهورة منها :
اسم الجسم ينشأ عن دوران معادلة المنطقة المستوية تمثيل الشكل معادلة حساب الحجم
اسطوانة مستطيل f(x) = r \, Solid of revolution-Cylinder.svg V = \pi \int_0^h f(x)^2 dx
مخروط مثلث قائم الزاوية f(x) = \frac{r}{h} x \, Solid of revolution-Cone.svg V = \pi \int_0^h f(x)^2 dx
كرة نصف دائرة f(x) = \sqrt{r^2-(x-r)^2} \, Solid of revolution-Ball.svg V = \pi \int_0^{2r} f(x)^2 dx
مخروط ناقص شبه منحرف f(x) = \frac{r}{h}\times (x+H) \,
حيث H ارتفاع الجزء الناقص
Solid of revolution-Cone2.svg V = \pi \int_0^h f(x)^2 dx


الشكل التالي ناتج عن دوير المنطقة المستوية المحصورة بين f و g

وبعض الأجسام قد تنتج من خلال المنطقة المحصورة بين داليتين ليست صفرية(انظر الشكل المقابل)

انظر أيضا

هوامش

المصادر

وصلات خارجية