تابع الكتلة الاحتمالية

The graph of a probability mass function. All the values of this function must be non-negative and sum up to 1.

في نظرية الاحتمالات، تابع الكثافة الاحتمالية (الإنكليزية: probability mass function أو اختصاراً pmf)، هو تابع يعطي احتمالي أن يأخذ متغيراً عشوائياً قيمة ما. يختلف تابع الكتلة الاحتمالية عن تابع الكثافة الاحتمالية في أن قيم تابع الكثافة، والتي تكون معرفة فقط من أجل المتغيرات العشوائية المستمرة، ليست باحتمالات كما هي قيم تابع الكتلة. لكن تكامل تابع الكثافة على مجال ما (a,b] يعطي احتمال أن يأخذ المتحول العشوائي لقيمة تقع ضمن ذلك المجال.


الوصف الرياضي

The probability mass function of a fair die. All the numbers on the die have an equal chance of appearing on top when the die is rolled.

Suppose that X: SR is a discrete random variable defined on a sample space S. Then the probability mass function fX: R → [0, 1] for X is defined as

f_X(x) = \Pr(X = x) = \Pr(\{s \in S: X(s) = x\}).

Note that fX is defined for all real numbers, including those not in the image of X; indeed, fX(x) = 0 for all x \notin X(S).

Since the image of X is countable, the probability mass function fX(x) is zero for all but a countable number of values of x. The discontinuity of probability mass functions reflects the fact that the cumulative distribution function of a discrete random variable is also discontinuous. Where it is differentiable, the derivative is zero, just as the probability mass function is zero at all such points.

مثال

Suppose that S is the sample space of all outcomes of a single toss of a fair coin, and X is the random variable defined on S assigning 0 to "tails" and 1 to "heads". Since the coin is fair, the probability mass function is

f_X(x) = \begin{cases}\frac{1}{2}, &x \in \{0, 1\},\\0, &x \notin \{0, 1\}.\end{cases}

انظر أيضاً

الهامش

  • Johnson, N.L., Kotz, S., Kemp A. (1993) Univariate Discrete Distributions (2nd Edition). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 (p 36)