معرض المتعلقات الشخصية للرسول، ص  *  الاسكتلنديون يصوتون في استفتاء تاريخي للاستقلال عن المملكة المتحدة أو البقاء معها  *   اليمن يسلم أندرگاچو تسيگه، ثاني أكبر زعماء المعارضة الإثيوپية والمحكوم عليه بالاعدام إلى الحكومة الإثيوپية. رئيس إثيوپيا (الشرفي) يعلن أنه لم يستطع الحصول على معلومات عنه من حكومة التگراي الطائفية  *   إثيوپيا توقع اتفاق لبناء سد على نهر بارو بقدرة 381 م.و  *   زعيم المعارضة الألبانية، إدي راما، بمجرد توليه رئاسة وزراء ألبانيا يلغي معاهدة ترسيم حدود المنطقة الاقتصادية الخالصة مع اليونان، لتفريطها في بضعة كيلومترات على مضيق اوترانتو، ويقدم المسئولين عنها بوزارة الخارجية للتحقيق الجنائي بعقوبة من 5-10 سنوات  *   روسيا والصين يشيدان أكبر ميناء في العالم، ميناء زاروبينو على حدودهما على بحر اليابان. سينافس لو هافر وإمنگهام  *   إدانة العداء الجنوب أفريقي اوسكار پستوريوس بتهمة القتل الخطأ لصديقته ريڤا ستين‌كامپ  *   ثلاث أحفورات صينية تضع أصل الثدييات عند 170 مليون سنة مضت  *  إم آي تي أفضل جامعة في العالم في الترتيب السنوي لجامعات العالم (كيو إس)  *   هل انهارت مبادرة حوض النيل؟  *   ثروات مصر الضائعة في البحر المتوسط  *   شاهد أحدث التسجيلات  *  تابع المعرفة على فيسبوك  *  تابع مقال نائل الشافعي على جريدة الحياة: تطورات غاز المتوسط في أربع مشاهد  *      

النظريات الأساسية في الدارات

يمكن استخدام كل من قانوني كرشوف وقانون أوم في تحليل جميع الدارات الكهربائية. لكن ذلك قد يكون صعبا في كثير من الحالات، لذلك فإننا سنتناول بعض النظريات التي تستخدم في تسهيل تحليل الدارات الكهربائية.، وذلك في الحالات الخاصة بدارات التيار المستمر.

فهرست

مبدأ الانضمام Superposition Theorem

وينص على ما يلي:

إن التيار (أو الفلطية) في فرع ما والناجم عن عدة منابع مستقلة متواقتة التأثير في شبكة خطية، يساوي مجموع التيارات (أو الفلطيات) الناتجة في هذا الفرع عن كل من المنابع على حدة.

مثال:لنحسب التيار I \, المبين في الدارة التالية:

Superposition1.png

في الدارة منبعان، منبع للتيار ومنبع للفلطية. سنقوم بحساب التيار I \, عندما يكون منبع التيار مفصولا، ثم نقوم بحسابه عندما يكون منبع الفلطية مفصولا، وبعد ذلك نقوم بجمع النتيجتين، فنحصل على التيار I \, الفعلي.

ملاحظة: عند حذف منبع تيار نستعيض عنه بدارة مفتوحة، بينما نستعيض عن منبع الفلطية بدارة مغلقة.


Superposition2.png

1.التيار الناجم عن منبع الفلطية فقط: بتطبيق قانون كرشوف للفلطية على الحلقة اليسرى من الدارة الموضحة في الشكل نجد: 1_0 – 5I_1 -10 I_1 = 0\, ومنه نجد: I_1 = 3/2 A \,

Superposition3.png

2.التيار الناجم عن منبع التيار فقط: لقد حصلنا على دارة مقاومة تفرعية، ومن أجل الحصول على I_2 \, نقوم بتطبيق قانون تجزئة التيار حيث: R_{E}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\,

وبالتالي: -I_{2}=I\frac{R_{E}}{R_{2}}=I\frac{\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}{R_{2}}=I\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}=5\times
\frac{5}{5+10}=\frac{5}{3}\, [أضفنا إشارة ناقص لأن تيارنا I_2 \, يعاكس جهة التيار الذي ينطبق عليه قانون تجزئة التيار (لاحظ أنه يعاكس جهة تيار المنبع: التيار الأساسي) ] أي يكون: I2  = -5/3 \,

و"بانضمام" النتيجتين اللتين حصلنا عليهما في 1 و2 يكون: I =  I_1+  I_2 = 2/3 -5/3 = -1 A \,

نظرية تيفنن Thevenin's Theorem

Thevenin.png

تتيح هذه النظرية استبدال أية مجموعة ثابتة من المولدات والمقاومات الموصولة بثنائي قطب (الحمل الموصول بين A وB) بمنبع فلطية، فتختزل الدارة الحالية إلى العنصر المراد دراسته بشكل منفصل، ومنبع فلطية يكافئ بقية الدارة: قوته المحركة الكهربائية E_T \, وموصول مع مقاومة R_T \,، تربط معه على التسلسل، تفيد هذه النظرية في تبسيط دراسة الدارات المعقدة على نحو كبير.

لتطبيق هذه النظرية نتبع الخطوات التالية: 1.نحدد العنصر المراد دراسته. 2.نفصل العنصر المراد دراسته من الدارة، فيترك مكانه نقطتين A وB وتكون بينهما الدارة مفتوحة. 3.نقوم بحساب فرق الكمون بين النقطتين، والذي سيمثل E_T \, ، وذلك باستخدام قوانين كرشوف أو إحدى النظريات. 4.نقوم بحساب المقاومة المكافئة R_T \, بعد إلغاء جميع المنابع. 5.نقوم بتركيب دارة تيفنن المكافئة والمكوّنة من الحمل المطلوب دراسته موصولا على التسلسل مع المنبع E_T \, والمقاومة R_T \,.

نظرية نورتون

Norton.png

تشبه نظرية نورتون إلى حد بعيد نظرية تيفنن، إلا أنها بدلا من أن تستعيض عن بقية أجزاء الدارة بمولد ومقاومة، تستعيض عنها بمولد تيار J_N \, توصل معه على التفرع ناقلية G_N \,.

العلاقة بين دارتي نورتون وتيفنن

E_{T}=J_{N}\times R_{N}=\frac{J_{N}}{G_{N}}\,

سترى أمثلة عملية على هاتين النظريتين في المحاضرة القادمة إن شاء الله تعالى.

نظرية النقل الأعظمي للاستطاعة

Maxpower.png

تنص هذه النظرية على أن مقاومة الحمل  R_L \, في دارة ما تمتص استطاعة عظمى إذا كانت مساوية للمقاومة الداخلية للمنبع أي  R_S \,. يمكن التحقق من ذلك باستخدام القوانين التي تعرفنا عليها. فالتيار المار بالحمل يعطى بالعلاقة: I_{l}=\frac{V_{S}}{R_{S}+R_{L}}\,

وبالتالي تكون الاستطاعة التي يسحبها الحمل: P=I_{L}^{2}\times R_{L}=\frac{V_{S}^{2}\times R_{L}}{(R_{S}+R_{L})^{2}}\,

نقوم باشتقاق العلاقة السابقة بالنسبة لـ  R_L \,، فتكون الاستطاعة عظمى عندما: \frac{\mathit{dP}}{R_{L}}=0\,، فنجد أن ذلك يكون عندما R_{L}=R_{S}\,


نظرية ميلمان المباشرة

تكافئ مجموعة مكونة من n منبع فلطية مربوطة على التفرع منبع فلطية واحد بحيث يكون:

E=R\sum _{k=1}^{n}{\frac{E_{k}}{R_{k}}}\,

حيث E_k\, و R_k\, فلطية ومقاومة كل منبع من المنابع المذكورة

و R هي المقاومة المكافئة لمجموعة مقاومات المنابع مربوطة على التفرع وتعطى بالعلاقة: 
R=\frac{1}{\sum _{k=1}^{n}{\frac{1}{R_{k}}}}\,

نظرية ميلمان العكسية

تكافئ مجموعة مكونة من n منبع تيار مربوطة على التسلسل منبع تيار واحد بحيث يكون:

J=G\sum _{k=1}^{n}{\frac{J_{k}}{G_{k}}}\,

حيث J_k\, و G_k\, تيار وناقلية كل منبع من المنابع المذكورة,

وG الناقلية المكافئة لمجموعة ناقليات المنابع مربوطة على التسلسل وتعطى بالعلاقة:

خطأ رياضيات (خطأ في الصيغة): G=\frac{1}{\sum _{k=1}^{n}{\frac{1}{G_{k}}}\,


نظرية كينلي (التكافؤ نجمة – مثلث)

Ydelta.png

في بعض الحالات، نواجه أثناء تحليلنا للدارات عقدة توصل إليها ثلاثة أطراف تسمى النجمة. تسمح نظرية كينلي بتحويل هذه النجمة إلى مثلث، كما هو مبين في الشكل. لمعرفة مقاومات المثلث بدلالة مقاومة النجمة (أي للانتقال من اليمين إلى اليسار)، نستخدم العلاقات التالية:

R_{\mathit{BC}}=\frac{R_{A}R_{B}+R_{A}R_{C}+R_{B}R_{C}}{R_{A}}\,

R_{\mathit{AC}}=\frac{R_{A}R_{B}+R_{A}R_{C}+R_{B}R_{C}}{R_{B}}\,

R_{\mathit{AB}}=\frac{R_{A}R_{B}+R_{A}R_{C}+R_{B}R_{C}}{R_{C}}\,

أي المقاومة التي تصل بين عقدتين في المثلث هي مجموع الجداءات الثنائية غير المكررة لمقاومات النجمة مقسومة على المقاومة المتصلة بالعقدة المقابلة..

ولمعرفة مقاومات النجمة بدلالة مقاومة المثلث (أي للانتقال من اليسار إلى اليمين) نستخدم العلاقات التالية:

R_{C}=\frac{R_{\mathit{CA}}R_{\mathit{CB}}}{R_{\mathit{AB}}+R_{\mathit{AC}}+R_{\mathit{BC}}}\,

R_{B}=\frac{R_{\mathit{BC}}R_{\mathit{BA}}}{R_{\mathit{AB}}+R_{\mathit{AC}}+R_{\mathit{BC}}}\,

R_{A}=\frac{R_{\mathit{AC}}R_{\mathit{AB}}}{R_{\mathit{AB}}+R_{\mathit{AC}}+R_{\mathit{BC}}}\,

أي المقاومة المتصلة بعقدة ما، في نجمة، هي جداء المقاومتين المتصلتين بهذه العقدة في المثالث، مقسومة على مجموع مقاوماته [أي المثلث].

Ydprob1.png

مثال: أوجد المقاومة المكافئة لمجموعة المقاومات الموصولة بين a وb. ثم احسب التيار i\, المار في الدارة.

الحل: نقوم بتحويل النجمة abc إلى مثلث. فيكون

R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}=10\ast 20+20\ast 5+5\ast 10=350\,

ومنه نجد أن:

R_{\mathit{ab}}=\frac{350}{R_{c}}=\frac{350}{5}=70\mathit{ohms}\,

R_{\mathit{ac}}=\frac{350}{R_{b}}=\frac{350}{20}=17.5\mathit{ohms}\,

R_{\mathit{bc}}=\frac{350}{R_{a}}=\frac{350}{10}=35\mathit{ohms}\,

وتصبح الدارة على النحو التالي:

Ydprob2.png

كل من المقاومات التالية موصولة على التفرع: (30 و70) و(17.5 و12.5) و(35 و15). بضمّها وحسابها تصبح الدارة على النحو التالي:

Ydprob3.png

وبالتالي تصبح المقاومة المكافئة بين ab:

خطأ رياضيات (وظيفة مجهولة): R = \textup{(7.292 + 10.5) {\textbar}{\textbar} 21 = 9.632 }ohms\,


R = (7.292 + 10.5) || 21 = 9.632 ohms \,

وأصبح من الممكن إيجاد التيار i الذي يعطى بالعلاقة:

i=\frac{V}{R}=\frac{120}{9.632}\approx 12.458A\,


تمرين

احسب التيار I_1\, في الدارة المبينة في الشكل أدناه باستخدام نظرية نورتون.

Nortonprob1.png

فكرة الحل: لا بد أولاً من إيجاد منبع التيار المكافئ للحمل الموصول بين A وB، وبعد ذلك يتم وصل هذا المنبع إلى الحمل، وتتم معرفة التيار I_1\,.

من أجل إيجاد منبع التيار المكافئ، علينا أن نقوم بإيجاد المقاومة المكافئة، وذلك بفصل جميع منابع الدارة (حيث نقوم بفتح الدارة عند كل منبع تيار وقصرها عند كل منبع فلطية):

Nortonprob2.png

وبالتالي المقاومة المكافئة هي: R_{s}=4+2=6\mathit{ohms}\,.

الخطوة الثانية الآن هي إيجاد قيمة التيار المحرك الكهربائي للمنبع المكافئ للدارة J_N\, والمار من A إلى B. من أجل ذلك، نقوم بوصل الدارة بين هاتين النقطتين. ونقوم بعدها بحساب التيار بإحدى الطرق الممكنة.

Nortonprob3.png

من أجل حساب J_N\, سنقوم بتطبيق نظرية الانضمام، حيث سنقوم بالإبقاء على منبع واحد فقط، وحساب J_N\, في هذه الحالة، ومن ثم يكون التيار المطلوب هو مجموع النتائج التي حصلنا عليها:

Nortonprob4.png

التيار الخارج من المنبع 3A يتفرع إلى فرعين: فرع يمر في المقاومات، وفرع آخر يمر في AB. وبما أن المقاومة فيالفرع الأخير معدومة، فإن التيار بأكمله يمر عبر المقاومة الصفرية أي: J_{\mathit{N1}}=3A\,

Nortonprob5.png

يمكننا في هذه الحالة استخدام قانون مجزئ التيار، فالتيار الخارج من المنبع يتفرع إلى فرعين. نلاحظ أن القانون يعطينا قيمة التيار في الفرع AB والذي يعاكس جهة J_N\,، لذلك لا بد من وضع إشارة سالبة. أي J_{\mathit{N2}}=-2\times \frac{2}{2+4}=-2/3A\,

Nortonprob6.png

بتطبيق قانون أوم نجد بسهولة أن: J_{\mathit{N3}}=\frac{10}{4+2}=5/3A\,

إذاً يمكننا أن نقول الآن وحسب نظرية الانضمام أن التيار J_N\, هو: J_N  = J_{N1}  + J_{N2}  + J_{N3}  = 4A \,

هكذا نكون قد أوجدنا قيمة كل من المقاومة والتيار المحرك للمنبع، بقي فقط أن نقوم بوصل هذا المنبع مع الحمل AB ودراسة تأثيره.

Nortonprob7.png

الآن، ومن أجل حساب I_1\, نقوم باستخدام قانون مجزئ التيار، فنجد: I_{1}=-4\times \frac{6}{9}=-{\frac{3}{8}}A\,